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⑧ 如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$∠ B=90°$，$∠ BCD=120°$，$AB=4$，$AD=5$，则$\odot O$的半径为
$\sqrt{7}$
。答案
8. $\sqrt{7}$
9 如图，AB为半圆直径，AB＝2，点C为半圆上一点，点D和点B关于直线AC对称，连接AD交$\overset{\frown}{AC}$于点E，连接CE。设BC＝x，AE＝y，则y关于x的函数表达式为
$y=2-x^2$
。答案
9. $y=2-x^2$
[提示:因为四边形ABCE是圆内接四边形,所以$∠BAD=∠DCE$。由轴对称,可得$∠B=∠D$,所以$△CED ∽ △ADB$,所以$CD:AB=DE:BD$,所以$x:2=(2-y):2x$,所以$y=2-x^2$。]
[提示:因为四边形ABCE是圆内接四边形,所以$∠BAD=∠DCE$。由轴对称,可得$∠B=∠D$,所以$△CED ∽ △ADB$,所以$CD:AB=DE:BD$,所以$x:2=(2-y):2x$,所以$y=2-x^2$。]
⑩ 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$AB=AD$，其外角$∠ EAD$的平分线交CD的延长线于点F，$CD=10$，$AF=5$，则DF的长为
$5\sqrt{2}-5$
。答案
10. $5\sqrt{2}-5$
[提示:由四边形ABCD内接于$\odot O$,可得$∠EAD=∠BCD$。因为$AB=AD$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$,所以$∠ACD=\frac{1}{2}∠BCD$,所以可得$∠ACD=∠FAD$,可证$△ACF ∽ △DAF$,所以$\frac{AF}{DF}=\frac{CF}{AF}$,即$\frac{5}{DF}=\frac{10+DF}{5}$,所以$DF=5\sqrt{2}-5$。]
[提示:由四边形ABCD内接于$\odot O$,可得$∠EAD=∠BCD$。因为$AB=AD$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$,所以$∠ACD=\frac{1}{2}∠BCD$,所以可得$∠ACD=∠FAD$,可证$△ACF ∽ △DAF$,所以$\frac{AF}{DF}=\frac{CF}{AF}$,即$\frac{5}{DF}=\frac{10+DF}{5}$,所以$DF=5\sqrt{2}-5$。]
11 如图，AB为$\odot O$的直径，$CF ⊥ AB$于点E，交$\odot O$于点D、C，AF交$\odot O$于点G。求证：$∠ FGD = ∠ ADC$。
答案
11 因为四边形ACDG内接于$\odot O$,所以$∠ACD + ∠AGD = 180°$。又因为$∠AGD + ∠FGD = 180°$,所以$∠FGD=∠ACD$。因为AB为$\odot O$的直径,$CF ⊥ AB$,所以AB垂直平分CD,所以$AC=AD$,所以$∠ADC=∠ACD$,所以$∠FGD=∠ADC$。
12 如图，AB是$\odot O$的直径，D、E为$\odot O$上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得$CD=BD$，连接AC交$\odot O$于点F，连接AE、DE、DF。
（1）证明：$∠ E = ∠ C$。
（2）若$∠ E = 55°$，求$∠ BDF$的度数。
（1）证明：$∠ E = ∠ C$。
（2）若$∠ E = 55°$，求$∠ BDF$的度数。
答案
12 （1）连接AD。因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠ADB=90°$,即$AD ⊥ BC$。因为$CD=BD$,所以AD垂直平分BC,所以$AB=AC$,所以$∠B=∠C$。由圆周角定理,得$∠B=∠E$,所以$∠E=∠C$。
（2）因为四边形AEDF是$\odot O$的内接四边形,所以$∠E=180°-∠AFD$。因为$∠CFD=180°-∠AFD$,所以$∠CFD=∠E=55°$,由(1)得$∠E=∠C=55°$,所以$∠BDF=∠C+∠CFD=55°+55°=110°$。
（2）因为四边形AEDF是$\odot O$的内接四边形,所以$∠E=180°-∠AFD$。因为$∠CFD=180°-∠AFD$,所以$∠CFD=∠E=55°$,由(1)得$∠E=∠C=55°$,所以$∠BDF=∠C+∠CFD=55°+55°=110°$。
