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1 密度计常用来测量液体的密度.如图①是一款自制的木棒密度计,将木棒依次放入一系列密度已知的液体中,每次当木棒在液体中处于竖直漂浮状态时,在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值$\rho$,并测量木棒浸入液体的深度$h$,再利用收集的数据画出如图②所示的$\rho$与$h$之间的关系图象.根据图象判断,下列说法正确的是 (
A.密度$\rho$越大,深度$h$越大
B.若$h_1＜h_3＜h_2$,则$\rho_1＜\rho_3＜\rho_2$
C.密度$\rho$均匀增加时,深度$h$的变化量相同
D.密度计的刻度线越往上,对应的密度越小
D
)A.密度$\rho$越大,深度$h$越大
B.若$h_1＜h_3＜h_2$,则$\rho_1＜\rho_3＜\rho_2$
C.密度$\rho$均匀增加时,深度$h$的变化量相同
D.密度计的刻度线越往上,对应的密度越小
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先结合密度计漂浮的特点，可知其受到的浮力始终等于自身重力，是定值；再结合阿基米德原理推导液体密度$\rho$与浸入深度$h$的关系式，可发现二者成反比例函数关系，接下来结合反比例函数的性质逐一判断四个选项即可。
【解析】
密度计竖直漂浮在液体中时，浮力等于自身重力，即$F_浮=G$（$G$为密度计重力，是定值）。
根据阿基米德原理，$F_浮=\rho g V_排$，其中$V_排$是密度计浸入液体的体积，设密度计的横截面积为$S$，浸入深度为$h$，则$V_排=Sh$，代入上式得：
$\rho g S h = G$
整理得$\rho=\frac{G}{gS}· \frac{1}{h}$，其中$\frac{G}{gS}$是不为0的常数，因此$\rho$与$h$成反比例函数关系。
接下来判断选项：
A. 由反比例函数性质，$\rho$越大时，$h$越小，该选项错误；
B. 若$h_1＜h_3＜h_2$，$\rho$与$h$成反比，故$\rho_1＞\rho_3＞\rho_2$，该选项错误；
C. 反比例函数不是线性函数，$\rho$均匀增加时，$h$的变化量不相等，该选项错误；
D. 密度计刻度线越往上，说明浸入液体的深度$h$越大，对应的$\rho$越小，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
漂浮条件，阿基米德原理，反比例函数的性质
【点评】
本题结合密度计的实际工作原理，考查了浮力知识与反比例函数的综合应用，解题核心是先推导出两个变量的函数关系，再结合函数性质分析问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合密度计漂浮的特点，可知其受到的浮力始终等于自身重力，是定值；再结合阿基米德原理推导液体密度$\rho$与浸入深度$h$的关系式，可发现二者成反比例函数关系，接下来结合反比例函数的性质逐一判断四个选项即可。
【解析】
密度计竖直漂浮在液体中时，浮力等于自身重力，即$F_浮=G$（$G$为密度计重力，是定值）。
根据阿基米德原理，$F_浮=\rho g V_排$，其中$V_排$是密度计浸入液体的体积，设密度计的横截面积为$S$，浸入深度为$h$，则$V_排=Sh$，代入上式得：
$\rho g S h = G$
整理得$\rho=\frac{G}{gS}· \frac{1}{h}$，其中$\frac{G}{gS}$是不为0的常数，因此$\rho$与$h$成反比例函数关系。
接下来判断选项：
A. 由反比例函数性质，$\rho$越大时，$h$越小，该选项错误；
B. 若$h_1＜h_3＜h_2$，$\rho$与$h$成反比，故$\rho_1＞\rho_3＞\rho_2$，该选项错误；
C. 反比例函数不是线性函数，$\rho$均匀增加时，$h$的变化量不相等，该选项错误；
D. 密度计刻度线越往上，说明浸入液体的深度$h$越大，对应的$\rho$越小，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
漂浮条件，阿基米德原理，反比例函数的性质
【点评】
本题结合密度计的实际工作原理，考查了浮力知识与反比例函数的综合应用，解题核心是先推导出两个变量的函数关系，再结合函数性质分析问题。
【难度系数】
0.7
2 浮力式密度计是测量液体密度的仪器(如图①),通常是一个密封的玻璃管,底部有重物,上部有刻度,把它放入液体中,它会竖直漂浮.密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h(单位:cm),且液体密度ρ(单位:g/cm³)是浸没深度h(单位:cm)的反比例函数.小明在家里制作了如图②所示的简易浮力式密度计,经过测量与查阅资料得到h与ρ之间的对应关系如下表:
(1) m=
(2) 如果该密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为5 cm,最大浸没深度为20 cm,求该密度计能测量的液体密度ρ(单位:g/cm³)的范围.
(1) m=
0.8
,n=1.4
;(2) 如果该密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为5 cm,最大浸没深度为20 cm,求该密度计能测量的液体密度ρ(单位:g/cm³)的范围.
答案
2. (1) 0.8 1.4
(2) 设反比例函数的表达式为$\rho=\dfrac{k}{h}$. 把$h=14$,$\rho=1$代入,得$1=\dfrac{k}{14}$,解得$k=14$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$\rho=\dfrac{14}{h}$.
当$h=5$时,$\rho=\dfrac{14}{5}=2.8$;当$h=20$时,$\rho=\dfrac{14}{20}=0.7$. $\therefore$ 该密度计能测量的液体密度$\rho$(单位:$\mathrm{g/cm^3}$)的范围是$0.7≤\rho≤2.8$
(2) 设反比例函数的表达式为$\rho=\dfrac{k}{h}$. 把$h=14$,$\rho=1$代入,得$1=\dfrac{k}{14}$,解得$k=14$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$\rho=\dfrac{14}{h}$.
当$h=5$时,$\rho=\dfrac{14}{5}=2.8$;当$h=20$时,$\rho=\dfrac{14}{20}=0.7$. $\therefore$ 该密度计能测量的液体密度$\rho$(单位:$\mathrm{g/cm^3}$)的范围是$0.7≤\rho≤2.8$
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际生活中的应用，解题思路如下：1. 首先根据题目明确液体密度ρ是浸没深度h的反比例函数，因此先设反比例函数解析式为$\rho=\dfrac{k}{h}(k≠0)$，利用已知的h和ρ的对应值求出比例系数k，得到完整的函数解析式；2. 第一问求m、n时，将对应的h或ρ值代入解析式计算即可；3. 第二问已知h的取值范围，结合反比例函数的增减性，代入h的最小值和最大值，分别求出对应的ρ的最大值和最小值，即可得到ρ的取值范围。
【解析】
(1) 设ρ与h的反比例函数解析式为$\rho=\dfrac{k}{h}(k≠0)$。
将$h=14$，$\rho=1$代入解析式，得$1=\dfrac{k}{14}$，解得$k=14$，因此函数解析式为$\rho=\dfrac{14}{h}$。
代入对应数值计算：当对应h值为17.5时，$m=\dfrac{14}{17.5}=0.8$；当对应h值为10时，$n=\dfrac{14}{10}=1.4$。
(2) 由题可知浸没深度h的取值范围为$5≤ h≤20$。
因为$\rho=\dfrac{14}{h}$中$k=14＞0$，所以当$h＞0$时，ρ随h的增大而减小。
当$h=5$（最小浸没深度）时，ρ取得最大值：$\rho=\dfrac{14}{5}=2.8\ \mathrm{g/cm^3}$；
当$h=20$（最大浸没深度）时，ρ取得最小值：$\rho=\dfrac{14}{20}=0.7\ \mathrm{g/cm^3}$。
因此该密度计能测量的液体密度范围是$0.7≤\rho≤2.8$。
【答案】
(1) $\boxed{0.8}$，$\boxed{1.4}$
(2) $\boxed{0.7≤\rho≤2.8\ \mathrm{g/cm^3}}$
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数解析式的确定；反比例函数的性质
【点评】
本题结合密度计的实际应用场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是先准确求出反比例函数的解析式，再结合自变量的取值范围和函数的增减性求解函数值的范围，题目贴近生活，能够有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在实际生活中的应用，解题思路如下：1. 首先根据题目明确液体密度ρ是浸没深度h的反比例函数，因此先设反比例函数解析式为$\rho=\dfrac{k}{h}(k≠0)$，利用已知的h和ρ的对应值求出比例系数k，得到完整的函数解析式；2. 第一问求m、n时，将对应的h或ρ值代入解析式计算即可；3. 第二问已知h的取值范围，结合反比例函数的增减性，代入h的最小值和最大值，分别求出对应的ρ的最大值和最小值，即可得到ρ的取值范围。
【解析】
(1) 设ρ与h的反比例函数解析式为$\rho=\dfrac{k}{h}(k≠0)$。
将$h=14$，$\rho=1$代入解析式，得$1=\dfrac{k}{14}$，解得$k=14$，因此函数解析式为$\rho=\dfrac{14}{h}$。
代入对应数值计算：当对应h值为17.5时，$m=\dfrac{14}{17.5}=0.8$；当对应h值为10时，$n=\dfrac{14}{10}=1.4$。
(2) 由题可知浸没深度h的取值范围为$5≤ h≤20$。
因为$\rho=\dfrac{14}{h}$中$k=14＞0$，所以当$h＞0$时，ρ随h的增大而减小。
当$h=5$（最小浸没深度）时，ρ取得最大值：$\rho=\dfrac{14}{5}=2.8\ \mathrm{g/cm^3}$；
当$h=20$（最大浸没深度）时，ρ取得最小值：$\rho=\dfrac{14}{20}=0.7\ \mathrm{g/cm^3}$。
因此该密度计能测量的液体密度范围是$0.7≤\rho≤2.8$。
【答案】
(1) $\boxed{0.8}$，$\boxed{1.4}$
(2) $\boxed{0.7≤\rho≤2.8\ \mathrm{g/cm^3}}$
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数解析式的确定；反比例函数的性质
【点评】
本题结合密度计的实际应用场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是先准确求出反比例函数的解析式，再结合自变量的取值范围和函数的增减性求解函数值的范围，题目贴近生活，能够有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
