13 如图，在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中，$AB=AD$，$E$为$\overset{\frown}{AD}$上一点。
（1）若$∠ C=110°$，求$∠ BAD$和$∠ E$的度数。
（2）若$∠ E=∠ C$，求证：$△ ABD$为等边三角形。

13 （1）因为四边形ABCD内接于$\odot O$,所以$∠BAD + ∠C = 180°$。因为$∠C=110°$,所以$∠BAD=70°$。因为$AB=AD$,所以$∠ABD=∠ADB=55°$。因为四边形ABDE内接于$\odot O$,所以$∠ABD + ∠E = 180°$,所以$∠E=125°$。
（2）因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,所以$∠BAD + ∠C = 180°$。因为四边形ABDE是$\odot O$的内接四边形,所以$∠ABD + ∠E = 180°$。又因为$∠E=∠C$,所以$∠BAD=∠ABD$,所以$AD=BD$。因为$AB=AD$,所以$AD=BD=AB$,所以$△ABD$为等边三角形。

14 如图,已知四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E,点F在线段AE上,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC。
(1) 若∠DFC=40°,求∠CBF的度数。
(2) 求证:CD ⊥ DF。

14 （1）由圆周角定理,得$∠ADB = ∠ACB$,又因为$∠BAD = ∠BFC$,所以$∠ABD = ∠FBC$。又因为$AB = AD$,所以$∠ABD = ∠ADB$,所以$∠CBF = ∠BCF$。因为$∠BFC = 2∠DFC = 80°$,所以$∠CBF = \frac{180°-80°}{2} = 50°$。
（2）令$∠CFD=α$,则$∠BAD=∠BFC=2α$。因为四边形ABCD是圆的内接四边形,所以$∠BAD + ∠BCD = 180°$,即$∠BCD = 180°-2α$。又因为$AB = AD$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$,所以$∠ACD = ∠ACB = \frac{1}{2}∠BCD = 90°-α$,所以$∠CFD + ∠FCD = α + (90°-α) = 90°$,所以$∠CDF=90°$,即$CD ⊥ DF$。

15 如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB。
(1) 求证:DB平分∠ADC,并求∠BAD的度数。
(2) 过点C作CF // AD,交AB的延长线于点F,若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长。

15 （1）由圆周角定理,得$∠BAC = ∠BDC$。因为$∠BAC = ∠ADB$,所以$∠ADB = ∠CDB$,所以DB平分$∠ADC$。因为BD平分$∠ABC$,所以$∠ABD = ∠CBD$。因为四边形ABCD是圆内接四边形,所以$∠ABC + ∠ADC = 180°$,所以$∠ABD + ∠CBD + ∠ADB + ∠CDB = 180°$,所以$2(∠ABD + ∠ADB)=180°$,所以$∠ABD + ∠ADB = 90°$,所以$∠BAD = 90°$。
（2）因为$∠BAE + ∠DAE = 90°$, $∠BAE = ∠ADE$,所以$∠ADE + ∠DAE = 90°$,所以$∠AED = 90°$。因为$∠BAD = 90°$,所以BD是圆的直径,所以BD垂直平分AC,所以$AD = CD$。因为$AC = AD$,所以$△ACD$是等边三角形,所以$∠ADC = 60°$。因为$BD ⊥ AC$,所以$∠BDC = \frac{1}{2}∠ADC = 30°$。因为$CF // AD$,所以$∠F + ∠BAD = 180°$,所以$∠F = 90°$,因为四边形ABCD是圆内接四边形,所以$∠ADC + ∠ABC = 180°$。因为$∠FBC + ∠ABC = 180°$,所以$∠FBC = ∠ADC = 60°$,所以$BC = \frac{BF}{\cos60°} = 4$。因为$∠BCD = 90°$, $∠BDC = 30°$,所以$BD = \frac{BC}{\sin30°} = 8$。因为BD是圆的直径,所以圆的半径长是4。