1 如图，AB是$\odot O$的弦，AC与$\odot O$相切于点A，连接OA，OB.若$∠ O=130°$，则$∠ BAC$的度数是（）

A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
（第1题）

1. B

【分析】
解题时先回忆切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥AC，即∠OAC=90°；再观察OA和OB都是圆的半径，长度相等，所以△OAB是等腰三角形，已知顶角∠O的度数，可根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和算出底角∠OAB的度数；最后用∠OAC减去∠OAB就能得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AC与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AC，即∠OAC=90°，
∵OA=OB（同圆的半径相等），
∴△OAB为等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA=$\frac{180°-∠ O}{2}$=$\frac{180°-130°}{2}$=25°，
∴∠BAC=∠OAC - ∠OAB=90°-25°=65°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，将切线性质和等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，找准角度之间的关系。
【难度系数】
0.8

2 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,以$BC$为直径作$\odot O$,交斜边$AB$于点$E$,$D$为$AC$的中点,连接$DO$,$DE$.下列结论不一定正确的是（）

A.$DO// AB$
B.$△ ADE$是等腰三角形
C.$DE⊥ AC$
D.$DE$是$\odot O$的切线

2. C

【分析】
本题要选出不一定正确的结论，可结合已知条件逐一分析各选项：首先根据D是AC中点、O是BC中点，可判断OD是△ABC的中位线，验证A选项；再连接OE，通过证明△COD和△EOD全等，结合全等性质推导DE与圆的位置关系、DE和AD的数量关系，验证B、D选项；最后判断C选项的成立条件是否唯一，即可得出答案。
【解析】
连接OE。
1. 验证选项A：
∵D为AC中点，O为BC中点（BC是⊙O直径，圆心为O），
∴OD是△ABC的中位线，
∴$DO// AB$，故A结论正确，不符合题意。
2. 验证选项D：
∵$DO// AB$，
∴$∠COD=∠B$，$∠EOD=∠OEB$，
∵$OE=OB$（⊙O的半径相等），
∴$∠OEB=∠B$，
∴$∠COD=∠EOD$。
在△COD和△EOD中：
$\{\begin{array}{l}OC=OE\\ ∠ COD=∠ EOD\\ OD=OD\end{array} $
∴$△ COD≌△ EOD(\mathrm{SAS})$，
∴$∠DEO=∠DCO=90°$，即$OE⊥DE$，
又
∵OE是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，故D结论正确，不符合题意。
3. 验证选项B：
由$△ COD≌△ EOD$得$CD=DE$，
∵D是AC中点，
∴$AD=CD$，
∴$AD=DE$，
∴△ADE是等腰三角形，故B结论正确，不符合题意。
4. 验证选项C：
若$DE⊥AC$，则$∠ADE=90°$，结合$AD=DE$可得$∠A=45°$，但题目未给出∠A的度数，因此该结论不一定成立，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题的关键是连接OE构造全等三角形，结合中位线、切线判定等知识点逐一判断选项，做题时要注意题干要求选择“不一定正确”的结论，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.7

3 新情境 学科融合 [2025北京]如图，$\odot O$是地球的示意图，其中$AB$表示赤道，$CD$，$EF$分别表示北回归线和南回归线，$∠ DOB=∠ FOB=23.5°$.夏至日正午时，太阳光线$GD$所在直线经过地心$O$，此时点$F$处的太阳高度角$∠ IFH$（即平行于$GD$的光线$HF$与$\odot O$的切线$FI$所成的锐角）的度数为$\_\_\_\_\_\_°$.

3. 43

【分析】
解题时首先从切线的性质入手：切线垂直于过切点的半径，可得OF⊥FI，得到90°的直角。再结合题目给出的太阳光线互相平行的条件，可知OD//HF，先利用已知的∠DOB和∠FOB的度数求出∠DOF的度数，再根据平行线的同旁内角互补求出∠OFH的度数，最后用∠OFH减去直角的度数即可得到所求的∠IFH的度数。
【解析】
解：
∵FI是$\odot O$的切线，切点为F，
∴根据切线的性质，$OF⊥ FI$，即$∠ OFI=90°$。
由题意得太阳光线$GD// HF$，且GD经过圆心O，
∴$OD// HF$。
已知$∠ DOB=23.5°$，$∠ FOB=23.5°$，
∴$∠ DOF=∠ DOB+∠ FOB=23.5°+23.5°=47°$。
∵$OD// HF$，
∴$∠ DOF+∠ OFH=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴$∠ OFH=180°-47°=133°$。
∴$∠ IFH=∠ OFH-∠ OFI=133°-90°=43°$。
【答案】
43
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题融合了地理常识与几何知识，属于跨学科综合题，难度适中，解题的核心是熟练运用切线的性质和平行线的角度关系，理清各角之间的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7

4 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$∠ ACB$的平分线交边$AB$于点$P$,以点$P$为圆心,$PB$长为半径作$\odot P$,则$AC$与$\odot P$的位置关系是.

4. 相切

【分析】
要判断直线AC与⊙P的位置关系，需比较圆心P到AC的距离与⊙P半径的大小关系：若距离等于半径，则相切；若距离小于半径则相交，大于则相离。本题中⊙P的半径为PB，已知PC是∠ACB的角平分线，∠ABC=90°即PB⊥BC，结合角平分线的性质可推出P到AC的距离等于PB，进而判断位置关系。
【解析】
过点P作PD⊥AC，垂足为D。
∵ PC平分∠ACB，PB⊥BC，PD⊥AC，
∴ 根据角平分线的性质，可得PD = PB。
∵ ⊙P的半径r = PB，
∴ 圆心P到直线AC的距离d = PD = r，
∴ 直线AC与⊙P相切。
【答案】
相切
【知识点】
角平分线的性质；直线与圆的位置关系判定；切线的判定
【点评】
本题属于基础类几何题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和直线与圆相切的判定条件，通过作垂线构造出圆心到直线的距离，再与半径比较即可得出结论。
【难度系数】
0.8

5[2025遂宁]如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，连接AC，BC，延长AB至点D，连接CD，使$∠ BCD=∠ A$.求证：CD是$\odot O$的切线.

5. 连接OC. $\because$ AB 是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ACB = 90°$,即$∠ACO + ∠BCO=90°$. $\because OA=OC$,$\therefore ∠A=∠ACO$. $\because ∠BCD=∠A$,
$\therefore ∠BCD=∠ACO$,$\therefore ∠BCD + ∠BCO=90°$,即$∠OCD=90°$,
$\therefore OC⊥ CD$. 又$\because OC$是$\odot O$的半径,$\therefore CD$是$\odot O$的切线

【分析】
要证明CD是$\odot O$的切线，已知CD与$\odot O$有公共点C，因此遵循“连半径，证垂直”的解题思路：首先连接半径OC，只需证明$OC⊥ CD$即可。结合AB是直径的条件，可推出直径所对的圆周角$∠ ACB=90°$，再利用等腰三角形等边对等角的性质，结合题目给出的$∠ BCD=∠ A$，通过角的等量代换即可推导出$∠ OCD=90°$，完成垂直的证明。
【解析】
证明：连接OC.
$\because$ AB是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB = 90°$，即$∠ ACO + ∠ BCO=90°$.
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ A=∠ ACO$.
$\because ∠ BCD=∠ A$,
$\therefore ∠ BCD=∠ ACO$,
$\therefore ∠ BCD + ∠ BCO=90°$，即$∠ OCD=90°$,
$\therefore OC⊥ CD$.
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore CD$是$\odot O$的切线.
【答案】
CD是$\odot O$的切线
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是切线判定的基础典型题，重点考查切线判定的常用思路，解题时结合圆的基本性质和角的等量代换即可完成推导，掌握这类题型是解决圆相关综合题的基础。
【难度系数】
0.8

6 如图,在△ABC中,∠A=28°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,DE//CB,连接BD.若添加一个条件,使BC是⊙O的切线,则下列四个条件不符合的是 ()

A.$DE⊥AB$
B.$∠EDB=28°$
C.$∠ADE=∠ABD$
D.$OB=BC$

6. D

【分析】
要判断BC是否为⊙O的切线，根据切线判定定理，已知B在⊙O上，只需证明AB⊥BC（即∠ABC=90°）即可。结合已知条件：AB是直径可得∠ADB=90°，DE//CB可得对应角相等，逐一分析各选项能否推出∠ABC=90°，选出无法推出的选项即可。
【解析】
已知AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对圆周角为直角，得∠ADB=90°，因此∠A+∠ABD=90°。
若BC是⊙O的切线，则需满足AB⊥BC，即∠ABC=90°，逐一分析选项：
选项A：若$DE⊥AB$，结合$DE// CB$，根据平行线的性质可得$CB⊥AB$，即∠ABC=90°，可证BC是⊙O的切线，不符合题意，排除；
选项B：若$∠EDB=28°$，由$DE// CB$得$∠DBC=∠EDB=28°$，又$∠A=28°$，则$∠ABD=90°-∠A=62°$，因此$∠ABC=∠ABD+∠DBC=62°+28°=90°$，可证BC是⊙O的切线，不符合题意，排除；
选项C：若$∠ADE=∠ABD$，由$DE// CB$得$∠ADE=∠C$，因此$∠C=∠ABD$，结合$∠A+∠ABD=90°$，得$∠A+∠C=90°$，故$∠ABC=180°-(∠A+∠C)=90°$，可证BC是⊙O的切线，不符合题意，排除；
选项D：若$OB=BC$，仅能说明△OBC为等腰三角形，无法推出∠OBC=90°，因此不能证明BC是⊙O的切线，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题核心考查切线的判定条件，解题时需结合圆的基本性质和平行线的性质进行推导，注意题干要求选择“不符合”的选项，避免因审题疏漏出错。
【难度系数】
0.7