7 [2024 宿迁二模]如图，等边三角形ABC的边长为4，$\odot C$的半径为$\sqrt{3}$，P为AB边上一动点，过点P作$\odot C$的切线PQ，切点为Q，则PQ长的最小值为（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.3

7. D

【分析】
根据切线的性质可知，切线垂直于过切点的半径，连接CQ可得CQ⊥PQ，△CQP为直角三角形。由于CQ是⊙C的半径，长度固定为$\sqrt{3}$，结合勾股定理可得$PQ=\sqrt{CP^2-CQ^2}$，因此要使PQ最小，只需CP的长度最小。根据点到直线的垂线段最短，当CP⊥AB时CP长度最小，求出此时CP的长度，代入公式即可算出PQ的最小值。
【解析】
连接CQ、CP：
1. 因为PQ是⊙C的切线，Q为切点，所以$CQ⊥ PQ$，即$△ PQC$是直角三角形，$∠ PQC=90°$。
2. 根据勾股定理得：$PQ^2 + CQ^2 = CP^2$，即$PQ=\sqrt{CP^2 - CQ^2}$。已知$CQ=\sqrt{3}$是定值，因此当CP取最小值时，PQ最小。
3. 根据垂线段最短可知，当$CP⊥ AB$时，CP的长度最小。
4. 等边△ABC边长为4，当$CP⊥ AB$时，P为AB中点，$PB=\frac{1}{2}AB=2$，在$Rt△ BPC$中，$CP=\sqrt{BC^2 - PB^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。
5. 代入PQ的公式计算：$PQ=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2}=\sqrt{12-3}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质、勾股定理、垂线段最短
【点评】
本题将切线长最小值问题转化为点到直线的最短距离问题，考查了多个基础知识点的综合应用，解题关键是理解切线长和圆心到动点距离的数量关系，体现了转化思想的运用。
【难度系数】
0.7

8 新考向 条件开放题 如图，CD是$\odot O$的直径，BD是$\odot O$的弦，延长DC到点A，使$∠ ABD=120°$，连接BC。有下列条件：①$AC=BC$；②$AC=OC$；③$OC=BC$；④$AB=BD$。从中添加一个条件，能使AB是$\odot O$的切线的为________（填序号）。

8. ①②③④

【分析】
要判定AB是⊙O的切线，根据切线的判定定理，只需证明AB垂直于半径OB，即∠ABO=90°。首先由CD是⊙O的直径，可得直径所对的圆周角∠CBD=90°，结合已知∠ABD=120°，可推出∠ABC=30°；再结合OB=OC（都是⊙O的半径），只需推导得到∠OBC=60°，即可得到∠ABO=90°，逐一验证四个条件是否能推出该结论即可。
【解析】
连接OB，OB、OC均为⊙O的半径，故OB=OC。
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°，
又
∵∠ABD=120°，
∴∠ABC=∠ABD - ∠CBD=120°-90°=30°。
逐一验证条件：
①添加$AC=BC$：
∵$AC=BC$，
∴$∠ A=∠ ABC=30°$，
由三角形外角性质，$∠ OCB=∠ A+∠ ABC=60°$，
又
∵$OB=OC$，
∴$△ OBC$是等边三角形，$∠ OBC=60°$，
∴$∠ ABO=∠ ABC+∠ OBC=30°+60°=90°$，即$OB⊥ AB$，AB是$\odot O$的切线，①符合要求。
②添加$AC=OC$：
∵$OB=OC$，
∴$AC=OC=OB$，设$\odot O$半径为$r$，则$OA=AC+OC=2r$，
由$∠ ABC=30°$，可推得$∠ OCB=∠ A+30°$，结合$OB=OC$得$∠ OBC=∠ OCB$，
可证$△ OBC$为等边三角形，$∠ OBC=60°$，故$∠ ABO=30°+60°=90°$，即$OB⊥ AB$，AB是$\odot O$的切线，②符合要求。
③添加$OC=BC$：
∵$OB=OC=BC$，
∴$△ OBC$是等边三角形，$∠ OBC=60°$，
∴$∠ ABO=∠ ABC+∠ OBC=30°+60°=90°$，即$OB⊥ AB$，AB是$\odot O$的切线，③符合要求。
④添加$AB=BD$：
∵$AB=BD$，
∴$∠ A=∠ D$，
在$△ ABD$中，$∠ A+∠ D=180°-∠ ABD=60°$，故$∠ A=∠ D=30°$，
由圆周角定理得$∠ BOC=2∠ D=60°$，又$OB=OC$，
∴$△ OBC$是等边三角形，$∠ OBC=60°$，
∴$∠ ABO=30°+60°=90°$，即$OB⊥ AB$，AB是$\odot O$的切线，④符合要求。
【答案】
①②③④
【知识点】
切线的判定；等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【点评】
本题为条件开放类题目，需要结合已知条件逆向推导满足切线结论的条件，解题时要灵活运用圆周角定理、特殊三角形的性质转化角的关系，考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

9 [2025 宿城段考]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径的$\odot O$交$BC$于点$D$,过点$D$作$DE ⊥ AC$,交$AC$于点$E$,$AC$的反向延长线交$\odot O$于点$F$.
(1) 求证:$DE$是$\odot O$的切线;
(2) 若$DE+EA=4$,$\odot O$的半径为$5$,求$CF$的长.

9. (1) $\because OB=OD$,$\therefore ∠ABC=∠ODB$. $\because AB=AC$,$\therefore ∠ABC=∠ACB$,$\therefore ∠ODB=∠ACB$,$\therefore OD// AC$. $\because DE⊥ AC$,$\therefore DE⊥ OD$.
$\because OD$是半径,$\therefore DE$是$\odot O$的切线
(2) 如图，过点O作$OH⊥ AF$于点H,则$∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°$,$\therefore$ 四边形ODEH 是矩形,$\therefore OD=EH$,$OH=DE$. 设$AH=x$. $\because DE+AE=4$,$OD=5$,
$\therefore AE=5-x$,$OH=DE=4-(5-x)=x-1$. 在$\mathrm{Rt}△AOH$中,由勾股定理,知$AH^2+OH^2=OA^2$,即$x^2+(x-1)^2=5^2$,解得$x_1=4$,$x_2=-3$(不合题意,舍去). $\therefore AH=4$. $\because OH⊥ AF$,$\therefore AH=FH=\frac{1}{2}AF$,$\therefore AF=2AH=2×4=8$. $\because AC=AB=2OD=10$,$\therefore CF=AF+AC=18$

【分析】
（1）要证DE是⊙O的切线，已知OD是⊙O半径，只需证DE⊥OD即可。先连接OD，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合AB=AC的条件推出OD//AC，再结合DE⊥AC即可得到DE⊥OD，完成切线证明。
（2）要求CF的长，由图形可知CF=AF+AC，先由⊙O半径为5得AB=10，结合AB=AC可直接求出AC=10，因此只需计算AF的长度即可。过O作OH⊥AF，由垂径定理得AH=FH=½AF；同时可证四边形ODEH是矩形，得到OD=EH、OH=DE，设AH=x，结合DE+EA=4的条件将AE、DE用含x的代数式表示，再在Rt△AOH中利用勾股定理列方程求出AH，即可得到AF，最终算出CF的长度。
【解析】
(1) 证明：连接OD，
$\because OB=OD$，$\therefore ∠ABC=∠ODB$，
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ABC=∠ACB$，
$\therefore ∠ODB=∠ACB$，$\therefore OD// AC$，
$\because DE⊥ AC$，$\therefore DE⊥ OD$，
又$\because OD$是$\odot O$的半径，$\therefore DE$是$\odot O$的切线。
(2) 解：过点O作$OH⊥ AF$于点H，
则$∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°$，$\therefore$ 四边形ODEH是矩形，
$\therefore OD=EH$，$OH=DE$。
设$AH=x$，
$\because DE+EA=4$，$\odot O$的半径为5，即$OD=OA=5$，
$\therefore AE=EH-AH=OD-AH=5-x$，
$OH=DE=4-AE=4-(5-x)=x-1$，
在$\mathrm{Rt}△AOH$中，由勾股定理得$AH^2+OH^2=OA^2$，
即$x^2+(x-1)^2=5^2$，
整理得$x^2-x-12=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-3$（不合题意，舍去），
$\therefore AH=4$，
$\because OH⊥ AF$，由垂径定理得$AH=FH=\frac{1}{2}AF$，
$\therefore AF=2AH=2×4=8$，
$\because AC=AB=2×5=10$，且F在AC的反向延长线上，
$\therefore CF=AF+AC=8+10=18$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $CF$的长为$\boldsymbol{18}$。

【知识点】
切线的判定定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合题型，既考查了切线判定的常规思路，又结合了矩形的判定与性质、方程思想求解线段长度，解题的关键是合理添加辅助线实现线段关系的转化，是圆章节的典型考查题目。
【难度系数】
0.6

10 [2025资阳]如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，AB是$\odot O$的直径，$∠ BAC$的平分线交$\odot O$于点D，过点D作BC的平行线，交AC的延长线于点E。
（1）求证：DE是$\odot O$的切线；
（2）若$∠ BAC=60°$，$CE=\sqrt{3}$，求$\odot O$的半径。

10. (1) 如图,连接OD. $\because OD=OA$,$\therefore ∠ODA=∠BAD$. $\because ∠BAC$的平分线交$\odot O$于点D,$\therefore ∠CAD=∠BAD$,$\therefore ∠ODA=∠CAD$,
$\therefore OD// AC$,$\therefore ∠ODE+∠E=180°$. $\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ACB=90°$. $\because DE// BC$,$\therefore ∠E=∠ACB=90°$,$\therefore ∠ODE=180°-∠E=90°$,即$DE⊥ OD$. $\because OD$是$\odot O$的半径,$\therefore DE$是$\odot O$的切线
(2) 如图,连接BD,设OD交BC于点F. $\because ∠ACB=90°$,$∠ACE=180°$,$\therefore ∠FCE=90°$. $\because ∠ODE=∠E=90°$,$\therefore$ 四边形 CEDF 是矩形,$\therefore DF=CE=\sqrt{3}$,$∠CFD=90°$,即$BF⊥ OD$. $\because OD// AC$,$\therefore ∠BOD=∠BAC=60°$. $\because OD=OB$,$\therefore △DOB$是等边三角形,$\therefore OB=DB$,$\therefore OD=2DF=2\sqrt{3}$,即$\odot O$的半径是$2\sqrt{3}$

【分析】
（1）要证DE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需连接半径OD，证明$DE⊥ OD$即可。首先利用角平分线性质和等腰三角形等边对等角，推导得$OD// AC$；再结合AB是直径的性质得$∠ ACB=90°$，由$DE// BC$得$∠ E=90°$；最后根据平行线同旁内角互补得$∠ ODE=90°$，即可完成证明。
（2）求$\odot O$的半径，先连接BD，设OD交BC于点F。首先证明四边形CEDF是矩形，得到$DF=CE=\sqrt{3}$；再由$OD// AC$得$∠ BOD=∠ BAC=60°$，可判断$△ DOB$是等边三角形；结合$BC⊥ OD$，利用等边三角形三线合一的性质，可知DF为OD的一半，即可求出半径长度。
【解析】
（1）证明：连接$OD$。
$\because OD=OA$，$\therefore ∠ ODA=∠ BAD$。
$\because ∠ BAC$的平分线交$\odot O$于点$D$，$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$，
$\therefore ∠ ODA=∠ CAD$，$\therefore OD// AC$，
$\therefore ∠ ODE+∠ E=180°$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$。
$\because DE// BC$，$\therefore ∠ E=∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ODE=180°-∠ E=90°$，即$DE⊥ OD$。
$\because OD$是$\odot O$的半径，$\therefore DE$是$\odot O$的切线。
（2）解：连接$BD$，设$OD$交$BC$于点$F$。
$\because ∠ ACB=90°$，$∠ ACE=180°$，$\therefore ∠ FCE=90°$。
$\because ∠ ODE=∠ E=90°$，$\therefore$ 四边形$CEDF$是矩形，
$\therefore DF=CE=\sqrt{3}$，$∠ CFD=90°$，即$BF⊥ OD$。
$\because OD// AC$，$\therefore ∠ BOD=∠ BAC=60°$。
$\because OD=OB$，$\therefore △ DOB$是等边三角形，
$\because BC⊥ OD$，$\therefore F$为$OD$中点，
$\therefore OD=2DF=2\sqrt{3}$，即$\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$

【知识点】
切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质
【点评】
本题属于圆的综合常考题，结合了圆的基本性质、特殊三角形与特殊四边形的相关知识，解题的核心是合理构造辅助线，将已知条件和待求量建立关联。
【难度系数】
0.6