登录
1 圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A:∠B:∠C:∠D的可能的值是（
A.1:2:3:4
B.4:2:3:1
C.4:3:1:2
D.4:1:3:2
C
）。A.1:2:3:4
B.4:2:3:1
C.4:3:1:2
D.4:1:3:2
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即∠A与∠C的和为180°，∠B与∠D的和为180°。由此可得，∠A和∠C的比例份数之和，与∠B和∠D的比例份数之和一定相等（因为每份对应的角度大小相同）。接下来只需逐一验证四个选项的份数关系，即可选出正确答案。
【解析】
根据圆内接四边形的性质可知：圆内接四边形的对角互补，即$∠ A + ∠ C = 180°$，$∠ B + ∠ D = 180°$，因此$∠ A$与$∠ C$的份数和等于$∠ B$与$∠ D$的份数和。
逐一验证选项：
A选项：$1+3=4$，$2+4=6$，$4≠6$，不符合要求；
B选项：$4+3=7$，$2+1=3$，$7≠3$，不符合要求；
C选项：$4+1=5$，$3+2=5$，$5=5$，符合要求；
D选项：$4+3=7$，$1+2=3$，$7≠3$，不符合要求。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 比例的应用
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，无需计算具体角度，通过比例份数的关系即可快速判断，能够很好地考查对基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即∠A与∠C的和为180°，∠B与∠D的和为180°。由此可得，∠A和∠C的比例份数之和，与∠B和∠D的比例份数之和一定相等（因为每份对应的角度大小相同）。接下来只需逐一验证四个选项的份数关系，即可选出正确答案。
【解析】
根据圆内接四边形的性质可知：圆内接四边形的对角互补，即$∠ A + ∠ C = 180°$，$∠ B + ∠ D = 180°$，因此$∠ A$与$∠ C$的份数和等于$∠ B$与$∠ D$的份数和。
逐一验证选项：
A选项：$1+3=4$，$2+4=6$，$4≠6$，不符合要求；
B选项：$4+3=7$，$2+1=3$，$7≠3$，不符合要求；
C选项：$4+1=5$，$3+2=5$，$5=5$，符合要求；
D选项：$4+3=7$，$1+2=3$，$7≠3$，不符合要求。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 比例的应用
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，无需计算具体角度，通过比例份数的关系即可快速判断，能够很好地考查对基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8
2 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$DA=DC$，若$∠ CBE=45°$，则$∠ DAC$的度数为（
A.$70°$
B.$67.5°$
C.$62.5°$
D.$65°$
B
）。A.$70°$
B.$67.5°$
C.$62.5°$
D.$65°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，已知四边形是圆内接四边形，且给出了外角∠CBE的度数，首先联想到圆内接四边形的外角等于内对角，可先求出∠ADC的度数；再结合已知条件DA=DC，可知△ADC是等腰三角形，两个底角∠DAC和∠DCA相等，最后利用三角形内角和定理即可计算出∠DAC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴根据圆内接四边形的外角等于其内对角，可得$∠ ADC = ∠ CBE = 45°$。
又
∵$DA=DC$，
∴$△ ADC$为等腰三角形，$∠ DAC = ∠ DCA$。
∵三角形内角和为$180°$，
∴$∠ DAC = \frac{180° - ∠ ADC}{2} = \frac{180° - 45°}{2} = 67.5°$。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，考查的都是常见的几何性质应用，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的外角性质，结合等腰三角形的特征进行角度计算，整体解题思路清晰，没有复杂的辅助线要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，已知四边形是圆内接四边形，且给出了外角∠CBE的度数，首先联想到圆内接四边形的外角等于内对角，可先求出∠ADC的度数；再结合已知条件DA=DC，可知△ADC是等腰三角形，两个底角∠DAC和∠DCA相等，最后利用三角形内角和定理即可计算出∠DAC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴根据圆内接四边形的外角等于其内对角，可得$∠ ADC = ∠ CBE = 45°$。
又
∵$DA=DC$，
∴$△ ADC$为等腰三角形，$∠ DAC = ∠ DCA$。
∵三角形内角和为$180°$，
∴$∠ DAC = \frac{180° - ∠ ADC}{2} = \frac{180° - 45°}{2} = 67.5°$。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，考查的都是常见的几何性质应用，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的外角性质，结合等腰三角形的特征进行角度计算，整体解题思路清晰，没有复杂的辅助线要求。
【难度系数】
0.7
3 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$AB=AD$，连接BD，若$∠ C=120°$，$AB=2$，则$△ ABD$的周长是（
A.$3\sqrt{3}$
B.4
C.6
D.8
C
）。A.$3\sqrt{3}$
B.4
C.6
D.8
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“四边形ABCD内接于$\odot O$”入手，回忆圆内接四边形的性质：对角互补，据此可求出$∠ BAD$的度数；再结合$AB=AD$的条件，根据等边三角形的判定定理，可判断$△ ABD$的形状，最后结合$AB$的长度即可求出$△ ABD$的周长。
【解析】
$\because$ 四边形ABCD内接于$\odot O$
$\therefore ∠ BAD + ∠ C = 180°$（圆内接四边形的对角互补）
$\because ∠ C=120°$
$\therefore ∠ BAD=180° - 120°=60°$
又$\because AB=AD$
$\therefore △ ABD$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形）
$\because AB=2$
$\therefore AB=AD=BD=2$
$\therefore △ ABD$的周长为$2+2+2=6$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题侧重对基础性质的考查，解题的核心是先利用圆内接四边形的性质求出$∠ BAD$的度数，再判定$△ ABD$为等边三角形，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“四边形ABCD内接于$\odot O$”入手，回忆圆内接四边形的性质：对角互补，据此可求出$∠ BAD$的度数；再结合$AB=AD$的条件，根据等边三角形的判定定理，可判断$△ ABD$的形状，最后结合$AB$的长度即可求出$△ ABD$的周长。
【解析】
$\because$ 四边形ABCD内接于$\odot O$
$\therefore ∠ BAD + ∠ C = 180°$（圆内接四边形的对角互补）
$\because ∠ C=120°$
$\therefore ∠ BAD=180° - 120°=60°$
又$\because AB=AD$
$\therefore △ ABD$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形）
$\because AB=2$
$\therefore AB=AD=BD=2$
$\therefore △ ABD$的周长为$2+2+2=6$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题侧重对基础性质的考查，解题的核心是先利用圆内接四边形的性质求出$∠ BAD$的度数，再判定$△ ABD$为等边三角形，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
④ 在圆的内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2:3:4，则∠D的度数是
90°
。答案
4. 90°
解析
【分析】
解决本题首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知∠A、∠B、∠C的度数比，我们可以设每份度数为x，用含x的式子表示三个角的度数；再利用∠A与∠C是对角、和为180°的关系列方程求出x的值，最后结合∠B与∠D互补，或者四边形内角和为360°，即可求出∠D的度数。
【解析】
设∠A、∠B、∠C的度数分别为$2x$、$3x$、$4x$。
∵ 四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴ 圆内接四边形对角互补，即$∠ A + ∠ C = 180°$，
代入得：$2x + 4x = 180°$，
解得$x = 30°$。
∴ $∠ B = 3x = 3×30° = 90°$，
又
∵ $∠ B + ∠ D = 180°$（圆内接四边形对角互补），
∴ $∠ D = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
1. 圆内接四边形对角互补
2. 四边形内角和定理
【点评】
本题是圆内接四边形性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，通过设参数建立方程求解，计算难度低，掌握相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解决本题首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知∠A、∠B、∠C的度数比，我们可以设每份度数为x，用含x的式子表示三个角的度数；再利用∠A与∠C是对角、和为180°的关系列方程求出x的值，最后结合∠B与∠D互补，或者四边形内角和为360°，即可求出∠D的度数。
【解析】
设∠A、∠B、∠C的度数分别为$2x$、$3x$、$4x$。
∵ 四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴ 圆内接四边形对角互补，即$∠ A + ∠ C = 180°$，
代入得：$2x + 4x = 180°$，
解得$x = 30°$。
∴ $∠ B = 3x = 3×30° = 90°$，
又
∵ $∠ B + ∠ D = 180°$（圆内接四边形对角互补），
∴ $∠ D = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
1. 圆内接四边形对角互补
2. 四边形内角和定理
【点评】
本题是圆内接四边形性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，通过设参数建立方程求解，计算难度低，掌握相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
5 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC=20°，则∠ADC的度数为
第5题图 第6题图 第7题图
110°
。 第5题图 第6题图 第7题图
答案
5. 110°
解析
【分析】
解题可按三步推导：第一步，根据同弧所对的圆周角相等，由已知∠BEC的度数求出同弧BC对应的圆周角∠BAC的度数；第二步，利用直径所对的圆周角是直角的性质，得到△ABC是直角三角形，进而求出∠ABC的度数；第三步，结合圆内接四边形对角互补的性质，即可算出∠ADC的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∵∠BEC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠BAC=∠BEC=20°。
2. 求∠ABC的度数：
∵AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，
∴∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°-∠BAC=90°-20°=70°。
3. 求∠ADC的度数：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的对角互补，
∴∠ADC + ∠ABC=180°，
∴∠ADC=180°-70°=110°。
【答案】
110°
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角的性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的基础性质综合题，解题核心是找准同弧对应的圆周角、直径相关的直角以及圆内接四边形的对角互补关系，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题可按三步推导：第一步，根据同弧所对的圆周角相等，由已知∠BEC的度数求出同弧BC对应的圆周角∠BAC的度数；第二步，利用直径所对的圆周角是直角的性质，得到△ABC是直角三角形，进而求出∠ABC的度数；第三步，结合圆内接四边形对角互补的性质，即可算出∠ADC的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∵∠BEC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠BAC=∠BEC=20°。
2. 求∠ABC的度数：
∵AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，
∴∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°-∠BAC=90°-20°=70°。
3. 求∠ADC的度数：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的对角互补，
∴∠ADC + ∠ABC=180°，
∴∠ADC=180°-70°=110°。
【答案】
110°
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角的性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的基础性质综合题，解题核心是找准同弧对应的圆周角、直径相关的直角以及圆内接四边形的对角互补关系，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
⑥ 如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠A=62°，∠E=24°，则∠F的度数为
32°
。答案
6. 32°
解析
【分析】
解题时可结合圆内接四边形的性质、三角形内角和与外角性质逐步推导：首先利用圆内接四边形外角等于内对角的性质，得到与∠A相等的角；再在包含已知∠E的三角形中，用内角和算出对应角的度数；最后利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，代入已知角度即可求出∠F。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ECD = ∠A = 62°（圆内接四边形的外角等于它的内对角）。
在△ECD中，已知∠E=24°，∠ECD=62°，根据三角形内角和为180°可得：
∠EDC = 180° - ∠E - ∠ECD = 180° - 24° - 62° = 94°。
又
∵∠EDC是△ADF的外角，
∴∠EDC = ∠A + ∠F（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
则∠F = ∠EDC - ∠A = 94° - 62° = 32°。
【答案】
32°
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是将圆内接四边形的角的性质和三角形角的性质结合应用，只要能准确识别图形中角的位置关系，熟练掌握相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时可结合圆内接四边形的性质、三角形内角和与外角性质逐步推导：首先利用圆内接四边形外角等于内对角的性质，得到与∠A相等的角；再在包含已知∠E的三角形中，用内角和算出对应角的度数；最后利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，代入已知角度即可求出∠F。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ECD = ∠A = 62°（圆内接四边形的外角等于它的内对角）。
在△ECD中，已知∠E=24°，∠ECD=62°，根据三角形内角和为180°可得：
∠EDC = 180° - ∠E - ∠ECD = 180° - 24° - 62° = 94°。
又
∵∠EDC是△ADF的外角，
∴∠EDC = ∠A + ∠F（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
则∠F = ∠EDC - ∠A = 94° - 62° = 32°。
【答案】
32°
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是将圆内接四边形的角的性质和三角形角的性质结合应用，只要能准确识别图形中角的位置关系，熟练掌握相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
7 如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，AB是$\odot O$的直径，过点D的切线交BA的延长线于点E，若$∠ ADE=25°$，则$∠ C$的度数是
115°
。答案
7. 115°
解析
【分析】
解决本题的思路如下：首先遇到圆的切线问题时，优先连接切点和圆心，利用切线的性质得到直角；再结合同圆半径相等得到等腰三角形，求出∠DAB的度数；最后利用圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠C的度数。
【解析】
解：连接$OD$，
$\because DE$是$\odot O$的切线，$D$为切点，
$\therefore OD⊥ DE$，即$∠ ODE=90°$，
$\because ∠ ADE=25°$，
$\therefore ∠ ODA=∠ ODE-∠ ADE=90°-25°=65°$，
$\because OD=OA$（均为$\odot O$的半径），
$\therefore ∠ OAD=∠ ODA=65°$，即$∠ DAB=65°$，
$\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ C+∠ DAB=180°$（圆内接四边形对角互补），
$\therefore ∠ C=180°-65°=115°$。
【答案】
$115°$
【知识点】
切线的性质；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，考查了圆相关性质的基础应用，其中切线相关的辅助线作法是解题的切入点，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的核心，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路如下：首先遇到圆的切线问题时，优先连接切点和圆心，利用切线的性质得到直角；再结合同圆半径相等得到等腰三角形，求出∠DAB的度数；最后利用圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠C的度数。
【解析】
解：连接$OD$，
$\because DE$是$\odot O$的切线，$D$为切点，
$\therefore OD⊥ DE$，即$∠ ODE=90°$，
$\because ∠ ADE=25°$，
$\therefore ∠ ODA=∠ ODE-∠ ADE=90°-25°=65°$，
$\because OD=OA$（均为$\odot O$的半径），
$\therefore ∠ OAD=∠ ODA=65°$，即$∠ DAB=65°$，
$\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ C+∠ DAB=180°$（圆内接四边形对角互补），
$\therefore ∠ C=180°-65°=115°$。
【答案】
$115°$
【知识点】
切线的性质；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，考查了圆相关性质的基础应用，其中切线相关的辅助线作法是解题的切入点，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的核心，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
