7 [2024 宿迁二模]如图，等边三角形ABC的边长为4，$\odot C$的半径为$\sqrt{3}$，P为AB边上一动点，过点P作$\odot C$的切线PQ，切点为Q，则PQ长的最小值为（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.3

7. D

8 新考向 条件开放题 如图，CD是$\odot O$的直径，BD是$\odot O$的弦，延长DC到点A，使$∠ ABD=120°$，连接BC。有下列条件：①$AC=BC$；②$AC=OC$；③$OC=BC$；④$AB=BD$。从中添加一个条件，能使AB是$\odot O$的切线的为________（填序号）。

8. ①②③④

9 [2025 宿城段考]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径的$\odot O$交$BC$于点$D$,过点$D$作$DE ⊥ AC$,交$AC$于点$E$,$AC$的反向延长线交$\odot O$于点$F$.
(1) 求证:$DE$是$\odot O$的切线;
(2) 若$DE+EA=4$,$\odot O$的半径为$5$,求$CF$的长.

9. (1) $\because OB=OD$,$\therefore ∠ABC=∠ODB$. $\because AB=AC$,$\therefore ∠ABC=∠ACB$,$\therefore ∠ODB=∠ACB$,$\therefore OD// AC$. $\because DE⊥ AC$,$\therefore DE⊥ OD$.
$\because OD$是半径,$\therefore DE$是$\odot O$的切线
(2) 如图，过点O作$OH⊥ AF$于点H,则$∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°$,$\therefore$ 四边形ODEH 是矩形,$\therefore OD=EH$,$OH=DE$. 设$AH=x$. $\because DE+AE=4$,$OD=5$,
$\therefore AE=5-x$,$OH=DE=4-(5-x)=x-1$. 在$\mathrm{Rt}△AOH$中,由勾股定理,知$AH^2+OH^2=OA^2$,即$x^2+(x-1)^2=5^2$,解得$x_1=4$,$x_2=-3$(不合题意,舍去). $\therefore AH=4$. $\because OH⊥ AF$,$\therefore AH=FH=\frac{1}{2}AF$,$\therefore AF=2AH=2×4=8$. $\because AC=AB=2OD=10$,$\therefore CF=AF+AC=18$

10 [2025资阳]如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，AB是$\odot O$的直径，$∠ BAC$的平分线交$\odot O$于点D，过点D作BC的平行线，交AC的延长线于点E。
（1）求证：DE是$\odot O$的切线；
（2）若$∠ BAC=60°$，$CE=\sqrt{3}$，求$\odot O$的半径。

10. (1) 如图,连接OD. $\because OD=OA$,$\therefore ∠ODA=∠BAD$. $\because ∠BAC$的平分线交$\odot O$于点D,$\therefore ∠CAD=∠BAD$,$\therefore ∠ODA=∠CAD$,
$\therefore OD// AC$,$\therefore ∠ODE+∠E=180°$. $\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ACB=90°$. $\because DE// BC$,$\therefore ∠E=∠ACB=90°$,$\therefore ∠ODE=180°-∠E=90°$,即$DE⊥ OD$. $\because OD$是$\odot O$的半径,$\therefore DE$是$\odot O$的切线
(2) 如图,连接BD,设OD交BC于点F. $\because ∠ACB=90°$,$∠ACE=180°$,$\therefore ∠FCE=90°$. $\because ∠ODE=∠E=90°$,$\therefore$ 四边形 CEDF 是矩形,$\therefore DF=CE=\sqrt{3}$,$∠CFD=90°$,即$BF⊥ OD$. $\because OD// AC$,$\therefore ∠BOD=∠BAC=60°$. $\because OD=OB$,$\therefore △DOB$是等边三角形,$\therefore OB=DB$,$\therefore OD=2DF=2\sqrt{3}$,即$\odot O$的半径是$2\sqrt{3}$