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⑧ 如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$∠ B=90°$，$∠ BCD=120°$，$AB=4$，$AD=5$，则$\odot O$的半径为
$\sqrt{7}$
。答案
8. $\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题时首先观察到圆内接四边形存在直角∠B=90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，因此连接AC可确定AC为⊙O的直径，此时直径所对的∠ADC也为直角；再利用圆内接四边形对角互补的性质，可算出∠BAD=180°-∠BCD=60°。要求半径只需先求出直径AC的长度，此时连接BD，可在△ABD中借助余弦定理求出BD的长度，再结合正弦定理（同圆中弦长与对应圆周角的关系）即可求出直径AC，最终得到半径。
【解析】
1. 连接AC、BD：
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠B=90°，
∴ AC是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∴ ∠ADC=90°（直径所对的圆周角为直角）。
2. 计算∠BAD的度数：
根据圆内接四边形对角互补，可得∠BAD + ∠BCD = 180°，
已知∠BCD=120°，
∴ ∠BAD=180°-120°=60°。
3. 在△ABD中求BD的长度：
已知AB=4，AD=5，∠BAD=60°，由余弦定理得：
$ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2· AB· AD· \cos∠ BAD $
代入数值计算：$BD^2 = 4^2 + 5^2 - 2×4×5×\cos60° = 16+25-20=21$，
∴ $BD=\sqrt{21}$。
4. 由正弦定理求半径：
△ABD的外接圆即为⊙O，根据正弦定理$\frac{BD}{\sin∠ BAD}=2R$（R为⊙O半径），
代入$BD=\sqrt{21}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$得：
$ 2R = \frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{7} $
解得$R=\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；解三角形
【点评】
本题是圆与三角形结合的综合基础题，解题的突破口是通过直角判断出直径，再结合特殊角度利用三角形的正余弦定理求解，对辅助线的构造和知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到圆内接四边形存在直角∠B=90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，因此连接AC可确定AC为⊙O的直径，此时直径所对的∠ADC也为直角；再利用圆内接四边形对角互补的性质，可算出∠BAD=180°-∠BCD=60°。要求半径只需先求出直径AC的长度，此时连接BD，可在△ABD中借助余弦定理求出BD的长度，再结合正弦定理（同圆中弦长与对应圆周角的关系）即可求出直径AC，最终得到半径。
【解析】
1. 连接AC、BD：
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠B=90°，
∴ AC是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∴ ∠ADC=90°（直径所对的圆周角为直角）。
2. 计算∠BAD的度数：
根据圆内接四边形对角互补，可得∠BAD + ∠BCD = 180°，
已知∠BCD=120°，
∴ ∠BAD=180°-120°=60°。
3. 在△ABD中求BD的长度：
已知AB=4，AD=5，∠BAD=60°，由余弦定理得：
$ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2· AB· AD· \cos∠ BAD $
代入数值计算：$BD^2 = 4^2 + 5^2 - 2×4×5×\cos60° = 16+25-20=21$，
∴ $BD=\sqrt{21}$。
4. 由正弦定理求半径：
△ABD的外接圆即为⊙O，根据正弦定理$\frac{BD}{\sin∠ BAD}=2R$（R为⊙O半径），
代入$BD=\sqrt{21}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$得：
$ 2R = \frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{7} $
解得$R=\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；解三角形
【点评】
本题是圆与三角形结合的综合基础题，解题的突破口是通过直角判断出直径，再结合特殊角度利用三角形的正余弦定理求解，对辅助线的构造和知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9 如图，AB为半圆直径，AB＝2，点C为半圆上一点，点D和点B关于直线AC对称，连接AD交$\overset{\frown}{AC}$于点E，连接CE。设BC＝x，AE＝y，则y关于x的函数表达式为
$y=2-x^2$
。答案
9. $y=2-x^2$
[提示:因为四边形ABCE是圆内接四边形,所以$∠BAD=∠DCE$。由轴对称,可得$∠B=∠D$,所以$△CED ∽ △ADB$,所以$CD:AB=DE:BD$,所以$x:2=(2-y):2x$,所以$y=2-x^2$。]
[提示:因为四边形ABCE是圆内接四边形,所以$∠BAD=∠DCE$。由轴对称,可得$∠B=∠D$,所以$△CED ∽ △ADB$,所以$CD:AB=DE:BD$,所以$x:2=(2-y):2x$,所以$y=2-x^2$。]
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 先梳理已知条件对应的性质：AB为半圆直径，可得直径所对的圆周角∠ACB=90°；D与B关于AC对称，可利用轴对称性质得到边、角的等量关系；ABCE是圆内接四边形，可调用圆内接四边形的角的性质。2. 要建立y和x的函数关系，先表示出相关线段长度：AD=AB=2，故DE=AD-AE=2-y，由对称可知BC=CD=x，进一步推得BD=2x。3. 寻找包含上述线段的相似三角形：通过角的等量关系证明△DCE∽△DAB，再利用相似三角形对应边成比例列等式，化简即可得到y关于x的函数表达式。
【解析】
解：
∵AB为半圆直径，
∴∠ACB=90°。
∵点D和点B关于直线AC对称，
∴AD=AB=2，CD=BC=x，且点C在BD上，
∴BD=BC+CD=2x，DE=AD-AE=2-y。
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠DCE=∠BAD（圆内接四边形的外角等于它的内对角）。
在△DCE和△DAB中：
$\{\begin{array}{l} ∠D=∠D\\ ∠DCE=∠DAB\end{array} $
∴△DCE∽△DAB（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{CD}{AD}=\frac{DE}{BD}$
代入CD=x，AD=2，DE=2-y，BD=2x，得：
$\frac{x}{2}=\frac{2-y}{2x}$
交叉相乘化简：
$2x· x=2(2-y)$
$2x^2=4-2y$
两边同除以2得：$x^2=2-y$，即$y=2-x^2$。
【答案】
$y=2-x^2$
【知识点】
圆内接四边形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，将圆、轴对称、相似三角形的知识点结合考查，解题的核心是通过性质推导找到相似三角形，利用相似的比例关系建立变量之间的等式，需要学生具备一定的知识点综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：1. 先梳理已知条件对应的性质：AB为半圆直径，可得直径所对的圆周角∠ACB=90°；D与B关于AC对称，可利用轴对称性质得到边、角的等量关系；ABCE是圆内接四边形，可调用圆内接四边形的角的性质。2. 要建立y和x的函数关系，先表示出相关线段长度：AD=AB=2，故DE=AD-AE=2-y，由对称可知BC=CD=x，进一步推得BD=2x。3. 寻找包含上述线段的相似三角形：通过角的等量关系证明△DCE∽△DAB，再利用相似三角形对应边成比例列等式，化简即可得到y关于x的函数表达式。
【解析】
解：
∵AB为半圆直径，
∴∠ACB=90°。
∵点D和点B关于直线AC对称，
∴AD=AB=2，CD=BC=x，且点C在BD上，
∴BD=BC+CD=2x，DE=AD-AE=2-y。
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠DCE=∠BAD（圆内接四边形的外角等于它的内对角）。
在△DCE和△DAB中：
$\{\begin{array}{l} ∠D=∠D\\ ∠DCE=∠DAB\end{array} $
∴△DCE∽△DAB（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{CD}{AD}=\frac{DE}{BD}$
代入CD=x，AD=2，DE=2-y，BD=2x，得：
$\frac{x}{2}=\frac{2-y}{2x}$
交叉相乘化简：
$2x· x=2(2-y)$
$2x^2=4-2y$
两边同除以2得：$x^2=2-y$，即$y=2-x^2$。
【答案】
$y=2-x^2$
【知识点】
圆内接四边形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，将圆、轴对称、相似三角形的知识点结合考查，解题的核心是通过性质推导找到相似三角形，利用相似的比例关系建立变量之间的等式，需要学生具备一定的知识点综合运用能力。
【难度系数】
0.6
⑩ 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$AB=AD$，其外角$∠ EAD$的平分线交CD的延长线于点F，$CD=10$，$AF=5$，则DF的长为
$5\sqrt{2}-5$
。答案
10. $5\sqrt{2}-5$
[提示:由四边形ABCD内接于$\odot O$,可得$∠EAD=∠BCD$。因为$AB=AD$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$,所以$∠ACD=\frac{1}{2}∠BCD$,所以可得$∠ACD=∠FAD$,可证$△ACF ∽ △DAF$,所以$\frac{AF}{DF}=\frac{CF}{AF}$,即$\frac{5}{DF}=\frac{10+DF}{5}$,所以$DF=5\sqrt{2}-5$。]
[提示:由四边形ABCD内接于$\odot O$,可得$∠EAD=∠BCD$。因为$AB=AD$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$,所以$∠ACD=\frac{1}{2}∠BCD$,所以可得$∠ACD=∠FAD$,可证$△ACF ∽ △DAF$,所以$\frac{AF}{DF}=\frac{CF}{AF}$,即$\frac{5}{DF}=\frac{10+DF}{5}$,所以$DF=5\sqrt{2}-5$。]
解析
【分析】
解题时首先结合圆内接四边形的性质推导外角与内对角的关系，再利用弦相等得到对应弧相等、圆周角相等，结合角平分线的性质得到两组等角，进而证明三角形相似，最后利用相似三角形的对应边成比例列方程求解线段长度即可。具体思考路径：1. 看到圆内接四边形，优先联想到外角等于内对角的性质，得到∠EAD和∠BCD的关系；2. 看到弦相等AB=AD，联想到同圆中等弦对等弧，等弧对等圆周角，得到∠ACD是∠BCD的一半；3. 看到角平分线AF，得到∠FAD是∠EAD的一半，进而推导得到∠FAD=∠ACD；4. 找到公共角∠F，证明两个三角形相似，利用相似性质列方程求解，注意舍去负的根。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ EAD = ∠ BCD$（圆内接四边形的外角等于它的内对角）。
∵ $AB=AD$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$（同圆中相等的弦所对的弧相等），
∴ $∠ ACB = ∠ ACD$（同圆中等弧所对的圆周角相等），即$∠ ACD = \frac{1}{2}∠ BCD$。
∵ AF平分$∠ EAD$，
∴ $∠ FAD = \frac{1}{2}∠ EAD$，
∴ $∠ FAD = ∠ ACD$。
在$△ FAD$和$△ FCA$中：
$\begin{cases}∠ F = ∠ F \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ FAD = ∠ FCA \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
∴ $△ FAD ∽ △ FCA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形的性质可得：$\frac{AF}{CF} = \frac{DF}{AF}$，即$AF^2 = DF · CF$。
设$DF=x$，已知$CD=10$，则$CF = CD + DF = 10 + x$，又$AF=5$，代入得：
$5^2 = x(10 + x)$
整理得：$x^2 + 10x - 25 = 0$
解这个一元二次方程：
$x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 + 4 × 25}}{2} = \frac{-10 \pm 10\sqrt{2}}{2} = -5 \pm 5\sqrt{2}$
∵ 线段长度为正数，
∴ $x = 5\sqrt{2} - 5$，即$DF=5\sqrt{2}-5$。
【答案】
$5\sqrt{2}-5$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了圆的基本性质与相似三角形的应用，解题的核心是通过角的等量代换找到相似三角形，再结合方程思想求解线段长度，能够较好地考查几何推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.5
解题时首先结合圆内接四边形的性质推导外角与内对角的关系，再利用弦相等得到对应弧相等、圆周角相等，结合角平分线的性质得到两组等角，进而证明三角形相似，最后利用相似三角形的对应边成比例列方程求解线段长度即可。具体思考路径：1. 看到圆内接四边形，优先联想到外角等于内对角的性质，得到∠EAD和∠BCD的关系；2. 看到弦相等AB=AD，联想到同圆中等弦对等弧，等弧对等圆周角，得到∠ACD是∠BCD的一半；3. 看到角平分线AF，得到∠FAD是∠EAD的一半，进而推导得到∠FAD=∠ACD；4. 找到公共角∠F，证明两个三角形相似，利用相似性质列方程求解，注意舍去负的根。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ EAD = ∠ BCD$（圆内接四边形的外角等于它的内对角）。
∵ $AB=AD$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$（同圆中相等的弦所对的弧相等），
∴ $∠ ACB = ∠ ACD$（同圆中等弧所对的圆周角相等），即$∠ ACD = \frac{1}{2}∠ BCD$。
∵ AF平分$∠ EAD$，
∴ $∠ FAD = \frac{1}{2}∠ EAD$，
∴ $∠ FAD = ∠ ACD$。
在$△ FAD$和$△ FCA$中：
$\begin{cases}∠ F = ∠ F \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ FAD = ∠ FCA \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
∴ $△ FAD ∽ △ FCA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形的性质可得：$\frac{AF}{CF} = \frac{DF}{AF}$，即$AF^2 = DF · CF$。
设$DF=x$，已知$CD=10$，则$CF = CD + DF = 10 + x$，又$AF=5$，代入得：
$5^2 = x(10 + x)$
整理得：$x^2 + 10x - 25 = 0$
解这个一元二次方程：
$x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 + 4 × 25}}{2} = \frac{-10 \pm 10\sqrt{2}}{2} = -5 \pm 5\sqrt{2}$
∵ 线段长度为正数，
∴ $x = 5\sqrt{2} - 5$，即$DF=5\sqrt{2}-5$。
【答案】
$5\sqrt{2}-5$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了圆的基本性质与相似三角形的应用，解题的核心是通过角的等量代换找到相似三角形，再结合方程思想求解线段长度，能够较好地考查几何推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.5
11 如图，AB为$\odot O$的直径，$CF ⊥ AB$于点E，交$\odot O$于点D、C，AF交$\odot O$于点G。求证：$∠ FGD = ∠ ADC$。
答案
11 因为四边形ACDG内接于$\odot O$,所以$∠ACD + ∠AGD = 180°$。又因为$∠AGD + ∠FGD = 180°$,所以$∠FGD=∠ACD$。因为AB为$\odot O$的直径,$CF ⊥ AB$,所以AB垂直平分CD,所以$AC=AD$,所以$∠ADC=∠ACD$,所以$∠FGD=∠ADC$。
解析
【分析】
要证明∠FGD=∠ADC，可通过找中间等量角逐步推导：首先观察到∠FGD与∠AGD互为邻补角，二者和为180°；再结合四边形ACDG是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得∠ACD与∠AGD也互补，因此可推出∠FGD=∠ACD。接下来只需证明∠ACD=∠ADC即可：已知AB是⊙O的直径且CF⊥AB，由垂径定理可知AB垂直平分CD，因此AC=AD，△ACD为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质可得∠ACD=∠ADC，最终通过等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ACDG内接于$\odot O$，
∴ $∠ ACD + ∠ AGD = 180°$。
又
∵ $∠ AGD + ∠ FGD = 180°$，
∴ $∠ FGD = ∠ ACD$。
∵ AB为$\odot O$的直径，$CF ⊥ AB$，
∴ AB垂直平分CD，
∴ $AC = AD$，
∴ $∠ ADC = ∠ ACD$，
∴ $∠ FGD = ∠ ADC$。
【答案】
$∠ FGD = ∠ ADC$
【知识点】
圆内接四边形性质，垂径定理，等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合证明题，解题的关键是利用同角的补角相等完成角的转化，再结合垂径定理和等腰三角形的性质推导角的等量关系，整体思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
要证明∠FGD=∠ADC，可通过找中间等量角逐步推导：首先观察到∠FGD与∠AGD互为邻补角，二者和为180°；再结合四边形ACDG是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得∠ACD与∠AGD也互补，因此可推出∠FGD=∠ACD。接下来只需证明∠ACD=∠ADC即可：已知AB是⊙O的直径且CF⊥AB，由垂径定理可知AB垂直平分CD，因此AC=AD，△ACD为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质可得∠ACD=∠ADC，最终通过等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ACDG内接于$\odot O$，
∴ $∠ ACD + ∠ AGD = 180°$。
又
∵ $∠ AGD + ∠ FGD = 180°$，
∴ $∠ FGD = ∠ ACD$。
∵ AB为$\odot O$的直径，$CF ⊥ AB$，
∴ AB垂直平分CD，
∴ $AC = AD$，
∴ $∠ ADC = ∠ ACD$，
∴ $∠ FGD = ∠ ADC$。
【答案】
$∠ FGD = ∠ ADC$
【知识点】
圆内接四边形性质，垂径定理，等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合证明题，解题的关键是利用同角的补角相等完成角的转化，再结合垂径定理和等腰三角形的性质推导角的等量关系，整体思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
12 如图，AB是$\odot O$的直径，D、E为$\odot O$上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得$CD=BD$，连接AC交$\odot O$于点F，连接AE、DE、DF。
（1）证明：$∠ E = ∠ C$。
（2）若$∠ E = 55°$，求$∠ BDF$的度数。
（1）证明：$∠ E = ∠ C$。
（2）若$∠ E = 55°$，求$∠ BDF$的度数。
答案
12 （1）连接AD。因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠ADB=90°$,即$AD ⊥ BC$。因为$CD=BD$,所以AD垂直平分BC,所以$AB=AC$,所以$∠B=∠C$。由圆周角定理,得$∠B=∠E$,所以$∠E=∠C$。
（2）因为四边形AEDF是$\odot O$的内接四边形,所以$∠E=180°-∠AFD$。因为$∠CFD=180°-∠AFD$,所以$∠CFD=∠E=55°$,由(1)得$∠E=∠C=55°$,所以$∠BDF=∠C+∠CFD=55°+55°=110°$。
（2）因为四边形AEDF是$\odot O$的内接四边形,所以$∠E=180°-∠AFD$。因为$∠CFD=180°-∠AFD$,所以$∠CFD=∠E=55°$,由(1)得$∠E=∠C=55°$,所以$∠BDF=∠C+∠CFD=55°+55°=110°$。
解析
【分析】
（1）要证明$∠ E=∠ C$，首先根据圆周角定理可知同弧所对的圆周角相等，即$∠ E=∠ B$，因此只需证明$∠ B=∠ C$即可。由AB是圆的直径可得直径所对的圆周角$∠ ADB$为直角，结合$CD=BD$可知AD垂直平分BC，进而推出$AB=AC$，利用等腰三角形底角相等即可得到$∠ B=∠ C$，完成证明。
（2）求$∠ BDF$的度数时，观察可得$∠ BDF$是$△ CDF$的外角，根据三角形外角性质，它等于$∠ C$与$∠ CFD$的和。首先由（1）可知$∠ C=∠ E=55°$，再利用圆内接四边形对角互补的性质，结合平角的定义可推得$∠ CFD=∠ E=55°$，两者相加即可得到$∠ BDF$的度数。
【解析】
（1）连接AD。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$，即$AD ⊥ BC$。
又
∵ $CD=BD$，
∴ AD垂直平分BC，
∴ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ B=∠ E$，
∴ $∠ E=∠ C$。
（2）
∵ 四边形AEDF是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ AFD + ∠ E = 180°$。
又
∵ $∠ CFD + ∠ AFD = 180°$，
∴ $∠ CFD = ∠ E = 55°$。
由（1）得$∠ E = ∠ C = 55°$，
∵ $∠ BDF$是$△ CDF$的外角，
∴ $∠ BDF = ∠ C + ∠ CFD = 55° + 55° = 110°$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$∠ BDF=110°$
【知识点】
圆周角定理，线段垂直平分线的性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识的综合应用题，解题的核心是正确添加辅助线AD，利用直径所对圆周角为直角的特性推导等腰三角形，再结合圆周角定理、圆内接四边形性质和三角形外角定理求解，对基础定理的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$∠ E=∠ C$，首先根据圆周角定理可知同弧所对的圆周角相等，即$∠ E=∠ B$，因此只需证明$∠ B=∠ C$即可。由AB是圆的直径可得直径所对的圆周角$∠ ADB$为直角，结合$CD=BD$可知AD垂直平分BC，进而推出$AB=AC$，利用等腰三角形底角相等即可得到$∠ B=∠ C$，完成证明。
（2）求$∠ BDF$的度数时，观察可得$∠ BDF$是$△ CDF$的外角，根据三角形外角性质，它等于$∠ C$与$∠ CFD$的和。首先由（1）可知$∠ C=∠ E=55°$，再利用圆内接四边形对角互补的性质，结合平角的定义可推得$∠ CFD=∠ E=55°$，两者相加即可得到$∠ BDF$的度数。
【解析】
（1）连接AD。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$，即$AD ⊥ BC$。
又
∵ $CD=BD$，
∴ AD垂直平分BC，
∴ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ B=∠ E$，
∴ $∠ E=∠ C$。
（2）
∵ 四边形AEDF是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ AFD + ∠ E = 180°$。
又
∵ $∠ CFD + ∠ AFD = 180°$，
∴ $∠ CFD = ∠ E = 55°$。
由（1）得$∠ E = ∠ C = 55°$，
∵ $∠ BDF$是$△ CDF$的外角，
∴ $∠ BDF = ∠ C + ∠ CFD = 55° + 55° = 110°$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$∠ BDF=110°$
【知识点】
圆周角定理，线段垂直平分线的性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识的综合应用题，解题的核心是正确添加辅助线AD，利用直径所对圆周角为直角的特性推导等腰三角形，再结合圆周角定理、圆内接四边形性质和三角形外角定理求解，对基础定理的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
