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1 如图，正五边形ABCDE内接于圆O，连接OC、OD，则∠BAE + ∠COD=(
A.$150°$
B.$180°$
C.$176°$
D.$36°$
B
)。A.$150°$
B.$180°$
C.$176°$
D.$36°$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决本题，需分别求出∠BAE和∠COD的度数再求和。首先∠BAE是正五边形的内角，可借助多边形内角和公式计算正五边形单个内角的度数；∠COD是正五边形的中心角，正n边形的中心角等于周角360°除以边数，算出两个角的度数后相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算正五边形内角∠BAE的度数：
根据多边形内角和公式，n边形内角和为$(n-2)×180°$，正五边形的边数$n=5$，因此内角和为$(5-2)×180°=540°$。
正五边形所有内角相等，因此$∠ BAE=540°÷5=108°$。
2. 计算正五边形中心角∠COD的度数：
正n边形的中心角为$360°÷ n$，代入$n=5$得$∠ COD=360°÷5=72°$。
3. 求和：$∠ BAE+∠ COD=108°+72°=180°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角计算、正多边形中心角计算、正多边形与圆
【点评】
本题属于基础题，重点考查正多边形内角和中心角的相关计算，熟记公式即可快速求解，是正多边形和圆章节的常规题型。
【难度系数】
0.85
要解决本题，需分别求出∠BAE和∠COD的度数再求和。首先∠BAE是正五边形的内角，可借助多边形内角和公式计算正五边形单个内角的度数；∠COD是正五边形的中心角，正n边形的中心角等于周角360°除以边数，算出两个角的度数后相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算正五边形内角∠BAE的度数：
根据多边形内角和公式，n边形内角和为$(n-2)×180°$，正五边形的边数$n=5$，因此内角和为$(5-2)×180°=540°$。
正五边形所有内角相等，因此$∠ BAE=540°÷5=108°$。
2. 计算正五边形中心角∠COD的度数：
正n边形的中心角为$360°÷ n$，代入$n=5$得$∠ COD=360°÷5=72°$。
3. 求和：$∠ BAE+∠ COD=108°+72°=180°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角计算、正多边形中心角计算、正多边形与圆
【点评】
本题属于基础题，重点考查正多边形内角和中心角的相关计算，熟记公式即可快速求解，是正多边形和圆章节的常规题型。
【难度系数】
0.85
② 边长为a的正六边形的面积等于（
A.$\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$
B.$a^2$
C.$3\sqrt{3}a^2$
D.$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
D
）。A.$\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$
B.$a^2$
C.$3\sqrt{3}a^2$
D.$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
答案
2.D
解析
【分析】
求解正六边形的面积时，可利用正多边形的性质进行转化：正六边形的外接圆半径与边长相等，且可被从中心出发的半径分割为6个全等的等边三角形，因此只需先计算单个等边三角形的面积，再乘以6即可得到正六边形的总面积。
【解析】
解：边长为$a$的正六边形，其中心角为$\frac{360°}{6}=60°$。
因为正六边形的外接圆半径等于边长$a$，所以连接中心与相邻两个顶点得到的三角形均为边长为$a$的等边三角形。
根据等边三角形面积公式，单个等边三角形的面积为$S_{\mathrm{单}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
正六边形由6个全等的等边三角形组成，因此正六边形的总面积为：
$S=6×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形的性质，等边三角形面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是掌握正六边形的分割方法，将正多边形面积转化为熟悉的等边三角形面积之和求解，该方法也是正多边形面积计算的常用思路。
【难度系数】
0.7
求解正六边形的面积时，可利用正多边形的性质进行转化：正六边形的外接圆半径与边长相等，且可被从中心出发的半径分割为6个全等的等边三角形，因此只需先计算单个等边三角形的面积，再乘以6即可得到正六边形的总面积。
【解析】
解：边长为$a$的正六边形，其中心角为$\frac{360°}{6}=60°$。
因为正六边形的外接圆半径等于边长$a$，所以连接中心与相邻两个顶点得到的三角形均为边长为$a$的等边三角形。
根据等边三角形面积公式，单个等边三角形的面积为$S_{\mathrm{单}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
正六边形由6个全等的等边三角形组成，因此正六边形的总面积为：
$S=6×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形的性质，等边三角形面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是掌握正六边形的分割方法，将正多边形面积转化为熟悉的等边三角形面积之和求解，该方法也是正多边形面积计算的常用思路。
【难度系数】
0.7
3 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为(
A.$6$，$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{2}$，$3$
C.$6$，$3$
D.$6\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$
B
)。A.$6$，$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{2}$，$3$
C.$6$，$3$
D.$6\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先要明确正多边形的外接圆半径（正多边形的半径）是外接圆圆心到正多边形顶点的距离，内切圆半径（正多边形的边心距）是内切圆圆心到正多边形边的距离。正方形的外接圆圆心与内切圆圆心均在对角线交点处，因此外接圆半径等于正方形对角线长度的一半，内切圆半径等于正方形边长的一半，结合已知边长分别计算两个半径即可匹配正确选项。
【解析】
1. 计算正方形对角线长度：已知正方形边长为6，根据勾股定理可得对角线长为$\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$；
2. 求外接圆半径：正方形外接圆半径为对角线长度的一半，即$R=\frac{1}{2}×6\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；
3. 求内切圆半径：正方形内切圆半径为圆心到边的距离，等于边长的一半，即$r=\frac{1}{2}×6=3$。
因此外接圆半径为$3\sqrt{2}$，内切圆半径为3，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆的关系，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题考查正多边形的外接圆、内切圆半径的计算，解题关键是明确正方形外接圆半径、内切圆半径与边长、对角线的对应关系，掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确正多边形的外接圆半径（正多边形的半径）是外接圆圆心到正多边形顶点的距离，内切圆半径（正多边形的边心距）是内切圆圆心到正多边形边的距离。正方形的外接圆圆心与内切圆圆心均在对角线交点处，因此外接圆半径等于正方形对角线长度的一半，内切圆半径等于正方形边长的一半，结合已知边长分别计算两个半径即可匹配正确选项。
【解析】
1. 计算正方形对角线长度：已知正方形边长为6，根据勾股定理可得对角线长为$\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$；
2. 求外接圆半径：正方形外接圆半径为对角线长度的一半，即$R=\frac{1}{2}×6\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；
3. 求内切圆半径：正方形内切圆半径为圆心到边的距离，等于边长的一半，即$r=\frac{1}{2}×6=3$。
因此外接圆半径为$3\sqrt{2}$，内切圆半径为3，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆的关系，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题考查正多边形的外接圆、内切圆半径的计算，解题关键是明确正方形外接圆半径、内切圆半径与边长、对角线的对应关系，掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
④ 如图，已知正五边形ABCDE，AF // CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA的度数为
36°
。答案
4. 36°
解析
【分析】
要解决这道题，首先需利用正多边形内角和公式求出正五边形的每个内角度数，再结合正五边形各边相等的性质，得到△BCD为等腰三角形，从而求出∠CDB的度数，最后根据平行线的内错角相等的性质，即可推导得到∠DFA的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），正五边形的边数$n=5$，因此内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ C=108°$。
2. 求$∠ CDB$的度数：
因为正五边形的各边相等，所以$CD=CB$，$△ BCD$为等腰三角形，底角$∠ CDB=∠ CBD$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ CDB=\frac{180°-∠ C}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
3. 求$∠ DFA$的度数：
因为$AF// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ DFA=∠ CDB=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
正多边形的性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是正多边形性质与基础几何图形性质的综合应用题，解题核心是先求出正五边形的内角度数，再结合等腰三角形、平行线的性质推导所求角度，是正多边形相关的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需利用正多边形内角和公式求出正五边形的每个内角度数，再结合正五边形各边相等的性质，得到△BCD为等腰三角形，从而求出∠CDB的度数，最后根据平行线的内错角相等的性质，即可推导得到∠DFA的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），正五边形的边数$n=5$，因此内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ C=108°$。
2. 求$∠ CDB$的度数：
因为正五边形的各边相等，所以$CD=CB$，$△ BCD$为等腰三角形，底角$∠ CDB=∠ CBD$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ CDB=\frac{180°-∠ C}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
3. 求$∠ DFA$的度数：
因为$AF// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ DFA=∠ CDB=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
正多边形的性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是正多边形性质与基础几何图形性质的综合应用题，解题核心是先求出正五边形的内角度数，再结合等腰三角形、平行线的性质推导所求角度，是正多边形相关的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
5 将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于
第4题图 
第5题图
$1+\sqrt{2}$
。 第4题图 第5题图答案
5. $1+\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：正八边形补成正方形后，四个角空缺的部分均为等腰直角三角形，且等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长1。我们可以先设等腰直角三角形的直角边长为x，利用勾股定理求出x的值，再根据正方形边长=2倍直角边长+正八边形边长的关系，即可求出正方形的边长。
【解析】
解：由正八边形的性质可知，正八边形各边长均为1，每个内角为135°，因此补成正方形后，四个角的三角形均为等腰直角三角形，且斜边长为1。
设等腰直角三角形的直角边长为$ x $，根据勾股定理：
$ x^2 + x^2 = 1^2 $
整理得$ 2x^2 = 1 $，解得$ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $（边长为正数，舍去负根）。
正方形的边长为两个直角边长与正八边形边长的和：
$ 边长 = x + 1 + x = 1 + 2x = 1 + 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = 1+\sqrt{2} $
【答案】
$ 1+\sqrt{2} $
【知识点】
正多边形的性质；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题的关键是结合正八边形的内角特征，判断出四个角补全的图形为等腰直角三角形，进而找到正方形边长和正八边形边长的数量关系，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：正八边形补成正方形后，四个角空缺的部分均为等腰直角三角形，且等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长1。我们可以先设等腰直角三角形的直角边长为x，利用勾股定理求出x的值，再根据正方形边长=2倍直角边长+正八边形边长的关系，即可求出正方形的边长。
【解析】
解：由正八边形的性质可知，正八边形各边长均为1，每个内角为135°，因此补成正方形后，四个角的三角形均为等腰直角三角形，且斜边长为1。
设等腰直角三角形的直角边长为$ x $，根据勾股定理：
$ x^2 + x^2 = 1^2 $
整理得$ 2x^2 = 1 $，解得$ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $（边长为正数，舍去负根）。
正方形的边长为两个直角边长与正八边形边长的和：
$ 边长 = x + 1 + x = 1 + 2x = 1 + 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = 1+\sqrt{2} $
【答案】
$ 1+\sqrt{2} $
【知识点】
正多边形的性质；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题的关键是结合正八边形的内角特征，判断出四个角补全的图形为等腰直角三角形，进而找到正方形边长和正八边形边长的数量关系，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
⑥ 有一个边长是5 cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，则这个圆形纸片的最小半径是
5
cm。答案
6. 5
解析
【分析】
要找到能完全盖住正六边形的最小圆形纸片，首先明确该最小圆为正六边形的外接圆：若圆的半径小于外接圆半径，必然存在正六边形的顶点落在圆外，无法实现完全覆盖。接下来结合正六边形的性质分析：正六边形的中心到各顶点的距离等于其外接圆半径，只需推导出外接圆半径和正六边形边长的关系即可求解。
【解析】
解：能完全覆盖该正六边形的最小圆形是它的外接圆。
正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，设外接圆半径为$R$，则正六边形的中心与相邻两个顶点的连线长度均为$R$，这两条连线和正六边形的边长构成的三角形中，两边相等且夹角为60°，因此该三角形为等边三角形，可得$R=$正六边形的边长。
已知正六边形边长为5cm，因此这个圆形纸片的最小半径是5cm。
【答案】
5
【知识点】
正多边形的外接圆；正六边形的性质；最小覆盖圆判定
【点评】
本题重点考查正多边形和圆的相关性质，解题的核心是明确覆盖正多边形的最小圆就是它的外接圆，再利用正六边形边长与外接圆半径相等的特殊性质即可快速得出结果，是对基础概念应用的考察。
【难度系数】
0.8
要找到能完全盖住正六边形的最小圆形纸片，首先明确该最小圆为正六边形的外接圆：若圆的半径小于外接圆半径，必然存在正六边形的顶点落在圆外，无法实现完全覆盖。接下来结合正六边形的性质分析：正六边形的中心到各顶点的距离等于其外接圆半径，只需推导出外接圆半径和正六边形边长的关系即可求解。
【解析】
解：能完全覆盖该正六边形的最小圆形是它的外接圆。
正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，设外接圆半径为$R$，则正六边形的中心与相邻两个顶点的连线长度均为$R$，这两条连线和正六边形的边长构成的三角形中，两边相等且夹角为60°，因此该三角形为等边三角形，可得$R=$正六边形的边长。
已知正六边形边长为5cm，因此这个圆形纸片的最小半径是5cm。
【答案】
5
【知识点】
正多边形的外接圆；正六边形的性质；最小覆盖圆判定
【点评】
本题重点考查正多边形和圆的相关性质，解题的核心是明确覆盖正多边形的最小圆就是它的外接圆，再利用正六边形边长与外接圆半径相等的特殊性质即可快速得出结果，是对基础概念应用的考察。
【难度系数】
0.8
7 如图，AC是$\odot O$的内接正六边形的一边，点B在$\overset{\frown}{AC}$上，且BC是$\odot O$的内接正十边形的一边，若AB是$\odot O$的内接正n边形的一边，则$n=$
15
。答案
7. 15
解析
【分析】
解决本题的核心是利用正多边形的中心角与边数的关系：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$。首先分别求出AC对应正六边形的中心角∠AOC、BC对应正十边形的中心角∠BOC，两者作差得到AB对应的中心角∠AOB，再用360°除以∠AOB的度数，即可得到正n边形的边数n。
【解析】
∵ AC是$\odot O$内接正六边形的一边，
∴ 正六边形的中心角$∠ AOC=\frac{360°}{6}=60°$，
∵ BC是$\odot O$内接正十边形的一边，
∴ 正十边形的中心角$∠ BOC=\frac{360°}{10}=36°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=60°-36°=24°$，
∵ AB是$\odot O$内接正n边形的一边，
∴ $\frac{360°}{n}=24°$，解得$n=\frac{360}{24}=15$。
【答案】
15
【知识点】
正多边形中心角计算，正多边形与圆
【点评】
本题考查正多边形和圆的相关计算，解题关键是熟练掌握正多边形中心角和边数的对应公式，通过中心角的差求出目标正多边形的中心角，进而求解边数，整体难度不大，掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用正多边形的中心角与边数的关系：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$。首先分别求出AC对应正六边形的中心角∠AOC、BC对应正十边形的中心角∠BOC，两者作差得到AB对应的中心角∠AOB，再用360°除以∠AOB的度数，即可得到正n边形的边数n。
【解析】
∵ AC是$\odot O$内接正六边形的一边，
∴ 正六边形的中心角$∠ AOC=\frac{360°}{6}=60°$，
∵ BC是$\odot O$内接正十边形的一边，
∴ 正十边形的中心角$∠ BOC=\frac{360°}{10}=36°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=60°-36°=24°$，
∵ AB是$\odot O$内接正n边形的一边，
∴ $\frac{360°}{n}=24°$，解得$n=\frac{360}{24}=15$。
【答案】
15
【知识点】
正多边形中心角计算，正多边形与圆
【点评】
本题考查正多边形和圆的相关计算，解题关键是熟练掌握正多边形中心角和边数的对应公式，通过中心角的差求出目标正多边形的中心角，进而求解边数，整体难度不大，掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
8 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为
10
。答案
8. 10
解析
【分析】
首先明确正多边形的所有顶点都在其外接圆上，中心O就是外接圆的圆心。要求正多边形的边数，需要先求出正多边形的中心角：已知∠ADB是外接圆中弧AB所对的圆周角，可根据圆周角定理求出弧AB对应的圆心角，该圆心角就是正多边形的中心角，再根据正多边形中心角和为360°，即可求出边数。
【解析】
∵ 正多边形的顶点A、B、C、D都在以O为圆心的外接圆上
∴ ∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍
∴ ∠AOB = 2∠ADB = 2×18° = 36°
∵ 正多边形的所有中心角之和为360°，且每个中心角相等
∴ 正多边形的边数$ n = 360° ÷ ∠ AOB = 360° ÷ 36° = 10 $
【答案】
10
【知识点】
圆周角定理，正多边形性质，中心角计算
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题核心是将正多边形的中心角和圆周角定理关联起来，通过已知圆周角求出中心角，再利用中心角与边数的关系求解，需要熟练掌握正多边形和圆的相关性质。
【难度系数】
0.7
首先明确正多边形的所有顶点都在其外接圆上，中心O就是外接圆的圆心。要求正多边形的边数，需要先求出正多边形的中心角：已知∠ADB是外接圆中弧AB所对的圆周角，可根据圆周角定理求出弧AB对应的圆心角，该圆心角就是正多边形的中心角，再根据正多边形中心角和为360°，即可求出边数。
【解析】
∵ 正多边形的顶点A、B、C、D都在以O为圆心的外接圆上
∴ ∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍
∴ ∠AOB = 2∠ADB = 2×18° = 36°
∵ 正多边形的所有中心角之和为360°，且每个中心角相等
∴ 正多边形的边数$ n = 360° ÷ ∠ AOB = 360° ÷ 36° = 10 $
【答案】
10
【知识点】
圆周角定理，正多边形性质，中心角计算
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题核心是将正多边形的中心角和圆周角定理关联起来，通过已知圆周角求出中心角，再利用中心角与边数的关系求解，需要熟练掌握正多边形和圆的相关性质。
【难度系数】
0.7
9 如图，六边形$ABCDEF$是$\odot O$的内接正六边形，设正六边形$ABCDEF$的面积为$S_1$，$△ ACE$的面积为$S_2$，则$\dfrac{S_1}{S_2}=$
2
。答案
9. 2
解析
【分析】
解题时可先设正六边形$ABCDEF$的边长为$a$，利用正六边形的性质：正六边形可被外接圆半径分为6个全等的边长为$a$的正三角形，先计算正六边形的面积$S_1$；再推导$△ ACE$的边长：正六边形内角为$120°$，$△ ABC$是等腰三角形，可求出对角线$AC$的长度，结合$△ ACE$是正三角形，计算其面积$S_2$，最后求两者的比值即可。
【解析】
设正六边形$ABCDEF$的边长为$a$，其外接圆半径等于边长，即$R=a$。
1. 计算$S_1$：
正六边形可被外接圆半径分为6个全等的边长为$a$的正三角形，单个正三角形面积为$\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$，因此：
$S_1=6×\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
2. 计算$S_2$：
正六边形内角为$\dfrac{(6-2)×180°}{6}=120°$，在$△ ABC$中，$AB=BC=a$，$∠ ABC=120°$，过$B$作$BG⊥ AC$于$G$，
则$∠ ABG=60°$，$AG=GC$，
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，$AG=AB·\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$，因此$AC=2AG=\sqrt{3}a$。
同理可得$CE=EA=\sqrt{3}a$，即$△ ACE$是边长为$\sqrt{3}a$的正三角形，其面积：
$S_2=\dfrac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{3}a)^2=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2$。
3. 求比值：
$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2}{\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2}=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
正多边形的性质、正三角形面积计算、等腰三角形的性质
【点评】
本题解题核心是熟练掌握正六边形的边长、内角等基础性质，通过设参数分别计算两个图形的面积即可得到结果，解题时也可通过分割图形直观判断面积关系，简化计算过程。
【难度系数】
$0.7$
解题时可先设正六边形$ABCDEF$的边长为$a$，利用正六边形的性质：正六边形可被外接圆半径分为6个全等的边长为$a$的正三角形，先计算正六边形的面积$S_1$；再推导$△ ACE$的边长：正六边形内角为$120°$，$△ ABC$是等腰三角形，可求出对角线$AC$的长度，结合$△ ACE$是正三角形，计算其面积$S_2$，最后求两者的比值即可。
【解析】
设正六边形$ABCDEF$的边长为$a$，其外接圆半径等于边长，即$R=a$。
1. 计算$S_1$：
正六边形可被外接圆半径分为6个全等的边长为$a$的正三角形，单个正三角形面积为$\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$，因此：
$S_1=6×\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
2. 计算$S_2$：
正六边形内角为$\dfrac{(6-2)×180°}{6}=120°$，在$△ ABC$中，$AB=BC=a$，$∠ ABC=120°$，过$B$作$BG⊥ AC$于$G$，
则$∠ ABG=60°$，$AG=GC$，
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，$AG=AB·\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$，因此$AC=2AG=\sqrt{3}a$。
同理可得$CE=EA=\sqrt{3}a$，即$△ ACE$是边长为$\sqrt{3}a$的正三角形，其面积：
$S_2=\dfrac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{3}a)^2=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2$。
3. 求比值：
$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2}{\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2}=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
正多边形的性质、正三角形面积计算、等腰三角形的性质
【点评】
本题解题核心是熟练掌握正六边形的边长、内角等基础性质，通过设参数分别计算两个图形的面积即可得到结果，解题时也可通过分割图形直观判断面积关系，简化计算过程。
【难度系数】
$0.7$
