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1 [2025 泗阳期中]如图，PA，PB 分别切$\odot O$于点A，B，$PA=10\ \mathrm{cm}$，C是$\overset{\frown}{AB}$上的点（不与点A，B重合），过点C的切线分别交PA，PB于点E，F，则$△ PEF$的周长为 （
A.10 cm
B.15 cm
C.20 cm
D.25 cm
（第1题）
C
）A.10 cm
B.15 cm
C.20 cm
D.25 cm
（第1题）答案
1. C
解析
【分析】
本题可通过切线长定理进行等量代换求解三角形周长。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。观察△PEF的三边，可将EF拆分为EC+CF，再利用切线长定理把EC替换为EA、CF替换为FB，就能将△PEF的周长转化为PA与PB的和，结合已知PA的长度即可求出结果。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切$\odot O$于点A、B，
根据切线长定理可得：$PB = PA = 10\ \mathrm{cm}$，
又
∵EF切$\odot O$于点C，EA、EC是点E到$\odot O$的两条切线，FB、FC是点F到$\odot O$的两条切线，
∴$EA = EC$，$FB = FC$，
∴$△ PEF$的周长 $= PE + EF + PF = PE + EC + CF + PF$，
将$EC=EA$、$CF=FB$代入得：
周长 $= PE + EA + FB + PF = (PE + EA) + (PF + FB) = PA + PB = 10 + 10 = 20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理；三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题核心是通过切线长相等对三角形的边长进行等量转化，将未知的三角形周长转化为已知的两条切线长之和，是圆章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
本题可通过切线长定理进行等量代换求解三角形周长。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。观察△PEF的三边，可将EF拆分为EC+CF，再利用切线长定理把EC替换为EA、CF替换为FB，就能将△PEF的周长转化为PA与PB的和，结合已知PA的长度即可求出结果。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切$\odot O$于点A、B，
根据切线长定理可得：$PB = PA = 10\ \mathrm{cm}$，
又
∵EF切$\odot O$于点C，EA、EC是点E到$\odot O$的两条切线，FB、FC是点F到$\odot O$的两条切线，
∴$EA = EC$，$FB = FC$，
∴$△ PEF$的周长 $= PE + EF + PF = PE + EC + CF + PF$，
将$EC=EA$、$CF=FB$代入得：
周长 $= PE + EA + FB + PF = (PE + EA) + (PF + FB) = PA + PB = 10 + 10 = 20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理；三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题核心是通过切线长相等对三角形的边长进行等量转化，将未知的三角形周长转化为已知的两条切线长之和，是圆章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
2 [2024 沭阳期中]如图，EA，ED是$\odot O$的切线，切点分别为A，D，点B，C在$\odot O$上.若$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，则$∠ E$的度数为 （
A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$
C
）A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$
答案
2. C
解析
【分析】
本题要求∠E的度数，已知EA、ED是⊙O的切线，首先根据切线的性质可知切线垂直于过切点的半径，因此∠OAE=∠ODE=90°，在四边形OAED中可推出∠E=180°-∠AOD，因此只需先求出圆心角∠AOD的度数即可。结合已知条件∠BAE + ∠BCD=236°，利用弦切角定理（弦切角度数等于所夹弧度数的一半）和圆周角定理（圆周角度数等于所对弧度数的一半），将两个角转化为对应弧的度数表达式，联立化简即可求出弧AD的度数，即∠AOD的度数，进而求出∠E。
【解析】
1. 根据弦切角定理：切线与弦的夹角等于所夹弧度数的一半，EA为⊙O的切线，因此∠BAE的度数等于其所夹优弧AB度数的一半，即优弧AB = 2∠BAE，因此劣弧AB的度数为$360° - 2∠BAE$。
2. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于所对弧度数的一半，∠BCD是⊙O的圆周角，所对弧为劣弧BAD（劣弧AB+劣弧AD），因此：
$∠ BCD = \frac{1}{2}(\mathrm{劣弧AB} + \mathrm{劣弧AD})$
3. 已知$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，将劣弧AB、∠BCD的表达式代入：
$\begin{aligned}∠ BAE + \frac{1}{2}[(360° - 2∠ BAE) + \mathrm{劣弧AD}] &= 236°\\∠ BAE + 180° - ∠ BAE + \frac{1}{2}\mathrm{劣弧AD} &= 236°\\180° + \frac{1}{2}\mathrm{劣弧AD} &= 236°\end{aligned}$
解得$\frac{1}{2}\mathrm{劣弧AD}=56°$，即劣弧AD的度数为$112°$，因此劣弧AD对应的圆心角$∠ AOD=112°$。
4. 因为EA、ED都是⊙O的切线，根据切线的性质，得$OA⊥ EA$，$OD⊥ ED$，即$∠ OAE=∠ ODE=90°$。
5. 四边形OAED内角和为$360°$，因此：
$\begin{aligned}∠ E + ∠ OAE + ∠ ODE + ∠ AOD &= 360°\\∠ E + 90° + 90° + 112° &= 360°\\∠ E &= 360° - 292° = 68°\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；弦切角定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质的应用，解题的关键是将已知角转化为对应弧的度数关系，消去未知量后求出对应圆心角的度数，需要熟练掌握切线、圆周角、弦切角相关定理，能灵活进行角和弧的度数转换。
【难度系数】
0.6
本题要求∠E的度数，已知EA、ED是⊙O的切线，首先根据切线的性质可知切线垂直于过切点的半径，因此∠OAE=∠ODE=90°，在四边形OAED中可推出∠E=180°-∠AOD，因此只需先求出圆心角∠AOD的度数即可。结合已知条件∠BAE + ∠BCD=236°，利用弦切角定理（弦切角度数等于所夹弧度数的一半）和圆周角定理（圆周角度数等于所对弧度数的一半），将两个角转化为对应弧的度数表达式，联立化简即可求出弧AD的度数，即∠AOD的度数，进而求出∠E。
【解析】
1. 根据弦切角定理：切线与弦的夹角等于所夹弧度数的一半，EA为⊙O的切线，因此∠BAE的度数等于其所夹优弧AB度数的一半，即优弧AB = 2∠BAE，因此劣弧AB的度数为$360° - 2∠BAE$。
2. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于所对弧度数的一半，∠BCD是⊙O的圆周角，所对弧为劣弧BAD（劣弧AB+劣弧AD），因此：
$∠ BCD = \frac{1}{2}(\mathrm{劣弧AB} + \mathrm{劣弧AD})$
3. 已知$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，将劣弧AB、∠BCD的表达式代入：
$\begin{aligned}∠ BAE + \frac{1}{2}[(360° - 2∠ BAE) + \mathrm{劣弧AD}] &= 236°\\∠ BAE + 180° - ∠ BAE + \frac{1}{2}\mathrm{劣弧AD} &= 236°\\180° + \frac{1}{2}\mathrm{劣弧AD} &= 236°\end{aligned}$
解得$\frac{1}{2}\mathrm{劣弧AD}=56°$，即劣弧AD的度数为$112°$，因此劣弧AD对应的圆心角$∠ AOD=112°$。
4. 因为EA、ED都是⊙O的切线，根据切线的性质，得$OA⊥ EA$，$OD⊥ ED$，即$∠ OAE=∠ ODE=90°$。
5. 四边形OAED内角和为$360°$，因此：
$\begin{aligned}∠ E + ∠ OAE + ∠ ODE + ∠ AOD &= 360°\\∠ E + 90° + 90° + 112° &= 360°\\∠ E &= 360° - 292° = 68°\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；弦切角定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质的应用，解题的关键是将已知角转化为对应弧的度数关系，消去未知量后求出对应圆心角的度数，需要熟练掌握切线、圆周角、弦切角相关定理，能灵活进行角和弧的度数转换。
【难度系数】
0.6
3 [2025 龙东地区]如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，AC是直径，$∠ BAC=35°$，则$∠ P$的度数为
70°
。答案
3. 70°
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得PA垂直于直径AC，先求出∠PAB的度数；第二步，根据切线长定理，可知PA=PB，△PAB为等腰三角形，两底角∠PAB和∠PBA相等；第三步，利用三角形内角和为180°，即可计算出∠P的度数。
【解析】
解：
∵PA是⊙O的切线，AC为⊙O的直径，
∴PA⊥AC，即∠PAC=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠PAB=∠PAC - ∠BAC=90°-35°=55°，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴PA=PB（切线长定理），
∴∠PAB=∠PBA=55°，
在△PAB中，∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-55°-55°=70°。
【答案】
70°
【知识点】
切线的性质；切线长定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是切线性质应用的基础题型，解题核心是熟练运用切线相关性质得到边和角的关系，再结合三角形内角和公式计算角度，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得PA垂直于直径AC，先求出∠PAB的度数；第二步，根据切线长定理，可知PA=PB，△PAB为等腰三角形，两底角∠PAB和∠PBA相等；第三步，利用三角形内角和为180°，即可计算出∠P的度数。
【解析】
解：
∵PA是⊙O的切线，AC为⊙O的直径，
∴PA⊥AC，即∠PAC=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠PAB=∠PAC - ∠BAC=90°-35°=55°，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴PA=PB（切线长定理），
∴∠PAB=∠PBA=55°，
在△PAB中，∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-55°-55°=70°。
【答案】
70°
【知识点】
切线的性质；切线长定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是切线性质应用的基础题型，解题核心是熟练运用切线相关性质得到边和角的关系，再结合三角形内角和公式计算角度，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
4 [2025 西宁]如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=9，CD=15，则四边形ABCD的周长为
48
。答案
4. 48
解析
【分析】
解题时首先识别四边形ABCD是圆的外切四边形，回忆圆外切四边形的核心性质：圆外切四边形的两组对边之和相等。根据该性质可得AB+CD=AD+BC，再结合四边形周长的定义，将已知的AB、CD的长度代入计算，即可求出周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
根据圆外切四边形的性质可知：圆外切四边形的两组对边之和相等，
∴AB + CD = AD + BC，
已知AB=9，CD=15，
∴AB + CD = 9 + 15 = 24，即AD + BC = 24，
∴四边形ABCD的周长 = AB + BC + CD + DA = (AB + CD) + (AD + BC) = 24 + 24 = 48。
【答案】
48
【知识点】
1. 圆外切四边形的性质
2. 四边形周长计算
【点评】
本题是基础应用题，核心考查圆外切四边形对边和相等的性质，只要熟练掌握对应的性质即可快速得出结果，计算过程简单。
【难度系数】
0.8
解题时首先识别四边形ABCD是圆的外切四边形，回忆圆外切四边形的核心性质：圆外切四边形的两组对边之和相等。根据该性质可得AB+CD=AD+BC，再结合四边形周长的定义，将已知的AB、CD的长度代入计算，即可求出周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
根据圆外切四边形的性质可知：圆外切四边形的两组对边之和相等，
∴AB + CD = AD + BC，
已知AB=9，CD=15，
∴AB + CD = 9 + 15 = 24，即AD + BC = 24，
∴四边形ABCD的周长 = AB + BC + CD + DA = (AB + CD) + (AD + BC) = 24 + 24 = 48。
【答案】
48
【知识点】
1. 圆外切四边形的性质
2. 四边形周长计算
【点评】
本题是基础应用题，核心考查圆外切四边形对边和相等的性质，只要熟练掌握对应的性质即可快速得出结果，计算过程简单。
【难度系数】
0.8
5 如图，AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于点E，F，G，连接OE，OF，OG，且$AB// CD$，$OB=6$，$OC=8$.
（1）判断$△ OBC$的形状，并证明你的结论；
（2）求$\odot O$的半径OF.
（1）判断$△ OBC$的形状，并证明你的结论；
（2）求$\odot O$的半径OF.
答案
5. （1）$△ OBC$ 为直角三角形
$\because AB,BC$分别是$\odot O$的切线，$\therefore BE=BF$.又$\because OB=OB,OE=OF,\therefore △ BEO≌△ BFO,\therefore ∠ OBE=∠ OBF$,即$∠ OBF = \frac{1}{2}∠ EBF$. 同理,可得$∠ OCF = \frac{1}{2}∠ GCF$.
$\because AB// CD,\therefore ∠ EBF+∠ GCF=180°,\therefore ∠ OBF+∠ OCF=90°$,$\therefore ∠ BOC=90°,\therefore △ OBC$为直角三角形
（2）$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$OB=6,OC=8,\therefore BC = \sqrt{6^2+8^2} = 10$. $\because BC$ 是$\odot O$ 的切线，$\therefore OF⊥ BC$. $\because S_{△ BOC} = \frac{1}{2} OB · OC = \frac{1}{2} BC · OF$, $\therefore OF = \frac{OB · OC}{BC} = \frac{24}{5}$
$\because AB,BC$分别是$\odot O$的切线，$\therefore BE=BF$.又$\because OB=OB,OE=OF,\therefore △ BEO≌△ BFO,\therefore ∠ OBE=∠ OBF$,即$∠ OBF = \frac{1}{2}∠ EBF$. 同理,可得$∠ OCF = \frac{1}{2}∠ GCF$.
$\because AB// CD,\therefore ∠ EBF+∠ GCF=180°,\therefore ∠ OBF+∠ OCF=90°$,$\therefore ∠ BOC=90°,\therefore △ OBC$为直角三角形
（2）$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$OB=6,OC=8,\therefore BC = \sqrt{6^2+8^2} = 10$. $\because BC$ 是$\odot O$ 的切线，$\therefore OF⊥ BC$. $\because S_{△ BOC} = \frac{1}{2} OB · OC = \frac{1}{2} BC · OF$, $\therefore OF = \frac{OB · OC}{BC} = \frac{24}{5}$
解析
【分析】
（1）要判断△OBC的形状，首先结合切线性质，由切线长定理可得BO平分∠ABC、CO平分∠BCD；再结合AB//CD的条件，可知∠ABC与∠BCD互补，由此可推出∠OBC与∠OCB的和为90°，即可判定△OBC的形状。
（2）要求半径OF，首先根据切线的性质可知OF⊥BC，即OF是Rt△OBC斜边BC上的高；先通过勾股定理计算出BC的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法，通过等面积法即可求出OF的长度。
【解析】
（1）△OBC为直角三角形，证明如下：
∵AB、BC分别是$\odot O$的切线，
∴$BE=BF$，又$OB=OB$，$OE=OF$，
∴$△ BEO≌△ BFO$，
∴$∠OBE=∠OBF$，即$∠OBF=\frac{1}{2}∠EBF$。
同理可得$∠OCF=\frac{1}{2}∠GCF$。
∵$AB// CD$，
∴$∠EBF+∠GCF=180°$，
∴$∠OBF+∠OCF=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴$∠BOC=180°-(∠OBF+∠OCF)=90°$，
∴$△ OBC$为直角三角形。
（2）在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$OB=6$，$OC=8$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵BC是$\odot O$的切线，F为切点，
∴$OF⊥BC$。
∵$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB·OC=\frac{1}{2}BC·OF$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× OF$，
解得$OF=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$。
【答案】
（1）$△ OBC$是直角三角形；（2）$\odot O$的半径$OF$的长为$\frac{24}{5}$
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，等面积法求线段长
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，既考查了圆的切线相关性质的应用，也考查了直角三角形的判定和等面积法的灵活运用，解题的关键是熟练掌握切线长定理，准确梳理角之间的关系，合理选择面积法计算线段长度。
【难度系数】
0.7
（1）要判断△OBC的形状，首先结合切线性质，由切线长定理可得BO平分∠ABC、CO平分∠BCD；再结合AB//CD的条件，可知∠ABC与∠BCD互补，由此可推出∠OBC与∠OCB的和为90°，即可判定△OBC的形状。
（2）要求半径OF，首先根据切线的性质可知OF⊥BC，即OF是Rt△OBC斜边BC上的高；先通过勾股定理计算出BC的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法，通过等面积法即可求出OF的长度。
【解析】
（1）△OBC为直角三角形，证明如下：
∵AB、BC分别是$\odot O$的切线，
∴$BE=BF$，又$OB=OB$，$OE=OF$，
∴$△ BEO≌△ BFO$，
∴$∠OBE=∠OBF$，即$∠OBF=\frac{1}{2}∠EBF$。
同理可得$∠OCF=\frac{1}{2}∠GCF$。
∵$AB// CD$，
∴$∠EBF+∠GCF=180°$，
∴$∠OBF+∠OCF=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴$∠BOC=180°-(∠OBF+∠OCF)=90°$，
∴$△ OBC$为直角三角形。
（2）在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$OB=6$，$OC=8$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵BC是$\odot O$的切线，F为切点，
∴$OF⊥BC$。
∵$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB·OC=\frac{1}{2}BC·OF$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× OF$，
解得$OF=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$。
【答案】
（1）$△ OBC$是直角三角形；（2）$\odot O$的半径$OF$的长为$\frac{24}{5}$
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，等面积法求线段长
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，既考查了圆的切线相关性质的应用，也考查了直角三角形的判定和等面积法的灵活运用，解题的关键是熟练掌握切线长定理，准确梳理角之间的关系，合理选择面积法计算线段长度。
【难度系数】
0.7
6 整体思想 如图，$\odot I$与$△ ABC$的边$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$.若$\odot I$的半径为$r$，$∠ A=α$，则$BF+CE-BC$的值和$∠ FDE$的度数分别为 （
A.$2r,90°-α$
B.$0,90°-α$
C.$2r,90°-\frac{1}{2}α$
D.$0,90°-\frac{1}{2}α$
D
）A.$2r,90°-α$
B.$0,90°-α$
C.$2r,90°-\frac{1}{2}α$
D.$0,90°-\frac{1}{2}α$
答案
6. D
解析
【分析】
本题分两部分求解：①求BF+CE-BC的值：先利用切线长定理，将BF、CE转化为BC边上的线段，再代入式子计算即可；②求∠FDE的度数：先连接圆心I与切点F、E，根据切线的性质得到IF⊥AB、IE⊥AC，结合四边形内角和求出圆心角∠FIE的度数，再根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，即可求出∠FDE的度数。
【解析】
1. 计算$BF+CE-BC$的值：
∵$\odot I$是$△ ABC$的内切圆，与$AB、BC、CA$分别相切于点$F、D、E$，
根据切线长定理可得：$BF=BD$，$CE=CD$，
∴$BF+CE=BD+CD=BC$，
∴$BF+CE-BC=BC-BC=0$。
2. 计算$∠ FDE$的度数：
连接$IF、IE$，
∵$AB、AC$是$\odot I$的切线，
∴$IF⊥ AB$，$IE⊥ AC$，即$∠ AFI=∠ AEI=90°$，
∵四边形$AFIE$的内角和为$360°$，
∴$∠ FIE + ∠ A + ∠ AFI + ∠ AEI = 360°$，
代入$∠ A=α$，$∠ AFI=∠ AEI=90°$，得：
$∠ FIE=360° -90° -90° -α=180°-α$，
∵$∠ FDE$和$∠ FIE$分别是弧$FE$所对的圆周角和圆心角，
∴$∠ FDE=\frac{1}{2}∠ FIE=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，圆周角定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题重点考查三角形内切圆的相关性质，解题的关键是熟练运用切线长定理完成线段转化，结合圆周角与圆心角的关系完成角度计算，体现了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
本题分两部分求解：①求BF+CE-BC的值：先利用切线长定理，将BF、CE转化为BC边上的线段，再代入式子计算即可；②求∠FDE的度数：先连接圆心I与切点F、E，根据切线的性质得到IF⊥AB、IE⊥AC，结合四边形内角和求出圆心角∠FIE的度数，再根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，即可求出∠FDE的度数。
【解析】
1. 计算$BF+CE-BC$的值：
∵$\odot I$是$△ ABC$的内切圆，与$AB、BC、CA$分别相切于点$F、D、E$，
根据切线长定理可得：$BF=BD$，$CE=CD$，
∴$BF+CE=BD+CD=BC$，
∴$BF+CE-BC=BC-BC=0$。
2. 计算$∠ FDE$的度数：
连接$IF、IE$，
∵$AB、AC$是$\odot I$的切线，
∴$IF⊥ AB$，$IE⊥ AC$，即$∠ AFI=∠ AEI=90°$，
∵四边形$AFIE$的内角和为$360°$，
∴$∠ FIE + ∠ A + ∠ AFI + ∠ AEI = 360°$，
代入$∠ A=α$，$∠ AFI=∠ AEI=90°$，得：
$∠ FIE=360° -90° -90° -α=180°-α$，
∵$∠ FDE$和$∠ FIE$分别是弧$FE$所对的圆周角和圆心角，
∴$∠ FDE=\frac{1}{2}∠ FIE=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，圆周角定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题重点考查三角形内切圆的相关性质，解题的关键是熟练运用切线长定理完成线段转化，结合圆周角与圆心角的关系完成角度计算，体现了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
