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13 正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于点M。
（1）求证：四边形CDEM是菱形。
（2）若AB＝4，求BE的长。
（1）求证：四边形CDEM是菱形。
（2）若AB＝4，求BE的长。
答案
13.(1) 因为五边形ABCDE是正五边形，所以可得∠D=108°，∠DCA=72°，所以∠D+∠DCA=180°，所以DE // AC。同理可证DC // BE，所以四边形CDEM为平行四边形。因为DE=DC，所以四边形CDEM是菱形。
(2) 由(1)可求得，∠AEB=∠EBA=∠CAB=36°，AE=AB=EM=4，所以△ABE ∽ △MBA，所以AB：BE=BM：AB，所以$AB^2=BE · BM$。所以$\frac{4}{BE}=\frac{BE-4}{4}$，解得$BE=2+2\sqrt{5}$或$2-2\sqrt{5}$(舍去)。
(2) 由(1)可求得，∠AEB=∠EBA=∠CAB=36°，AE=AB=EM=4，所以△ABE ∽ △MBA，所以AB：BE=BM：AB，所以$AB^2=BE · BM$。所以$\frac{4}{BE}=\frac{BE-4}{4}$，解得$BE=2+2\sqrt{5}$或$2-2\sqrt{5}$(舍去)。
解析
【分析】
（1）要证明四边形CDEM是菱形，可先证其为平行四边形，再证一组邻边相等。首先利用正五边形内角和公式计算出每个内角的度数，通过同旁内角互补证明两组对边分别平行得到平行四边形，再结合正五边形各边相等的性质即可得证。
（2）求BE的长时，先根据正五边形的角度特征推出对应等腰三角形的等角、等边关系，再通过两角对应相等证明△ABE∽△MBA，利用相似三角形对应边成比例列方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
（1）证明：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，且各边相等，即$DE=DC=AB=BC=AE$。
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=108°$，
∴$∠ BCA=∠ BAC=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
∴$∠ DCA=∠ BCD-∠ BCA=108°-36°=72°$，
∴$∠ D+∠ DCA=108°+72°=180°$，可得$DE// AC$。
同理可证$DC// BE$，
∴四边形CDEM是平行四边形。
又
∵$DE=DC$，
∴平行四边形CDEM是菱形。
（2）解：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴$AB=AE=4$，$∠ EAB=108°$，
∴$∠ AEB=∠ ABE=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
同理得$∠ BAC=36°$，
∴$∠ EAM=∠ EAB-∠ BAC=108°-36°=72°$，
在$△ AEM$中，$∠ EMA=180°-36°-72°=72°$，
∴$∠ EMA=∠ EAM$，即$EM=AE=4$。
在$△ ABE$和$△ MBA$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABE=∠ MBA（公共角）\\∠ BAE=∠ BMA=108°\end{array} $
∴$△ ABE ∽ △ MBA$，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BM}{AB}$，即$AB^2=BE· BM$。
∵$BM=BE-EM=BE-4$，代入$AB=4$得：
$4^2=BE(BE-4)$，整理得$BE^2-4BE-16=0$，
解得$BE=\frac{4\pm\sqrt{16+64}}{2}=2\pm2\sqrt{5}$。
∵线段长度为正，故$BE=2-2\sqrt{5}$舍去，
∴$BE=2+2\sqrt{5}$。
【答案】
（1）四边形CDEM是菱形，证明成立；
（2）$BE=2+2\sqrt{5}$
【知识点】
正多边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查正多边形的性质、特殊四边形的判定以及相似三角形的应用，解题关键是挖掘正五边形隐含的角度、边长相等的特征，结合方程思想完成几何计算。
【难度系数】
0.6
（1）要证明四边形CDEM是菱形，可先证其为平行四边形，再证一组邻边相等。首先利用正五边形内角和公式计算出每个内角的度数，通过同旁内角互补证明两组对边分别平行得到平行四边形，再结合正五边形各边相等的性质即可得证。
（2）求BE的长时，先根据正五边形的角度特征推出对应等腰三角形的等角、等边关系，再通过两角对应相等证明△ABE∽△MBA，利用相似三角形对应边成比例列方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
（1）证明：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，且各边相等，即$DE=DC=AB=BC=AE$。
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=108°$，
∴$∠ BCA=∠ BAC=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
∴$∠ DCA=∠ BCD-∠ BCA=108°-36°=72°$，
∴$∠ D+∠ DCA=108°+72°=180°$，可得$DE// AC$。
同理可证$DC// BE$，
∴四边形CDEM是平行四边形。
又
∵$DE=DC$，
∴平行四边形CDEM是菱形。
（2）解：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴$AB=AE=4$，$∠ EAB=108°$，
∴$∠ AEB=∠ ABE=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
同理得$∠ BAC=36°$，
∴$∠ EAM=∠ EAB-∠ BAC=108°-36°=72°$，
在$△ AEM$中，$∠ EMA=180°-36°-72°=72°$，
∴$∠ EMA=∠ EAM$，即$EM=AE=4$。
在$△ ABE$和$△ MBA$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABE=∠ MBA（公共角）\\∠ BAE=∠ BMA=108°\end{array} $
∴$△ ABE ∽ △ MBA$，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BM}{AB}$，即$AB^2=BE· BM$。
∵$BM=BE-EM=BE-4$，代入$AB=4$得：
$4^2=BE(BE-4)$，整理得$BE^2-4BE-16=0$，
解得$BE=\frac{4\pm\sqrt{16+64}}{2}=2\pm2\sqrt{5}$。
∵线段长度为正，故$BE=2-2\sqrt{5}$舍去，
∴$BE=2+2\sqrt{5}$。
【答案】
（1）四边形CDEM是菱形，证明成立；
（2）$BE=2+2\sqrt{5}$
【知识点】
正多边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查正多边形的性质、特殊四边形的判定以及相似三角形的应用，解题关键是挖掘正五边形隐含的角度、边长相等的特征，结合方程思想完成几何计算。
【难度系数】
0.6
14 如图，图①、图②、图③分别是$\odot O$ 的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在$\odot O$上逆时针运动。
（1）图①中$∠ APN$的度数是
（2）若正n边形ABCD…是$\odot O$的内接正n边形，请直接写出此时$∠ APN$的度数与正多边形边数n的关系。
（1）图①中$∠ APN$的度数是
60°
，图②中$∠ APN$的度数是90°
，图③中$∠ APN$的度数是108°
。（2）若正n边形ABCD…是$\odot O$的内接正n边形，请直接写出此时$∠ APN$的度数与正多边形边数n的关系。
答案
14.(1) 60°，90°，108°
(2) 由(1)可知，∠APN等于所在正多边形的内角度数，故$∠ APN=\frac{(n-2)180°}{n}$。
(2) 由(1)可知，∠APN等于所在正多边形的内角度数，故$∠ APN=\frac{(n-2)180°}{n}$。
解析
【分析】
解题时首先抓住点M、N运动速度相同的条件，可得二者运动的弧长相等，结合圆周角定理得到对应圆周角相等；再利用三角形外角的性质，将∠APN转化为正多边形的内角，最后代入正多边形内角公式计算即可。
（1）分别计算正三角形、正四边形、正五边形的内角度数，即为对应∠APN的度数；
（2）将正多边形内角推广到边数为n的一般情况，直接写出∠APN与n的关系即可。
【解析】
∵点M、N分别从点B、C开始以相同速度在⊙O上逆时针运动
∴弧BM = 弧CN
根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，可得：∠BAM = ∠CBN
∵∠APN是△ABP的外角
∴∠APN = ∠BAP + ∠ABP
将∠BAP替换为相等的∠CBN，可得：
∠APN = ∠CBN + ∠ABP = ∠ABC，即∠APN等于对应正多边形的内角度数。
（1）正三角形内角：$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$，故图①中∠APN=60°；
正四边形内角：$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$，故图②中∠APN=90°；
正五边形内角：$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，故图③中∠APN=108°。
（2）正n边形的内角度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，因此∠APN与n的关系为：
$∠ APN=\frac{(n-2)180°}{n}$
【答案】
（1）$60°$，$90°$，$108°$
（2）$∠ APN=\frac{(n-2)180°}{n}$
【知识点】
圆周角定理；三角形外角性质；正多边形内角公式
【点评】
本题综合考查了圆与正多边形的相关性质，解题的核心是通过运动的等弧关系推导角相等，再结合外角性质完成角的转化，将所求角转化为正多边形的内角是解题的关键，能够很好地考察学生的逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住点M、N运动速度相同的条件，可得二者运动的弧长相等，结合圆周角定理得到对应圆周角相等；再利用三角形外角的性质，将∠APN转化为正多边形的内角，最后代入正多边形内角公式计算即可。
（1）分别计算正三角形、正四边形、正五边形的内角度数，即为对应∠APN的度数；
（2）将正多边形内角推广到边数为n的一般情况，直接写出∠APN与n的关系即可。
【解析】
∵点M、N分别从点B、C开始以相同速度在⊙O上逆时针运动
∴弧BM = 弧CN
根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，可得：∠BAM = ∠CBN
∵∠APN是△ABP的外角
∴∠APN = ∠BAP + ∠ABP
将∠BAP替换为相等的∠CBN，可得：
∠APN = ∠CBN + ∠ABP = ∠ABC，即∠APN等于对应正多边形的内角度数。
（1）正三角形内角：$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$，故图①中∠APN=60°；
正四边形内角：$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$，故图②中∠APN=90°；
正五边形内角：$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，故图③中∠APN=108°。
（2）正n边形的内角度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，因此∠APN与n的关系为：
$∠ APN=\frac{(n-2)180°}{n}$
【答案】
（1）$60°$，$90°$，$108°$
（2）$∠ APN=\frac{(n-2)180°}{n}$
【知识点】
圆周角定理；三角形外角性质；正多边形内角公式
【点评】
本题综合考查了圆与正多边形的相关性质，解题的核心是通过运动的等弧关系推导角相等，再结合外角性质完成角的转化，将所求角转化为正多边形的内角是解题的关键，能够很好地考察学生的逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
