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13 如图，在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中，$AB=AD$，$E$为$\overset{\frown}{AD}$上一点。
（1）若$∠ C=110°$，求$∠ BAD$和$∠ E$的度数。
（2）若$∠ E=∠ C$，求证：$△ ABD$为等边三角形。
（1）若$∠ C=110°$，求$∠ BAD$和$∠ E$的度数。
（2）若$∠ E=∠ C$，求证：$△ ABD$为等边三角形。
答案
13 （1）因为四边形ABCD内接于$\odot O$,所以$∠BAD + ∠C = 180°$。因为$∠C=110°$,所以$∠BAD=70°$。因为$AB=AD$,所以$∠ABD=∠ADB=55°$。因为四边形ABDE内接于$\odot O$,所以$∠ABD + ∠E = 180°$,所以$∠E=125°$。
（2）因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,所以$∠BAD + ∠C = 180°$。因为四边形ABDE是$\odot O$的内接四边形,所以$∠ABD + ∠E = 180°$。又因为$∠E=∠C$,所以$∠BAD=∠ABD$,所以$AD=BD$。因为$AB=AD$,所以$AD=BD=AB$,所以$△ABD$为等边三角形。
（2）因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,所以$∠BAD + ∠C = 180°$。因为四边形ABDE是$\odot O$的内接四边形,所以$∠ABD + ∠E = 180°$。又因为$∠E=∠C$,所以$∠BAD=∠ABD$,所以$AD=BD$。因为$AB=AD$,所以$AD=BD=AB$,所以$△ABD$为等边三角形。
解析
【分析】
（1）求解第一问时，首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠C的度数先求出∠BAD；再由AB=AD可知△ABD是等腰三角形，根据三角形内角和算出底角∠ABD的度数；最后再次利用圆内接四边形ABDE的对角互补性质，即可求出∠E的度数。
（2）证明第二问时，先分别利用两个圆内接四边形ABCD、ABDE的对角互补性质，得到两组互补的角，结合已知∠E=∠C推出∠BAD=∠ABD，进而得到AD=BD，再结合已知AB=AD，即可证明△ABD三边相等，为等边三角形。
【解析】
（1）解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴$∠ BAD + ∠ C = 180°$，
∵$∠ C=110°$，
∴$∠ BAD=180° - 110°=70°$。
∵$AB=AD$，即$△ ABD$为等腰三角形，
∴$∠ ABD=∠ ADB=\frac{180° - ∠ BAD}{2}=\frac{180° -70°}{2}=55°$。
又
∵四边形ABDE内接于$\odot O$，
∴$∠ ABD + ∠ E=180°$，
∴$∠ E=180° -55°=125°$。
（2）证明：
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ BAD + ∠ C=180°$，
∵四边形ABDE是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ ABD + ∠ E=180°$，
又
∵$∠ E=∠ C$，
∴$∠ BAD=∠ ABD$，
∴$AD=BD$，
又
∵$AB=AD$，
∴$AB=AD=BD$，
∴$△ ABD$为等边三角形。
【答案】
（1）$∠ BAD=70°$，$∠ E=125°$；
（2）$△ ABD$为等边三角形，证明成立。
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，再结合等腰三角形、等边三角形的相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
（1）求解第一问时，首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠C的度数先求出∠BAD；再由AB=AD可知△ABD是等腰三角形，根据三角形内角和算出底角∠ABD的度数；最后再次利用圆内接四边形ABDE的对角互补性质，即可求出∠E的度数。
（2）证明第二问时，先分别利用两个圆内接四边形ABCD、ABDE的对角互补性质，得到两组互补的角，结合已知∠E=∠C推出∠BAD=∠ABD，进而得到AD=BD，再结合已知AB=AD，即可证明△ABD三边相等，为等边三角形。
【解析】
（1）解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴$∠ BAD + ∠ C = 180°$，
∵$∠ C=110°$，
∴$∠ BAD=180° - 110°=70°$。
∵$AB=AD$，即$△ ABD$为等腰三角形，
∴$∠ ABD=∠ ADB=\frac{180° - ∠ BAD}{2}=\frac{180° -70°}{2}=55°$。
又
∵四边形ABDE内接于$\odot O$，
∴$∠ ABD + ∠ E=180°$，
∴$∠ E=180° -55°=125°$。
（2）证明：
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ BAD + ∠ C=180°$，
∵四边形ABDE是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ ABD + ∠ E=180°$，
又
∵$∠ E=∠ C$，
∴$∠ BAD=∠ ABD$，
∴$AD=BD$，
又
∵$AB=AD$，
∴$AB=AD=BD$，
∴$△ ABD$为等边三角形。
【答案】
（1）$∠ BAD=70°$，$∠ E=125°$；
（2）$△ ABD$为等边三角形，证明成立。
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，再结合等腰三角形、等边三角形的相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
14 如图,已知四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E,点F在线段AE上,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC。
(1) 若∠DFC=40°,求∠CBF的度数。
(2) 求证:CD ⊥ DF。
(1) 若∠DFC=40°,求∠CBF的度数。
(2) 求证:CD ⊥ DF。
答案
14 （1）由圆周角定理,得$∠ADB = ∠ACB$,又因为$∠BAD = ∠BFC$,所以$∠ABD = ∠FBC$。又因为$AB = AD$,所以$∠ABD = ∠ADB$,所以$∠CBF = ∠BCF$。因为$∠BFC = 2∠DFC = 80°$,所以$∠CBF = \frac{180°-80°}{2} = 50°$。
（2）令$∠CFD=α$,则$∠BAD=∠BFC=2α$。因为四边形ABCD是圆的内接四边形,所以$∠BAD + ∠BCD = 180°$,即$∠BCD = 180°-2α$。又因为$AB = AD$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$,所以$∠ACD = ∠ACB = \frac{1}{2}∠BCD = 90°-α$,所以$∠CFD + ∠FCD = α + (90°-α) = 90°$,所以$∠CDF=90°$,即$CD ⊥ DF$。
（2）令$∠CFD=α$,则$∠BAD=∠BFC=2α$。因为四边形ABCD是圆的内接四边形,所以$∠BAD + ∠BCD = 180°$,即$∠BCD = 180°-2α$。又因为$AB = AD$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$,所以$∠ACD = ∠ACB = \frac{1}{2}∠BCD = 90°-α$,所以$∠CFD + ∠FCD = α + (90°-α) = 90°$,所以$∠CDF=90°$,即$CD ⊥ DF$。
解析
【分析】
(1) 求解∠CBF时，首先利用圆周角定理得到同弧所对圆周角相等，结合已知的等角条件推出∠ABD=∠FBC；再由AB=AD得到等腰△ABD的底角相等，等量代换后可证△BFC为等腰三角形，最后结合已知角度用三角形内角和计算即可。
(2) 证明CD⊥DF，只需证∠CDF=90°，即∠DFC与∠FCD的和为90°。先设∠CFD为α，表示出相关角的度数，利用圆内接四边形对角互补求出∠BCD，再由等弦对等弧、等弧对等圆周角得到∠ACD的度数，最后验证两角和为90°即可得证。
【解析】
(1) 由圆周角定理得：同弧所对的圆周角相等，即$∠ADB = ∠ACB$。
已知$∠BAD = ∠BFC$，结合三角形内角和为$180°$，可得$∠ABD = ∠FBC$。
$\because AB=AD$，$\therefore △ ABD$为等腰三角形，$∠ABD = ∠ADB$，
等量代换得$∠CBF = ∠BCF$，即$△ BFC$为等腰三角形。
$\because ∠DFC=40°$，$\therefore ∠BFC = 2∠DFC = 80°$，
$\therefore ∠CBF = \frac{180°-∠BFC}{2} = \frac{180°-80°}{2} = 50°$。
(2) 证明：令$∠CFD=α$，则$∠BAD=∠BFC=2α$。
$\because$ 四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得：
$∠BAD + ∠BCD = 180°$，即$∠BCD = 180°-2α$。
$\because AB=AD$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，根据等弧所对的圆周角相等，得：
$∠ACD = ∠ACB = \frac{1}{2}∠BCD = \frac{1}{2}(180°-2α)=90°-α$，
$\therefore ∠CFD + ∠FCD = α + (90°-α) = 90°$，
在$△ DFC$中，$∠CDF=180°-(∠CFD + ∠FCD)=90°$，即$CD ⊥ DF$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$；(2) 证明如上，$CD⊥DF$成立。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和三角形角度计算，解题关键是熟练运用圆周角、圆内接四边形的性质完成角的等量转化，是典型的圆与三角形结合的基础综合题。
【难度系数】
0.65
(1) 求解∠CBF时，首先利用圆周角定理得到同弧所对圆周角相等，结合已知的等角条件推出∠ABD=∠FBC；再由AB=AD得到等腰△ABD的底角相等，等量代换后可证△BFC为等腰三角形，最后结合已知角度用三角形内角和计算即可。
(2) 证明CD⊥DF，只需证∠CDF=90°，即∠DFC与∠FCD的和为90°。先设∠CFD为α，表示出相关角的度数，利用圆内接四边形对角互补求出∠BCD，再由等弦对等弧、等弧对等圆周角得到∠ACD的度数，最后验证两角和为90°即可得证。
【解析】
(1) 由圆周角定理得：同弧所对的圆周角相等，即$∠ADB = ∠ACB$。
已知$∠BAD = ∠BFC$，结合三角形内角和为$180°$，可得$∠ABD = ∠FBC$。
$\because AB=AD$，$\therefore △ ABD$为等腰三角形，$∠ABD = ∠ADB$，
等量代换得$∠CBF = ∠BCF$，即$△ BFC$为等腰三角形。
$\because ∠DFC=40°$，$\therefore ∠BFC = 2∠DFC = 80°$，
$\therefore ∠CBF = \frac{180°-∠BFC}{2} = \frac{180°-80°}{2} = 50°$。
(2) 证明：令$∠CFD=α$，则$∠BAD=∠BFC=2α$。
$\because$ 四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得：
$∠BAD + ∠BCD = 180°$，即$∠BCD = 180°-2α$。
$\because AB=AD$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，根据等弧所对的圆周角相等，得：
$∠ACD = ∠ACB = \frac{1}{2}∠BCD = \frac{1}{2}(180°-2α)=90°-α$，
$\therefore ∠CFD + ∠FCD = α + (90°-α) = 90°$，
在$△ DFC$中，$∠CDF=180°-(∠CFD + ∠FCD)=90°$，即$CD ⊥ DF$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$；(2) 证明如上，$CD⊥DF$成立。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和三角形角度计算，解题关键是熟练运用圆周角、圆内接四边形的性质完成角的等量转化，是典型的圆与三角形结合的基础综合题。
【难度系数】
0.65
15 如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB。
(1) 求证:DB平分∠ADC,并求∠BAD的度数。
(2) 过点C作CF // AD,交AB的延长线于点F,若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长。
(1) 求证:DB平分∠ADC,并求∠BAD的度数。
(2) 过点C作CF // AD,交AB的延长线于点F,若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长。
答案
15 （1）由圆周角定理,得$∠BAC = ∠BDC$。因为$∠BAC = ∠ADB$,所以$∠ADB = ∠CDB$,所以DB平分$∠ADC$。因为BD平分$∠ABC$,所以$∠ABD = ∠CBD$。因为四边形ABCD是圆内接四边形,所以$∠ABC + ∠ADC = 180°$,所以$∠ABD + ∠CBD + ∠ADB + ∠CDB = 180°$,所以$2(∠ABD + ∠ADB)=180°$,所以$∠ABD + ∠ADB = 90°$,所以$∠BAD = 90°$。
（2）因为$∠BAE + ∠DAE = 90°$, $∠BAE = ∠ADE$,所以$∠ADE + ∠DAE = 90°$,所以$∠AED = 90°$。因为$∠BAD = 90°$,所以BD是圆的直径,所以BD垂直平分AC,所以$AD = CD$。因为$AC = AD$,所以$△ACD$是等边三角形,所以$∠ADC = 60°$。因为$BD ⊥ AC$,所以$∠BDC = \frac{1}{2}∠ADC = 30°$。因为$CF // AD$,所以$∠F + ∠BAD = 180°$,所以$∠F = 90°$,因为四边形ABCD是圆内接四边形,所以$∠ADC + ∠ABC = 180°$。因为$∠FBC + ∠ABC = 180°$,所以$∠FBC = ∠ADC = 60°$,所以$BC = \frac{BF}{\cos60°} = 4$。因为$∠BCD = 90°$, $∠BDC = 30°$,所以$BD = \frac{BC}{\sin30°} = 8$。因为BD是圆的直径,所以圆的半径长是4。
（2）因为$∠BAE + ∠DAE = 90°$, $∠BAE = ∠ADE$,所以$∠ADE + ∠DAE = 90°$,所以$∠AED = 90°$。因为$∠BAD = 90°$,所以BD是圆的直径,所以BD垂直平分AC,所以$AD = CD$。因为$AC = AD$,所以$△ACD$是等边三角形,所以$∠ADC = 60°$。因为$BD ⊥ AC$,所以$∠BDC = \frac{1}{2}∠ADC = 30°$。因为$CF // AD$,所以$∠F + ∠BAD = 180°$,所以$∠F = 90°$,因为四边形ABCD是圆内接四边形,所以$∠ADC + ∠ABC = 180°$。因为$∠FBC + ∠ABC = 180°$,所以$∠FBC = ∠ADC = 60°$,所以$BC = \frac{BF}{\cos60°} = 4$。因为$∠BCD = 90°$, $∠BDC = 30°$,所以$BD = \frac{BC}{\sin30°} = 8$。因为BD是圆的直径,所以圆的半径长是4。
解析
【分析】
(1) 要证DB平分∠ADC，只需证∠ADB=∠CDB，根据圆周角定理，同弧BC所对的∠BAC和∠BDC相等，结合已知∠BAC=∠ADB即可得证；求∠BAD时，结合BD平分∠ABC得∠ABD=∠CBD，再利用圆内接四边形对角互补，将∠ABC+∠ADC=180°转化为2(∠ABD+∠ADB)=180°，根据三角形内角和即可推出∠BAD=90°。
(2) 首先由∠BAD=90°可得BD是圆的直径，结合角的关系推出BD⊥AC，得AD=CD，结合AC=AD可判定△ACD是等边三角形，得到∠ADC=60°，进而推出∠BDC=30°；再由CF//AD得∠F=90°，利用圆内接四边形的外角等于内对角得∠FBC=60°，在Rt△FBC中解直角三角形得BC的长，再在Rt△BCD中利用30°角的性质求出直径BD的长，即可得到圆的半径。
【解析】
（1）证明：由圆周角定理，得$∠BAC = ∠BDC$。
∵$∠BAC = ∠ADB$，
∴$∠ADB = ∠CDB$，即DB平分$∠ADC$。
∵BD平分$∠ABC$，
∴$∠ABD = ∠CBD$。
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴$∠ABC + ∠ADC = 180°$，
∴$∠ABD + ∠CBD + ∠ADB + ∠CDB = 180°$，
∴$2(∠ABD + ∠ADB)=180°$，即$∠ABD + ∠ADB = 90°$，
在△ABD中，$∠BAD = 180°-(∠ABD + ∠ADB)=90°$。
（2）解：
∵$∠BAE + ∠DAE = 90°$，$∠BAE = ∠ADE$，
∴$∠ADE + ∠DAE = 90°$，
∴$∠AED = 90°$，即$BD⊥AC$。
∵$∠BAD = 90°$，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴$AD = CD$。
∵$AC = AD$，
∴$AC=AD=CD$，即$△ACD$是等边三角形，
∴$∠ADC = 60°$。
∵$BD ⊥ AC$，
∴$∠BDC = \frac{1}{2}∠ADC = 30°$。
∵$CF // AD$，
∴$∠F + ∠BAD = 180°$，
∴$∠F = 90°$，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴$∠ADC + ∠ABC = 180°$，
又
∵$∠FBC + ∠ABC = 180°$，
∴$∠FBC = ∠ADC = 60°$，
在Rt△FBC中，$BC = \frac{BF}{\cos60°} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$。
∵BD是直径，
∴$∠BCD = 90°$，
在Rt△BCD中，$∠BDC = 30°$，
∴$BD = \frac{BC}{\sin30°} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$。
∴圆的半径长为$\frac{1}{2}BD=4$。
【答案】
（1）DB平分∠ADC得证，$\boldsymbol{∠BAD=90°}$；（2）此圆半径的长为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质、特殊三角形的判定与性质，解题关键是先推导得到BD为圆的直径，再结合角度关系逐步求解，注重对逻辑推理能力和计算能力的考查。
【难度系数】
0.6
(1) 要证DB平分∠ADC，只需证∠ADB=∠CDB，根据圆周角定理，同弧BC所对的∠BAC和∠BDC相等，结合已知∠BAC=∠ADB即可得证；求∠BAD时，结合BD平分∠ABC得∠ABD=∠CBD，再利用圆内接四边形对角互补，将∠ABC+∠ADC=180°转化为2(∠ABD+∠ADB)=180°，根据三角形内角和即可推出∠BAD=90°。
(2) 首先由∠BAD=90°可得BD是圆的直径，结合角的关系推出BD⊥AC，得AD=CD，结合AC=AD可判定△ACD是等边三角形，得到∠ADC=60°，进而推出∠BDC=30°；再由CF//AD得∠F=90°，利用圆内接四边形的外角等于内对角得∠FBC=60°，在Rt△FBC中解直角三角形得BC的长，再在Rt△BCD中利用30°角的性质求出直径BD的长，即可得到圆的半径。
【解析】
（1）证明：由圆周角定理，得$∠BAC = ∠BDC$。
∵$∠BAC = ∠ADB$，
∴$∠ADB = ∠CDB$，即DB平分$∠ADC$。
∵BD平分$∠ABC$，
∴$∠ABD = ∠CBD$。
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴$∠ABC + ∠ADC = 180°$，
∴$∠ABD + ∠CBD + ∠ADB + ∠CDB = 180°$，
∴$2(∠ABD + ∠ADB)=180°$，即$∠ABD + ∠ADB = 90°$，
在△ABD中，$∠BAD = 180°-(∠ABD + ∠ADB)=90°$。
（2）解：
∵$∠BAE + ∠DAE = 90°$，$∠BAE = ∠ADE$，
∴$∠ADE + ∠DAE = 90°$，
∴$∠AED = 90°$，即$BD⊥AC$。
∵$∠BAD = 90°$，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴$AD = CD$。
∵$AC = AD$，
∴$AC=AD=CD$，即$△ACD$是等边三角形，
∴$∠ADC = 60°$。
∵$BD ⊥ AC$，
∴$∠BDC = \frac{1}{2}∠ADC = 30°$。
∵$CF // AD$，
∴$∠F + ∠BAD = 180°$，
∴$∠F = 90°$，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴$∠ADC + ∠ABC = 180°$，
又
∵$∠FBC + ∠ABC = 180°$，
∴$∠FBC = ∠ADC = 60°$，
在Rt△FBC中，$BC = \frac{BF}{\cos60°} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$。
∵BD是直径，
∴$∠BCD = 90°$，
在Rt△BCD中，$∠BDC = 30°$，
∴$BD = \frac{BC}{\sin30°} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$。
∴圆的半径长为$\frac{1}{2}BD=4$。
【答案】
（1）DB平分∠ADC得证，$\boldsymbol{∠BAD=90°}$；（2）此圆半径的长为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质、特殊三角形的判定与性质，解题关键是先推导得到BD为圆的直径，再结合角度关系逐步求解，注重对逻辑推理能力和计算能力的考查。
【难度系数】
0.6
