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五、解决问题我最棒
1.某校举办诗歌朗诵比赛，获得一、二、三等奖的人数占获奖总人数的情况如下图所示，将图中的分数$\frac{7}{20}$，$\frac{43}{100}$，$\frac{11}{50}$按从小到大的顺序排列起来。
1.某校举办诗歌朗诵比赛，获得一、二、三等奖的人数占获奖总人数的情况如下图所示，将图中的分数$\frac{7}{20}$，$\frac{43}{100}$，$\frac{11}{50}$按从小到大的顺序排列起来。
答案
1. $\frac{11}{50}＜\frac{7}{20}＜\frac{43}{100}$
解析
【分析】
要比较三个异分母分数的大小，首先可以通过通分把它们转化为同分母分数，同分母分数比较大小只需比较分子，分子越大分数越大。先找到三个分母20、50、100的最小公倍数是100，将三个分数都改写为分母是100的分数，再比较分子大小就能得到排序结果。
【解析】
先对三个分数通分，统一分母为100：
$\frac{7}{20}=\frac{7×5}{20×5}=\frac{35}{100}$
$\frac{11}{50}=\frac{11×2}{50×2}=\frac{22}{100}$
$\frac{43}{100}$分母已经是100，无需改写。
同分母分数比较大小，分子越小分数越小，因为$22＜35＜43$，所以$\frac{22}{100}＜\frac{35}{100}＜\frac{43}{100}$，即$\frac{11}{50}＜\frac{7}{20}＜\frac{43}{100}$。
【答案】
$\frac{11}{50}＜\frac{7}{20}＜\frac{43}{100}$
【知识点】
通分；异分母分数大小比较
【点评】
本题考查分数比较大小的基础方法，核心是先将异分母分数通分为同分母分数，再通过比较分子大小得出结果，掌握通分规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要比较三个异分母分数的大小，首先可以通过通分把它们转化为同分母分数，同分母分数比较大小只需比较分子，分子越大分数越大。先找到三个分母20、50、100的最小公倍数是100，将三个分数都改写为分母是100的分数，再比较分子大小就能得到排序结果。
【解析】
先对三个分数通分，统一分母为100：
$\frac{7}{20}=\frac{7×5}{20×5}=\frac{35}{100}$
$\frac{11}{50}=\frac{11×2}{50×2}=\frac{22}{100}$
$\frac{43}{100}$分母已经是100，无需改写。
同分母分数比较大小，分子越小分数越小，因为$22＜35＜43$，所以$\frac{22}{100}＜\frac{35}{100}＜\frac{43}{100}$，即$\frac{11}{50}＜\frac{7}{20}＜\frac{43}{100}$。
【答案】
$\frac{11}{50}＜\frac{7}{20}＜\frac{43}{100}$
【知识点】
通分；异分母分数大小比较
【点评】
本题考查分数比较大小的基础方法，核心是先将异分母分数通分为同分母分数，再通过比较分子大小得出结果，掌握通分规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2.某书店原有故事书、科技书、漫画书各120本，销售一段时间后，此书店的故事书还剩$\frac{1}{4}$，科技书还剩$\frac{1}{3}$，漫画书还剩$\frac{2}{5}$。该书店卖出的哪种书最多？
答案
2. 卖出的故事书最多。
解析
【分析】
已知三种书的初始数量都是120本，要判断哪种书卖出最多，有两种解题思路：① 先根据“卖出数量=总数量×(1-剩余占比)”分别算出三种书卖出的本数，再直接比较大小；② 因为三种书总数量相同，剩余的占比越小，说明卖出的占比越大，卖出的数量就越多，所以也可以先通分比较三种书剩余分率的大小，反向推导卖出最多的书。
【解析】
方法一：计算每种书卖出的实际数量
故事书卖出的数量：
$120×(1-\frac{1}{4})=120×\frac{3}{4}=90$（本）
科技书卖出的数量：
$120×(1-\frac{1}{3})=120×\frac{2}{3}=80$（本）
漫画书卖出的数量：
$120×(1-\frac{2}{5})=120×\frac{3}{5}=72$（本）
比较得$90＞80＞72$，因此故事书卖出最多。
方法二：比较剩余分率反向推导
先将三个剩余分率通分，取4、3、5的最小公倍数60为公分母：
$\frac{1}{4}=\frac{15}{60}$，$\frac{1}{3}=\frac{20}{60}$，$\frac{2}{5}=\frac{24}{60}$
可得$\frac{15}{60}＜\frac{20}{60}＜\frac{24}{60}$，即$\frac{1}{4}＜\frac{1}{3}＜\frac{2}{5}$，故事书剩余占比最小，总数量相同的情况下，卖出的数量最多。
【答案】
卖出的故事书最多。
【知识点】
分数乘法应用；分数大小比较
【点评】
本题解题的核心是抓住三种书初始数量相同的条件，既可以通过计算实际卖出数量直接比较，也可以通过比较剩余分率反向判断，能锻炼灵活选择解题方法的能力，计算时要注意分数乘法约分、通分的准确性。
【难度系数】
0.8
已知三种书的初始数量都是120本，要判断哪种书卖出最多，有两种解题思路：① 先根据“卖出数量=总数量×(1-剩余占比)”分别算出三种书卖出的本数，再直接比较大小；② 因为三种书总数量相同，剩余的占比越小，说明卖出的占比越大，卖出的数量就越多，所以也可以先通分比较三种书剩余分率的大小，反向推导卖出最多的书。
【解析】
方法一：计算每种书卖出的实际数量
故事书卖出的数量：
$120×(1-\frac{1}{4})=120×\frac{3}{4}=90$（本）
科技书卖出的数量：
$120×(1-\frac{1}{3})=120×\frac{2}{3}=80$（本）
漫画书卖出的数量：
$120×(1-\frac{2}{5})=120×\frac{3}{5}=72$（本）
比较得$90＞80＞72$，因此故事书卖出最多。
方法二：比较剩余分率反向推导
先将三个剩余分率通分，取4、3、5的最小公倍数60为公分母：
$\frac{1}{4}=\frac{15}{60}$，$\frac{1}{3}=\frac{20}{60}$，$\frac{2}{5}=\frac{24}{60}$
可得$\frac{15}{60}＜\frac{20}{60}＜\frac{24}{60}$，即$\frac{1}{4}＜\frac{1}{3}＜\frac{2}{5}$，故事书剩余占比最小，总数量相同的情况下，卖出的数量最多。
【答案】
卖出的故事书最多。
【知识点】
分数乘法应用；分数大小比较
【点评】
本题解题的核心是抓住三种书初始数量相同的条件，既可以通过计算实际卖出数量直接比较，也可以通过比较剩余分率反向判断，能锻炼灵活选择解题方法的能力，计算时要注意分数乘法约分、通分的准确性。
【难度系数】
0.8
3.把一根3米长的木料平均锯成6段，一共用了3分钟，每锯一次用多少分钟？
答案
3. $\frac{3}{5}$分钟
解析
【分析】
解决这道题首先要明确锯木头问题的核心规律：锯的次数比锯成的段数少1，因为每锯1次只会增加1段木料，所以要得到n段木料，只需要锯(n-1)次。我们先根据要锯成的段数算出实际锯的次数，再用总用时除以锯的次数，就能求出每锯一次的用时。
【解析】
1. 计算锯成6段需要的锯的次数：
锯的次数 = 段数 - 1 = 6 - 1 = 5（次）
2. 计算每锯一次的用时：
把总用时3分钟平均分给5次锯木头的过程，用除法计算：
3 ÷ 5 = $\frac{3}{5}$（分钟）
【答案】
$\frac{3}{5}$分钟
【知识点】
1. 锯木间隔问题
2. 分数与除法的应用
【点评】
这道题是结合生活实际的应用题，易错点是容易误将段数当作锯的次数直接计算，解题的关键是先理清锯的次数和段数的数量关系，再结合平均分的意义用除法求解即可。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要明确锯木头问题的核心规律：锯的次数比锯成的段数少1，因为每锯1次只会增加1段木料，所以要得到n段木料，只需要锯(n-1)次。我们先根据要锯成的段数算出实际锯的次数，再用总用时除以锯的次数，就能求出每锯一次的用时。
【解析】
1. 计算锯成6段需要的锯的次数：
锯的次数 = 段数 - 1 = 6 - 1 = 5（次）
2. 计算每锯一次的用时：
把总用时3分钟平均分给5次锯木头的过程，用除法计算：
3 ÷ 5 = $\frac{3}{5}$（分钟）
【答案】
$\frac{3}{5}$分钟
【知识点】
1. 锯木间隔问题
2. 分数与除法的应用
【点评】
这道题是结合生活实际的应用题，易错点是容易误将段数当作锯的次数直接计算，解题的关键是先理清锯的次数和段数的数量关系，再结合平均分的意义用除法求解即可。
【难度系数】
0.6
4.一种长方形地砖长3分米、宽2分米，如果用这种地砖铺一个正方形（用的地砖都是整块的，中间没有空隙），正方形的边长最小是多少分米？
答案
4. 6分米
解析
【分析】
要使用整块的长3分米、宽2分米的长方形地砖铺出没有空隙的正方形，说明正方形的边长必须同时是长方形长和宽的倍数，这样才能保证沿长铺的块数、沿宽铺的块数都是整数。要求最小的正方形边长，本质就是求3和2的最小公倍数。
【解析】
首先分别列出2和3的倍数：
2的倍数有：2、4、6、8、10……
3的倍数有：3、6、9、12……
可知2和3公有的倍数里最小的数是6。
验证：边长为6分米时，沿长需要的地砖数为6÷3=2（块），沿宽需要的地砖数为6÷2=3（块），均为整数块，符合题目要求。
【答案】
6分米
【知识点】
最小公倍数；公倍数的实际应用
【点评】
这是公倍数相关知识在生活中的典型应用，解题的核心是把“求最小正方形边长”的实际问题，转化为“求两个数的最小公倍数”的数学问题，掌握这种转化思路就能快速解决同类铺砖、拼接类题目。
【难度系数】
0.7
要使用整块的长3分米、宽2分米的长方形地砖铺出没有空隙的正方形，说明正方形的边长必须同时是长方形长和宽的倍数，这样才能保证沿长铺的块数、沿宽铺的块数都是整数。要求最小的正方形边长，本质就是求3和2的最小公倍数。
【解析】
首先分别列出2和3的倍数：
2的倍数有：2、4、6、8、10……
3的倍数有：3、6、9、12……
可知2和3公有的倍数里最小的数是6。
验证：边长为6分米时，沿长需要的地砖数为6÷3=2（块），沿宽需要的地砖数为6÷2=3（块），均为整数块，符合题目要求。
【答案】
6分米
【知识点】
最小公倍数；公倍数的实际应用
【点评】
这是公倍数相关知识在生活中的典型应用，解题的核心是把“求最小正方形边长”的实际问题，转化为“求两个数的最小公倍数”的数学问题，掌握这种转化思路就能快速解决同类铺砖、拼接类题目。
【难度系数】
0.7
