14 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点 D 在 AB 上,以 CD 为直径作$\odot O$,过点 D 作$\odot O$的切线交 AC 于点 E,且$AE=DE$。
(1) 求证:$CD=BC$。
(2) 若$BC=5$,$BD=6$,求 DE 的长。

（1）如图，因为$DE$是$\odot O$的切线，所以$∠ CDE=90°$，所以$∠ 1+∠ 2=90°$。因为$AE=DE$，所以$∠ A=∠ 1$，所以$∠ A+∠ 2=90°$，因为$∠ ACB=90°$，所以$∠ A+∠ B=90°$，所以$∠ 2=∠ B$，所以$CD=BC$。
（2）如图，设$BD$与$\odot O$交于点$F$，连接$CF$。由$CD$是$\odot O$的直径，可得$∠ CFD=90°$，所以$∠ 3+∠ B=90°$。又因为$∠ A+∠ B=90°$，所以$∠ 3=∠ A$。由(1)知$CD=BC=5$，所以$DF=BF=\dfrac{1}{2}BD=3$。在$\mathrm{Rt}△ CBF$中，$CF=\sqrt{BC^2-BF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。因为$∠ CFB=∠ ACB=90°$，所以$△ CFB ∽ △ ACB$，所以$\dfrac{CF}{AC}=\dfrac{BF}{BC}$，即$\dfrac{4}{AC}=\dfrac{3}{5}$，所以$AC=\dfrac{20}{3}$。设$DE=x$，则$AE=x$，所以$CE=\dfrac{20}{3}-x$。因为$CE^2=DE^2+CD^2$，所以$(\dfrac{20}{3}-x)^2=x^2+5^2$，解得$x=\dfrac{35}{24}$，所以$DE=\dfrac{35}{24}$。

15 如图，AB为$\odot O$的直径，$OC ⊥ AB$交$\odot O$于点$C$，$D$为线段$OB$上一点，延长$CD$交$\odot O$于点$E$，延长$OB$至$F$，使$DF = FE$，连接$EF$。
（1）求证：$EF$为$\odot O$的切线。
（2）若$OD = 1$，且$BD = BF$，求$\odot O$的半径。

（1）连接$OE$。因为$OE=OC$，所以$∠ OEC=∠ OCE$。因为$DF=FE$，所以$∠ FED=∠ FDE$。因为$∠ FDE=∠ CDO$，$∠ CDO+∠ OCD=90°$，所以$∠ FED+∠ OEC=90°$，即$∠ FEO=90°$，所以$OE ⊥ FE$。因为$OE$是$\odot O$的半径，所以$EF$为$\odot O$的切线。
（2）设$\odot O$的半径$EO=BO=r$，则$BD=BF=r-1$，所以$FE=2BD=2(r-1)$。在$\mathrm{Rt}△ FEO$中，由勾股定理，得$FE^2+OE^2=OF^2$，所以$(2r-2)^2+r^2=(2r-1)^2$，解得$r=3$或$r=1$(舍去)，所以$\odot O$的半径为3。

16 如图，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形，$AC$是$\odot O$的直径，点$D$在$\odot O$上，连接$DA$并延长，过点$B$作$BM ⊥ DA$交$DA$的延长线于点$M$，交$CA$的延长线于点$N$，已知$∠ DAC = 2∠ ACB$。
（1）求证：$BN$是$\odot O$的切线。
（2）若$BN = BC = 3\sqrt{3}$，求$\overset{\frown}{AB}$的长。

（1）连接$OB$。因为$∠ AOB=2∠ ACB$，$∠ DAC=2∠ ACB$，所以$∠ AOB=∠ DAC$，所以$OB // AD$，所以$∠ OBM=∠ DMN$。因为$BM ⊥ DA$，所以$OB ⊥ BM$。因为$OB$是$\odot O$的半径，所以$BN$是$\odot O$的切线。
（2）因为$BN=BC$，所以$∠ N=∠ ACB$。设$∠ N=∠ ACB=x$，所以$∠ AOB=2∠ ACB=2x$。由(1)可知$∠ OBM=90°$，所以$∠ N+∠ AOB=90°$，即$x+2x=90°$，解得$x=30°$，所以$∠ N=30°$，$∠ AOB=2x=60°$。在$\mathrm{Rt}△ NBO$中，因为$∠ N=30°$，$BN=3\sqrt{3}$，所以$OB=BN\tan30°=3$，所以$\overset{\frown}{AB}$的长为$\dfrac{60 × 3π}{180}=π$。