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7 如图，在△ABC中，∠ACB=70°，⊙O与△ABC的三边都相切，设与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，连接AO并延长，交DE于点F，则∠AFD=
（第7题）
35
°。（第7题）答案
7. 35
8 [2024绵阳改编]如图，在$△ ADE$中，$∠ DAE=90°$，某圆与$△ ADE$的三边都相切，其中与$DE$相切于点$G$，当$EG=\sqrt{5}-1$，$DG=\sqrt{5}+1$时，$\dfrac{AE}{AD}$的值为________。
答案
8. $\frac{1}{2}$
【解析】如图，设与$△ ADE$三边都相切的圆的圆心为$O$，$AD,AE$分别与$\odot O$相切于点$K,H$,连接$OG,OK,OH$,则易得四边形$OKAH$为正方形.根据切线长定理可得$DK=DG=\sqrt{5}+1$,$EH=EG=\sqrt{5}-1$.设$\odot O$的半径为$r$,则$OK=OG=OH=r$. $\therefore$ 易得$AK=AH=r$, $\therefore AD=DK+AK=\sqrt{5}+1+r$, $AE=\sqrt{5}-1+r$. 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$DE=DG+EG=2\sqrt{5}$,$AD^2+AE^2=DE^2$,即$(\sqrt{5}+1+r)^2+(\sqrt{5}-1+r)^2=(2\sqrt{5})^2$.整理,得$r^2+2\sqrt{5}r-4=0$,解得$r_1=3-\sqrt{5}$,$r_2=-3-\sqrt{5}$(不合题意,舍去),$\therefore AD=4$,$AE=2$,$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$.
（第8题）9 [2024 通辽]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O为AC边上一点,以点O为圆心,OC长为半径作圆,与AB相切于点D,连接CD.
（1）求证:∠ABC=2∠ACD；
（2）若AC=8,BC=6,求⊙O的半径.
（1）求证:∠ABC=2∠ACD；
（2）若AC=8,BC=6,求⊙O的半径.
答案
9. （1）连接$OD$. $\because AB$ 为$\odot O$ 的切线,$\therefore OD⊥ AB$,$\therefore ∠ ODA=90°$,$\therefore ∠ AOD+∠ A=90°$. $\because OC=OD$,$\therefore ∠ ACD=∠ ODC$,$\therefore ∠ AOD=∠ ACD+∠ ODC=2∠ ACD$,$\therefore 2∠ ACD +∠ A=90°$.
$\because ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ ABC +∠ A=90°$,$\therefore ∠ ABC=2∠ ACD$
（2）设$\odot O$的半径为$r$,则$OD=OC=r$,$OA=8-r$. $\because ∠ ACB=90°$,$AC=8$,$BC=6$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$. $\because ∠ ACB=90°$,$OC$是$\odot O$的半径,$\therefore BC$是$\odot O$的切线. $\because AB$切$\odot O$于点$D$,$\therefore BD=BC=6$,$\therefore AD=AB-BD=4$. 在$\mathrm{Rt}△ ODA$中,由勾股定理,得$OD^2+AD^2=OA^2$,即$r^2+4^2=(8-r)^2$,解得$r=3$,$\therefore \odot O$的半径为3
$\because ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ ABC +∠ A=90°$,$\therefore ∠ ABC=2∠ ACD$
（2）设$\odot O$的半径为$r$,则$OD=OC=r$,$OA=8-r$. $\because ∠ ACB=90°$,$AC=8$,$BC=6$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$. $\because ∠ ACB=90°$,$OC$是$\odot O$的半径,$\therefore BC$是$\odot O$的切线. $\because AB$切$\odot O$于点$D$,$\therefore BD=BC=6$,$\therefore AD=AB-BD=4$. 在$\mathrm{Rt}△ ODA$中,由勾股定理,得$OD^2+AD^2=OA^2$,即$r^2+4^2=(8-r)^2$,解得$r=3$,$\therefore \odot O$的半径为3
10 [2025 广州]已知$\odot O$的半径为 6，$\odot O$所在平面内有一动点$P$，过点$P$可以引$\odot O$的两条切线$PA$，$PB$，切点分别为$A$，$B$，连接$OP$.
（1）设点$P$与圆心$O$的距离为$d$，则$d$的取值范围是
（2）若过点$O$作$OC// PA$，交直线$PB$于点$C$（点$C$不与点$B$重合），线段$OC$与$\odot O$交于点$D$.设$PA=x$，$CD=y$，试求出$y$关于$x$的函数表达式.
（1）设点$P$与圆心$O$的距离为$d$，则$d$的取值范围是
$d＞6$
.（2）若过点$O$作$OC// PA$，交直线$PB$于点$C$（点$C$不与点$B$重合），线段$OC$与$\odot O$交于点$D$.设$PA=x$，$CD=y$，试求出$y$关于$x$的函数表达式.
答案
10. （1）$d＞6$
【解析】$\because$ 过点$P$可以引$\odot O$的两条切线$PA,PB$,$\therefore$ 点$P$在$\odot O$外,$\therefore d＞6$.
（2）连接$OA,OB$. $\because PA$切$\odot O$于点$A$,$PB$切$\odot O$于点$B$,$\therefore PB=PA=x$,$OA⊥ PA$,$OB⊥ PB$. $\because OA=OB=6$,$\therefore PO$平分$∠ APB$,即$∠ APO=∠ BPO$. $\because OC// PA$,$\therefore ∠ POC=∠ APO$,$\therefore ∠ POC=∠ CPO$,$\therefore PC=OC=OD+CD=y+6$,$\therefore BC=PB-PC=x-(y+6)=x-y-6$. 在$\mathrm{Rt}△ OBC$中,$\because OC^2=BC^2+OB^2$,$\therefore (y+6)^2=(x-y-6)^2+6^2$,化简,得$y=\frac{(x-6)^2}{2x}$
【解析】$\because$ 过点$P$可以引$\odot O$的两条切线$PA,PB$,$\therefore$ 点$P$在$\odot O$外,$\therefore d＞6$.
（2）连接$OA,OB$. $\because PA$切$\odot O$于点$A$,$PB$切$\odot O$于点$B$,$\therefore PB=PA=x$,$OA⊥ PA$,$OB⊥ PB$. $\because OA=OB=6$,$\therefore PO$平分$∠ APB$,即$∠ APO=∠ BPO$. $\because OC// PA$,$\therefore ∠ POC=∠ APO$,$\therefore ∠ POC=∠ CPO$,$\therefore PC=OC=OD+CD=y+6$,$\therefore BC=PB-PC=x-(y+6)=x-y-6$. 在$\mathrm{Rt}△ OBC$中,$\because OC^2=BC^2+OB^2$,$\therefore (y+6)^2=(x-y-6)^2+6^2$,化简,得$y=\frac{(x-6)^2}{2x}$
