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17 如图①，已知$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$AB$、$BC$、$AC$分别相切于点$D$、$E$、$F$，且$\overset{\frown}{EF} = \overset{\frown}{DE}$。
（1）证明：$△ ABC$是等腰三角形。
（2）如图②，设$AE$与$DF$相交于点$M$，$AF = 2FC = 4$，求$AM$的长。
（1）证明：$△ ABC$是等腰三角形。
（2）如图②，设$AE$与$DF$相交于点$M$，$AF = 2FC = 4$，求$AM$的长。
答案
（1）因为$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{DE}$，所以$∠ EOF=∠ DOE$。又因为$∠ EOF+∠ C=180°$，$∠ DOE+∠ B=180°$，所以$∠ C=∠ B$，所以$AB=AC$，所以$△ ABC$为等腰三角形。
（2）连接$OB$、$OC$、$OD$、$OF$。易证$△ COF ≌ △ COE$，$△ BOE ≌ △ BOD$，所以$∠ BOD=\dfrac{1}{2}∠ EOD$，$∠ COF=\dfrac{1}{2}∠ EOF$。因为$∠ EOF=∠ EOD$，所以$∠ COF=∠ BOD$。又因为$∠ BDO=∠ CFO=90°$，$OD=OF$，所以$△ BOD ≌ △ COF$，所以$CF=BD$。由切线长定理，可得$AF=AD$，$CF=CE$，$BD=BE$，所以$CF=CE=EB=BD=2$。因为$AF=AD$，$FC=DB$，所以$\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{AD}{DB}$，所以$DF // BC$，所以$\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AF}{AC}$。因为$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=4\sqrt{2}$，所以$AM=4\sqrt{2} × \dfrac{2}{3}=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}$。
（2）连接$OB$、$OC$、$OD$、$OF$。易证$△ COF ≌ △ COE$，$△ BOE ≌ △ BOD$，所以$∠ BOD=\dfrac{1}{2}∠ EOD$，$∠ COF=\dfrac{1}{2}∠ EOF$。因为$∠ EOF=∠ EOD$，所以$∠ COF=∠ BOD$。又因为$∠ BDO=∠ CFO=90°$，$OD=OF$，所以$△ BOD ≌ △ COF$，所以$CF=BD$。由切线长定理，可得$AF=AD$，$CF=CE$，$BD=BE$，所以$CF=CE=EB=BD=2$。因为$AF=AD$，$FC=DB$，所以$\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{AD}{DB}$，所以$DF // BC$，所以$\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AF}{AC}$。因为$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=4\sqrt{2}$，所以$AM=4\sqrt{2} × \dfrac{2}{3}=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}$。
解析
【分析】
（1）要证明△ABC是等腰三角形，核心是证明∠B=∠C。已知$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{DE}$，根据同圆中等弧对等圆心角可得$∠EOF=∠DOE$；再结合内切圆的性质，切点与圆心的连线垂直于三角形的边，由四边形内角和可推出$∠EOF$与$∠C$互补、$∠DOE$与$∠B$互补，即可得$∠B=∠C$，完成证明。
（2）求AM的长，首先连接辅助线OB、OC、OD、OF，通过全等三角形推导得$CF=BD$，再结合切线长定理得到各切线段的长度，证明$DF// BC$，得到平行线分线段成比例的关系；再用勾股定理求出AE的长度，代入比例式即可计算出AM的长。
【解析】
（1）证明：
∵$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{DE}$，同圆中相等的弧所对的圆心角相等，
∴$∠EOF=∠DOE$。
∵⊙O是△ABC的内切圆，E、F、D为切点，
∴$OE⊥BC$，$OF⊥AC$，$OD⊥AB$，即$∠OEC=∠OFC=∠ODB=∠OEB=90°$。
在四边形CEOF中，内角和为$360°$，代入垂直条件得$∠EOF+∠C=180°$；同理在四边形BDOE中，$∠DOE+∠B=180°$。
∵$∠EOF=∠DOE$，
∴$∠C=∠B$，
∴$AB=AC$，即△ABC是等腰三角形。
（2）解：连接OB、OC、OD、OF。
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OC平分$∠ACB$，OB平分$∠ABC$，$OD=OF=OE$。
可证$△COF≌△COE(AAS)$，$△BOE≌△BOD(AAS)$，
∴$∠COF=\frac{1}{2}∠EOF$，$∠BOD=\frac{1}{2}∠DOE$。
由（1）知$∠EOF=∠DOE$，
∴$∠COF=∠BOD$。
在$△COF$和$△BOD$中，$\begin{cases}∠CFO=∠BDO=90° \\ OF=OD \\ ∠COF=∠BOD\end{cases}$，
∴$△COF≌△BOD(ASA)$，
∴$CF=BD$。
根据切线长定理：$AF=AD$，$CF=CE$，$BD=BE$。已知$AF=2FC=4$，
∴$FC=CE=BE=BD=2$，$AC=AF+FC=6$。
∵$\frac{AF}{FC}=\frac{AD}{DB}=2$，由平行线分线段成比例逆定理得$DF// BC$，
∴$\frac{AM}{AE}=\frac{AF}{AC}$。
∵$AB=AC$，E为BC中点，
∴$AE⊥BC$，在$Rt△ACE$中，$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$。
代入比例式得：$AM=4\sqrt{2}×\frac{4}{6}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
（1）△ABC是等腰三角形，证明成立；
（2）$AM=\frac{8\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
1. 三角形内切圆性质
2. 切线长定理
3. 平行线分线段成比例
【点评】
本题综合考查圆的切线相关性质、三角形全等、等腰三角形判定、勾股定理等知识，第一问侧重基础概念的应用，第二问需要串联多个定理推导线段关系，对逻辑推理和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）要证明△ABC是等腰三角形，核心是证明∠B=∠C。已知$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{DE}$，根据同圆中等弧对等圆心角可得$∠EOF=∠DOE$；再结合内切圆的性质，切点与圆心的连线垂直于三角形的边，由四边形内角和可推出$∠EOF$与$∠C$互补、$∠DOE$与$∠B$互补，即可得$∠B=∠C$，完成证明。
（2）求AM的长，首先连接辅助线OB、OC、OD、OF，通过全等三角形推导得$CF=BD$，再结合切线长定理得到各切线段的长度，证明$DF// BC$，得到平行线分线段成比例的关系；再用勾股定理求出AE的长度，代入比例式即可计算出AM的长。
【解析】
（1）证明：
∵$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{DE}$，同圆中相等的弧所对的圆心角相等，
∴$∠EOF=∠DOE$。
∵⊙O是△ABC的内切圆，E、F、D为切点，
∴$OE⊥BC$，$OF⊥AC$，$OD⊥AB$，即$∠OEC=∠OFC=∠ODB=∠OEB=90°$。
在四边形CEOF中，内角和为$360°$，代入垂直条件得$∠EOF+∠C=180°$；同理在四边形BDOE中，$∠DOE+∠B=180°$。
∵$∠EOF=∠DOE$，
∴$∠C=∠B$，
∴$AB=AC$，即△ABC是等腰三角形。
（2）解：连接OB、OC、OD、OF。
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OC平分$∠ACB$，OB平分$∠ABC$，$OD=OF=OE$。
可证$△COF≌△COE(AAS)$，$△BOE≌△BOD(AAS)$，
∴$∠COF=\frac{1}{2}∠EOF$，$∠BOD=\frac{1}{2}∠DOE$。
由（1）知$∠EOF=∠DOE$，
∴$∠COF=∠BOD$。
在$△COF$和$△BOD$中，$\begin{cases}∠CFO=∠BDO=90° \\ OF=OD \\ ∠COF=∠BOD\end{cases}$，
∴$△COF≌△BOD(ASA)$，
∴$CF=BD$。
根据切线长定理：$AF=AD$，$CF=CE$，$BD=BE$。已知$AF=2FC=4$，
∴$FC=CE=BE=BD=2$，$AC=AF+FC=6$。
∵$\frac{AF}{FC}=\frac{AD}{DB}=2$，由平行线分线段成比例逆定理得$DF// BC$，
∴$\frac{AM}{AE}=\frac{AF}{AC}$。
∵$AB=AC$，E为BC中点，
∴$AE⊥BC$，在$Rt△ACE$中，$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$。
代入比例式得：$AM=4\sqrt{2}×\frac{4}{6}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
（1）△ABC是等腰三角形，证明成立；
（2）$AM=\frac{8\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
1. 三角形内切圆性质
2. 切线长定理
3. 平行线分线段成比例
【点评】
本题综合考查圆的切线相关性质、三角形全等、等腰三角形判定、勾股定理等知识，第一问侧重基础概念的应用，第二问需要串联多个定理推导线段关系，对逻辑推理和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
