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10 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A、B、C在同一直线上，点$O_1$、$O_2$分别为两个正六边形的中心。则$\tan∠ O_2AC$的值为
$\frac{\sqrt{3}}{5}$
。答案
10. $\frac{\sqrt{3}}{5}$
[提示:如图，连接$O_2C$，过点$O_2$作$O_2E ⊥ BC$，垂足为点E。设正六边形的边长为a，则$AB=2a$，$BE=\frac{1}{2}a$，$O_2E=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$AE=2a+\frac{1}{2}a=\frac{5}{2}a$，所以$\tan∠ O_2AC=\frac{O_2E}{AE}=\frac{\sqrt{3}}{5}$。]
解析
【分析】
要求$\tan∠O_2AC$的值，根据正切的定义，需要将该角置于直角三角形中计算，因此首先过$O_2$作$AC$的垂线构造直角三角形。再结合正六边形的性质：正六边形的边长与外接圆半径相等，边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍边长，且点$A、B、C$共线，设正六边形边长为参数，分别求出直角三角形两条直角边的长度，最后计算比值即可得到结果。
【解析】
解：如图，连接$O_2C$，过点$O_2$作$O_2E ⊥ BC$，垂足为点$E$。
设正六边形的边长为$a$，由正六边形的性质可得：
正六边形过中心的对角线长为$2a$，因此$AB=2a$；
$O_2E$为正六边形的边心距，故$O_2E=\frac{\sqrt{3}}{2}a$；
$E$为$BC$的中点，因此$BE=\frac{1}{2}a$。
因为点$A、B、E$共线，所以$AE=AB+BE=2a+\frac{1}{2}a=\frac{5}{2}a$。
在$Rt△ AO_2E$中，$\tan∠O_2AC=\frac{对边}{邻边}=\frac{O_2E}{AE}$，代入数值计算得：
$\tan∠O_2AC=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{5}{2}a}=\frac{\sqrt{3}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{5}$
【知识点】
正六边形的性质，锐角三角函数定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是正多边形计算的常规题型，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将锐角三角函数的求解转化为线段长度的比值计算，要求熟练掌握正六边形边长、边心距等线段的数量关系。
【难度系数】
0.6
要求$\tan∠O_2AC$的值，根据正切的定义，需要将该角置于直角三角形中计算，因此首先过$O_2$作$AC$的垂线构造直角三角形。再结合正六边形的性质：正六边形的边长与外接圆半径相等，边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍边长，且点$A、B、C$共线，设正六边形边长为参数，分别求出直角三角形两条直角边的长度，最后计算比值即可得到结果。
【解析】
解：如图，连接$O_2C$，过点$O_2$作$O_2E ⊥ BC$，垂足为点$E$。
设正六边形的边长为$a$，由正六边形的性质可得：
正六边形过中心的对角线长为$2a$，因此$AB=2a$；
$O_2E$为正六边形的边心距，故$O_2E=\frac{\sqrt{3}}{2}a$；
$E$为$BC$的中点，因此$BE=\frac{1}{2}a$。
因为点$A、B、E$共线，所以$AE=AB+BE=2a+\frac{1}{2}a=\frac{5}{2}a$。
在$Rt△ AO_2E$中，$\tan∠O_2AC=\frac{对边}{邻边}=\frac{O_2E}{AE}$，代入数值计算得：
$\tan∠O_2AC=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{5}{2}a}=\frac{\sqrt{3}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{5}$
【知识点】
正六边形的性质，锐角三角函数定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是正多边形计算的常规题型，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将锐角三角函数的求解转化为线段长度的比值计算，要求熟练掌握正六边形边长、边心距等线段的数量关系。
【难度系数】
0.6
11 如图，$\odot O$ 的半径为$r$，六边形$ABCDEF$是圆的内接正六边形，四边形$EFGH$是正方形。
(1) 求正六边形$ABCDEF$与正方形$EFGH$的面积比。
(2) 连接$OG$，求$∠ OGF$的度数。
(1) 求正六边形$ABCDEF$与正方形$EFGH$的面积比。
(2) 连接$OG$，求$∠ OGF$的度数。
答案
11.(1) 因为∠FOE为正六边形的中心角，所以∠FOE=60°。因为EO=FO，所以△EOF是边长为r的等边三角形，所以EF=r，故正方形EFGH的面积为$r^2$，正六边形的面积为$6× \frac{1}{2} · r · \frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$，所以正六边形与正方形的面积比为$\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2:r^2=3\sqrt{3}:2$。
(2) 因为OF=EF=FG，所以∠OGF=∠GOF。因为∠EFG=90°，∠OFE=60°，所以∠OFG=150°，所以$∠ OGF=\frac{1}{2} · (180°-150°)=15°$。
(2) 因为OF=EF=FG，所以∠OGF=∠GOF。因为∠EFG=90°，∠OFE=60°，所以∠OFG=150°，所以$∠ OGF=\frac{1}{2} · (180°-150°)=15°$。
解析
【分析】
(1) 求两个图形的面积比，需要先分别计算两者的面积。首先利用正六边形的性质，其外接圆半径等于正六边形的边长，可得正方形的边长为r，先求出正方形的面积；再将正六边形拆分为6个边长为r的等边三角形，计算6个等边三角形的面积和得到正六边形的面积，最后作比化简即可。
(2) 求∠OGF的度数，首先通过边长关系判断△OFG是等腰三角形，两个底角相等；再结合等边三角形内角和正方形内角求出△OFG的顶角度数，最后利用三角形内角和计算底角∠OGF即可。
【解析】
(1)
∵∠FOE是正六边形的中心角，
∴$∠ FOE=\frac{360°}{6}=60°$，
又
∵$EO=FO=r$，
∴$△ EOF$是边长为$r$的等边三角形，
∴$EF=r$，
则正方形EFGH的面积为$S_{正方形}=EF^2=r^2$，
正六边形ABCDEF可看作6个边长为$r$的等边三角形组成，其面积为：
$S_{正六边形}=6×\frac{1}{2}× r×\frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$，
∴正六边形与正方形的面积比为$\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2:r^2=3\sqrt{3}:2$。
(2) 由(1)得$OF=EF=r$，
∵四边形EFGH是正方形，
∴$EF=FG=r$，
∴$OF=FG$，即$△ OFG$是等腰三角形，$∠ OGF=∠ GOF$，
∵$△ EOF$是等边三角形，
∴$∠ OFE=60°$，
∵四边形EFGH是正方形，
∴$∠ EFG=90°$，
∴$∠ OFG=∠ OFE+∠ EFG=60°+90°=150°$，
∴$∠ OGF=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$。
【答案】
(1) $3\sqrt{3}:2$
(2) $15°$
【知识点】
正多边形与圆的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了常见规则图形的性质和面积、角度计算，解题的核心是掌握正六边形的边长等于其外接圆半径这一关键结论，能有效考查对基础图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求两个图形的面积比，需要先分别计算两者的面积。首先利用正六边形的性质，其外接圆半径等于正六边形的边长，可得正方形的边长为r，先求出正方形的面积；再将正六边形拆分为6个边长为r的等边三角形，计算6个等边三角形的面积和得到正六边形的面积，最后作比化简即可。
(2) 求∠OGF的度数，首先通过边长关系判断△OFG是等腰三角形，两个底角相等；再结合等边三角形内角和正方形内角求出△OFG的顶角度数，最后利用三角形内角和计算底角∠OGF即可。
【解析】
(1)
∵∠FOE是正六边形的中心角，
∴$∠ FOE=\frac{360°}{6}=60°$，
又
∵$EO=FO=r$，
∴$△ EOF$是边长为$r$的等边三角形，
∴$EF=r$，
则正方形EFGH的面积为$S_{正方形}=EF^2=r^2$，
正六边形ABCDEF可看作6个边长为$r$的等边三角形组成，其面积为：
$S_{正六边形}=6×\frac{1}{2}× r×\frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$，
∴正六边形与正方形的面积比为$\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2:r^2=3\sqrt{3}:2$。
(2) 由(1)得$OF=EF=r$，
∵四边形EFGH是正方形，
∴$EF=FG=r$，
∴$OF=FG$，即$△ OFG$是等腰三角形，$∠ OGF=∠ GOF$，
∵$△ EOF$是等边三角形，
∴$∠ OFE=60°$，
∵四边形EFGH是正方形，
∴$∠ EFG=90°$，
∴$∠ OFG=∠ OFE+∠ EFG=60°+90°=150°$，
∴$∠ OGF=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$。
【答案】
(1) $3\sqrt{3}:2$
(2) $15°$
【知识点】
正多边形与圆的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了常见规则图形的性质和面积、角度计算，解题的核心是掌握正六边形的边长等于其外接圆半径这一关键结论，能有效考查对基础图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12 如图，正方形ABCD内接于$\odot O$，E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，连接AE、DE、CE。
（1）求证：$AE=DE$。
（2）若$CE=1$，求四边形AECD的面积。
（1）求证：$AE=DE$。
（2）若$CE=1$，求四边形AECD的面积。
答案
12.(1) 因为四边形ABCD是正方形，所以AB=CD，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。因为E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，所以$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{EC}$，所以$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{EC}$，即$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$，所以AE=DE。
(2) 连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于点F。因为四边形ABCD是正方形，所以∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC。因为∠EDF=90°，所以∠F=45°，所以DE=DF。因为$∠ AED=\frac{1}{2}∠ AOD=45°$，所以∠AED=∠F=45°。因为∠ADC=∠EDF=90°，所以∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=90°，所以∠ADE=∠CDF，所以△ADE≌△CDF，所以AE=CF，$S_{△ ADE}=S_{△ CDF}$，所以$S_{四边形AECD}=S_{△ DEF}$。因为$EF=\sqrt{2}DE=EC+DE$，EC=1，所以$1+DE=\sqrt{2}DE$，所以$DE=\sqrt{2}+1$，所以$S_{四边形AECD}=S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE^2=\sqrt{2}+\frac{3}{2}$。
(2) 连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于点F。因为四边形ABCD是正方形，所以∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC。因为∠EDF=90°，所以∠F=45°，所以DE=DF。因为$∠ AED=\frac{1}{2}∠ AOD=45°$，所以∠AED=∠F=45°。因为∠ADC=∠EDF=90°，所以∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=90°，所以∠ADE=∠CDF，所以△ADE≌△CDF，所以AE=CF，$S_{△ ADE}=S_{△ CDF}$，所以$S_{四边形AECD}=S_{△ DEF}$。因为$EF=\sqrt{2}DE=EC+DE$，EC=1，所以$1+DE=\sqrt{2}DE$，所以$DE=\sqrt{2}+1$，所以$S_{四边形AECD}=S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE^2=\sqrt{2}+\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
（1）要证明$AE=DE$，根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可先证$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$。结合正方形内接于圆的性质，可知正方形各边对应的弧相等，再结合E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，通过弧的和差关系即可推出$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$，进而证得弦相等。
（2）四边形AECD是不规则图形，直接计算面积难度较大，可通过构造全等三角形进行面积转化：过D作$DF⊥DE$交EC的延长线于F，先证明$△ ADE≌△ CDF$，将四边形AECD的面积转化为等腰直角$△ DEF$的面积；再结合等腰直角三角形的边的关系和已知$CE=1$求出DE的长度，最后计算等腰直角三角形的面积即可。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，内接于$\odot O$，
∴$AB=CD$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
∵E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{EC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{EC}$，即$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$，
∴$AE=DE$。
（2）解：过点D作$DF⊥DE$，交EC的延长线于点F。
∵四边形ABCD是正方形，内接于$\odot O$，
∴$DA=DC$，$∠ADC=90°$，$∠DEC=∠DBC=45°$。
∵$∠EDF=90°$，
∴$∠F=90°-∠DEC=45°$，
∴$∠F=∠DEC$，
∴$DE=DF$。
∵$∠AED=\frac{1}{2}∠AOD=45°$，
∴$∠AED=∠F$。
∵$∠ADC=∠EDF=90°$，
∴$∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC$，即$∠ADE=∠CDF$。
在$△ ADE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠AED=∠F \\∠ADE=∠CDF \\DA=DC\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ CDF$（AAS），
∴$AE=CF$，$S_{△ ADE}=S_{△ CDF}$，
∴$S_{四边形AECD}=S_{△ ADE}+S_{△ DEC}=S_{△ CDF}+S_{△ DEC}=S_{△ DEF}$。
∵$△ DEF$是等腰直角三角形，
∴$EF=\sqrt{2}DE$，
又
∵$EF=EC+CF=EC+AE$，且$AE=DE$，$EC=1$，
∴$1+DE=\sqrt{2}DE$，解得$DE=\sqrt{2}+1$，
∴$S_{四边形AECD}=S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE^2=\frac{1}{2}×(\sqrt{2}+1)^2=\frac{3}{2}+\sqrt{2}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\sqrt{2}+\frac{3}{2}$
【知识点】
弧与弦的关系，全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题综合考查了圆内接正多边形的性质、圆的弧弦关系、全等三角形的构造与应用，解题的核心是通过构造全等将不规则四边形的面积转化为规则等腰直角三角形的面积，能有效考查几何综合推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证明$AE=DE$，根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可先证$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$。结合正方形内接于圆的性质，可知正方形各边对应的弧相等，再结合E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，通过弧的和差关系即可推出$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$，进而证得弦相等。
（2）四边形AECD是不规则图形，直接计算面积难度较大，可通过构造全等三角形进行面积转化：过D作$DF⊥DE$交EC的延长线于F，先证明$△ ADE≌△ CDF$，将四边形AECD的面积转化为等腰直角$△ DEF$的面积；再结合等腰直角三角形的边的关系和已知$CE=1$求出DE的长度，最后计算等腰直角三角形的面积即可。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，内接于$\odot O$，
∴$AB=CD$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
∵E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{EC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{EC}$，即$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$，
∴$AE=DE$。
（2）解：过点D作$DF⊥DE$，交EC的延长线于点F。
∵四边形ABCD是正方形，内接于$\odot O$，
∴$DA=DC$，$∠ADC=90°$，$∠DEC=∠DBC=45°$。
∵$∠EDF=90°$，
∴$∠F=90°-∠DEC=45°$，
∴$∠F=∠DEC$，
∴$DE=DF$。
∵$∠AED=\frac{1}{2}∠AOD=45°$，
∴$∠AED=∠F$。
∵$∠ADC=∠EDF=90°$，
∴$∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC$，即$∠ADE=∠CDF$。
在$△ ADE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠AED=∠F \\∠ADE=∠CDF \\DA=DC\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ CDF$（AAS），
∴$AE=CF$，$S_{△ ADE}=S_{△ CDF}$，
∴$S_{四边形AECD}=S_{△ ADE}+S_{△ DEC}=S_{△ CDF}+S_{△ DEC}=S_{△ DEF}$。
∵$△ DEF$是等腰直角三角形，
∴$EF=\sqrt{2}DE$，
又
∵$EF=EC+CF=EC+AE$，且$AE=DE$，$EC=1$，
∴$1+DE=\sqrt{2}DE$，解得$DE=\sqrt{2}+1$，
∴$S_{四边形AECD}=S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE^2=\frac{1}{2}×(\sqrt{2}+1)^2=\frac{3}{2}+\sqrt{2}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\sqrt{2}+\frac{3}{2}$
【知识点】
弧与弦的关系，全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题综合考查了圆内接正多边形的性质、圆的弧弦关系、全等三角形的构造与应用，解题的核心是通过构造全等将不规则四边形的面积转化为规则等腰直角三角形的面积，能有效考查几何综合推理能力。
【难度系数】
0.6
