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1 下列选项中,所列举的两个变量之间的关系是反比例关系的为 （
A.在斜边长为5的直角三角形中,两直角边长之间的关系
B.在等腰三角形中,顶角度数与底角度数之间的关系
C.圆的面积S与它的直径d之间的关系
D.在面积为20 cm²的菱形中,一条对角线长y(cm)与另一条对角线长x(cm)之间的关系
D
）A.在斜边长为5的直角三角形中,两直角边长之间的关系
B.在等腰三角形中,顶角度数与底角度数之间的关系
C.圆的面积S与它的直径d之间的关系
D.在面积为20 cm²的菱形中,一条对角线长y(cm)与另一条对角线长x(cm)之间的关系
答案
1. D
解析
【分析】
解题的核心依据是反比例关系的定义：若两个变量$x、y$满足$xy=k$（$k$为不等于0的常数），则$x$与$y$成反比例关系。解题时先回忆各选项涉及的几何公式或性质，依次推导每个选项中两个变量的关系式，再对照反比例关系的定义逐一排除错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例关系的判定标准：两个相关联的变量，若它们的乘积为非零定值，则这两个变量成反比例关系，可表示为$xy=k(k≠0,k为常数)$。
对各选项逐一分析：
A. 设直角三角形两直角边长为$a、b$，由勾股定理得$a^2+b^2=25$，不满足乘积为定值的要求，不属于反比例关系；
B. 设等腰三角形顶角度数为$α$，底角度数为$β$，由三角形内角和得$α+2β=180°$，即$α=180°-2β$，属于一次函数关系，不属于反比例关系；
C. 圆的面积$S=π(\frac{d}{2})^2=\frac{π}{4}d^2$，属于二次函数关系，不属于反比例关系；
D. 菱形面积等于对角线乘积的一半，由题意得$\frac{1}{2}xy=20$，整理得$xy=40$，40为非零定值，符合反比例关系的定义，属于反比例关系。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例关系的定义；菱形面积公式；函数关系判定
【点评】
本题是基础概念类考题，解题关键是熟练掌握反比例关系的判定标准，能结合常见几何图形的性质正确推导变量间的关系式，易错点是容易混淆反比例关系与一次、二次函数的特征。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是反比例关系的定义：若两个变量$x、y$满足$xy=k$（$k$为不等于0的常数），则$x$与$y$成反比例关系。解题时先回忆各选项涉及的几何公式或性质，依次推导每个选项中两个变量的关系式，再对照反比例关系的定义逐一排除错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例关系的判定标准：两个相关联的变量，若它们的乘积为非零定值，则这两个变量成反比例关系，可表示为$xy=k(k≠0,k为常数)$。
对各选项逐一分析：
A. 设直角三角形两直角边长为$a、b$，由勾股定理得$a^2+b^2=25$，不满足乘积为定值的要求，不属于反比例关系；
B. 设等腰三角形顶角度数为$α$，底角度数为$β$，由三角形内角和得$α+2β=180°$，即$α=180°-2β$，属于一次函数关系，不属于反比例关系；
C. 圆的面积$S=π(\frac{d}{2})^2=\frac{π}{4}d^2$，属于二次函数关系，不属于反比例关系；
D. 菱形面积等于对角线乘积的一半，由题意得$\frac{1}{2}xy=20$，整理得$xy=40$，40为非零定值，符合反比例关系的定义，属于反比例关系。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例关系的定义；菱形面积公式；函数关系判定
【点评】
本题是基础概念类考题，解题关键是熟练掌握反比例关系的判定标准，能结合常见几何图形的性质正确推导变量间的关系式，易错点是容易混淆反比例关系与一次、二次函数的特征。
【难度系数】
0.8
2 下列等式中，表示 y 是 x 的反比例函数的为 （
A.$y=-\dfrac{k}{x}$
B.$y=\dfrac{b}{x^2}$
C.$y=\dfrac{1}{2x+1}$
D.$-2xy=1$
D
）A.$y=-\dfrac{k}{x}$
B.$y=\dfrac{b}{x^2}$
C.$y=\dfrac{1}{2x+1}$
D.$-2xy=1$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断哪个选项表示y是x的反比例函数，首先要明确反比例函数的核心定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（k为常数，且$ k≠0 $）的函数是反比例函数，也可转化为$ xy=k $（$ k≠0 $）、$ y=kx^{-1} $（$ k≠0 $）的形式。解题时需逐一对照定义的三个关键要求判断：①比例系数k为非零常数；②自变量x的次数为-1；③分母仅含自变量x本身，不能含其他常数项或x的更高次项。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一分析：
A. 表达式$ y=-\frac{k}{x} $未说明k的取值，当$ k=0 $时，$ y=0 $是常函数，不是反比例函数，不符合要求；
B. 表达式$ y=\frac{b}{x^2} $中x的次数为-2，不满足反比例函数中x的次数为-1的要求，不符合定义；
C. 表达式$ y=\frac{1}{2x+1} $的分母是含常数项的一次式$ 2x+1 $，y是关于$ 2x+1 $的反比例函数，不是x的反比例函数，不符合要求；
D. 将$ -2xy=1 $变形可得$ y=\frac{-\frac{1}{2}}{x} $，其中比例系数$ k=-\frac{1}{2}≠0 $，完全符合反比例函数的定义。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的定义
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，解题的关键是准确抓住反比例函数定义的几个限制条件，尤其要注意不要忽略比例系数不为0的要求，也要区分“y与x成反比例”和“y与含x的整式成反比例”的区别，避免误选错误选项。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项表示y是x的反比例函数，首先要明确反比例函数的核心定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（k为常数，且$ k≠0 $）的函数是反比例函数，也可转化为$ xy=k $（$ k≠0 $）、$ y=kx^{-1} $（$ k≠0 $）的形式。解题时需逐一对照定义的三个关键要求判断：①比例系数k为非零常数；②自变量x的次数为-1；③分母仅含自变量x本身，不能含其他常数项或x的更高次项。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一分析：
A. 表达式$ y=-\frac{k}{x} $未说明k的取值，当$ k=0 $时，$ y=0 $是常函数，不是反比例函数，不符合要求；
B. 表达式$ y=\frac{b}{x^2} $中x的次数为-2，不满足反比例函数中x的次数为-1的要求，不符合定义；
C. 表达式$ y=\frac{1}{2x+1} $的分母是含常数项的一次式$ 2x+1 $，y是关于$ 2x+1 $的反比例函数，不是x的反比例函数，不符合要求；
D. 将$ -2xy=1 $变形可得$ y=\frac{-\frac{1}{2}}{x} $，其中比例系数$ k=-\frac{1}{2}≠0 $，完全符合反比例函数的定义。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的定义
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，解题的关键是准确抓住反比例函数定义的几个限制条件，尤其要注意不要忽略比例系数不为0的要求，也要区分“y与x成反比例”和“y与含x的整式成反比例”的区别，避免误选错误选项。
【难度系数】
0.8
3 [2025宿豫段考]有下列函数:① $y=2x-1$;② $y=-\dfrac{4}{x}$;③ $y=-6x$;④ $y=\dfrac{2}{x+1}$;⑤ $y=\dfrac{1}{2x}$.其中,$y$是$x$的反比例函数的是________(填序号).
答案
3. ②⑤
解析
【分析】
解题的核心是先明确反比例函数的定义，再逐个验证给出的函数是否符合定义要求。首先回忆反比例函数的判定标准：需满足形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），自变量$x$的次数为-1，且$x$只能单独作为分母，不能带有其他常数项，接下来按这个标准逐一判断5个函数即可。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠ 0$）的函数叫做$y$关于$x$的反比例函数。
逐个分析所给函数：
① $y=2x-1$是一次函数，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数；
② $y=-\dfrac{4}{x}$，满足$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=-4≠0$，属于反比例函数；
③ $y=-6x$是正比例函数，属于特殊的一次函数，不是反比例函数；
④ $y=\dfrac{2}{x+1}$的分母是$x+1$，此时函数是$y$关于$x+1$的反比例函数，不是$y$关于$x$的反比例函数；
⑤ $y=\dfrac{1}{2x}$可变形为$y=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{x}$，满足$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=\dfrac{1}{2}≠0$，属于反比例函数。
综上，是反比例函数的为②⑤。
【答案】
②⑤
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是严格对照反比例函数的定义判断，要注意易错点：一是不要把自变量含常数项的分式函数错当成反比例函数，二是不要忽略反比例函数系数不为0、自变量单独在分母的要求。
【难度系数】
0.7
解题的核心是先明确反比例函数的定义，再逐个验证给出的函数是否符合定义要求。首先回忆反比例函数的判定标准：需满足形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），自变量$x$的次数为-1，且$x$只能单独作为分母，不能带有其他常数项，接下来按这个标准逐一判断5个函数即可。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠ 0$）的函数叫做$y$关于$x$的反比例函数。
逐个分析所给函数：
① $y=2x-1$是一次函数，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数；
② $y=-\dfrac{4}{x}$，满足$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=-4≠0$，属于反比例函数；
③ $y=-6x$是正比例函数，属于特殊的一次函数，不是反比例函数；
④ $y=\dfrac{2}{x+1}$的分母是$x+1$，此时函数是$y$关于$x+1$的反比例函数，不是$y$关于$x$的反比例函数；
⑤ $y=\dfrac{1}{2x}$可变形为$y=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{x}$，满足$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=\dfrac{1}{2}≠0$，属于反比例函数。
综上，是反比例函数的为②⑤。
【答案】
②⑤
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是严格对照反比例函数的定义判断，要注意易错点：一是不要把自变量含常数项的分式函数错当成反比例函数，二是不要忽略反比例函数系数不为0、自变量单独在分母的要求。
【难度系数】
0.7
4 新情境 学科融合 [2025德阳]公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体到支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡。后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂＝动力×动力臂。已知阻力和阻力臂分别为600 N和1 m，则当动力为1 200 N时，动力臂是
0.5
m。答案
4. 0.5
解析
【分析】
本题为跨学科融合题型，解题核心是利用题干给出的杠杆原理等量关系计算。首先明确“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”这一固定公式，再将已知的阻力、阻力臂、动力数值代入，设动力臂为未知量，通过解方程即可求出动力臂的长度。
【解析】
解：设动力臂为$ x $ m，根据杠杆原理的等量关系，代入已知数值得：
$ 600 × 1 = 1200x $
整理得：$ 1200x = 600 $
解得：$ x = 0.5 $
【答案】
0.5
【知识点】
列方程解应用题；反比例关系应用
【点评】
本题结合物理学科的杠杆原理设置情境，属于跨学科基础题型，解题关键是找准题干给出的等量关系，代入数值准确计算即可，得分难度较低。
【难度系数】
0.9
本题为跨学科融合题型，解题核心是利用题干给出的杠杆原理等量关系计算。首先明确“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”这一固定公式，再将已知的阻力、阻力臂、动力数值代入，设动力臂为未知量，通过解方程即可求出动力臂的长度。
【解析】
解：设动力臂为$ x $ m，根据杠杆原理的等量关系，代入已知数值得：
$ 600 × 1 = 1200x $
整理得：$ 1200x = 600 $
解得：$ x = 0.5 $
【答案】
0.5
【知识点】
列方程解应用题；反比例关系应用
【点评】
本题结合物理学科的杠杆原理设置情境，属于跨学科基础题型，解题关键是找准题干给出的等量关系，代入数值准确计算即可，得分难度较低。
【难度系数】
0.9
5 教材变式题 判断下列问题中的两个变量是否具有反比例关系.
（1）购买橡皮的总价为20元，橡皮的块数$y$随橡皮的单价$x$(元)的变化而变化；
（2）体积$200\ \mathrm{cm}^3$的圆柱，圆柱的高$h$(cm)随底面半径$r$(cm)的变化而变化；
（3）已知宿迁市的总面积约为$8\ 524\ \mathrm{km}^2$，人均占有面积$S(\mathrm{km}^2)$随全市总人数$n$的变化而变化；
（4）小华每分钟打字60个，则他打字总数$y$(个)随时间$t$(分钟)的变化而变化.
（1）购买橡皮的总价为20元，橡皮的块数$y$随橡皮的单价$x$(元)的变化而变化；
（2）体积$200\ \mathrm{cm}^3$的圆柱，圆柱的高$h$(cm)随底面半径$r$(cm)的变化而变化；
（3）已知宿迁市的总面积约为$8\ 524\ \mathrm{km}^2$，人均占有面积$S(\mathrm{km}^2)$随全市总人数$n$的变化而变化；
（4）小华每分钟打字60个，则他打字总数$y$(个)随时间$t$(分钟)的变化而变化.
答案
5.（1）根据题意,得 $xy=20$,即 $y=\dfrac{20}{x}$,$y$ 与 $x$ 具有反比例关系
（2）根据题意,得 $π r^2 h=200$,即 $h=\dfrac{200}{π r^2}$,$h$ 与 $r$ 不具有反比例关系
（3）根据题意,得 $Sn=8\ 524$,即 $S=\dfrac{8\ 524}{n}$,$S$ 与 $n$ 具有反比例关系
（4）根据题意,得 $y=60t$,$y$ 与 $t$ 不具有反比例关系
（2）根据题意,得 $π r^2 h=200$,即 $h=\dfrac{200}{π r^2}$,$h$ 与 $r$ 不具有反比例关系
（3）根据题意,得 $Sn=8\ 524$,即 $S=\dfrac{8\ 524}{n}$,$S$ 与 $n$ 具有反比例关系
（4）根据题意,得 $y=60t$,$y$ 与 $t$ 不具有反比例关系
解析
【分析】
判断两个变量是否为反比例关系，核心依据是反比例关系的定义：若两个变量x、y满足$xy=k$（k为不等于0的常数），则y与x成反比例关系。解题时先结合每个小题的实际场景列出等量关系，再将关系式变形，观察两个变量的乘积是否为非零定值，即可做出判断。
【解析】
（1）根据“总价=单价×块数”，已知总价为20元，可得$xy=20$，变形为$y=\dfrac{20}{x}$，x与y的乘积为定值20，因此y与x具有反比例关系。
（2）根据“圆柱体积=底面积×高”，已知体积为$200\ \mathrm{cm}^3$，可得$π r^2 h=200$，变形为$h=\dfrac{200}{π r^2}$，h是和$r^2$的乘积为定值，与r的乘积不是定值，因此h与r不具有反比例关系。
（3）根据“总面积=人均占有面积×总人数”，已知总面积为$8524\ \mathrm{km}^2$，可得$Sn=8524$，变形为$S=\dfrac{8524}{n}$，S与n的乘积为定值8524，因此S与n具有反比例关系。
（4）根据“打字总数=打字速度×时间”，已知每分钟打字60个，可得$y=60t$，y与t的比值为定值，乘积不是定值，是正比例关系，因此y与t不具有反比例关系。
【答案】
（1）$y$与$x$具有反比例关系；
（2）$h$与$r$不具有反比例关系；
（3）$S$与$n$具有反比例关系；
（4）$y$与$t$不具有反比例关系。
【知识点】
1. 反比例关系判定
2. 实际问题列关系式
【点评】
本题属于反比例关系的基础考查题，解题关键是牢记反比例关系的判定标准，注意区分反比例关系、正比例关系，以及和变量的平方成反比例的情况，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.8
判断两个变量是否为反比例关系，核心依据是反比例关系的定义：若两个变量x、y满足$xy=k$（k为不等于0的常数），则y与x成反比例关系。解题时先结合每个小题的实际场景列出等量关系，再将关系式变形，观察两个变量的乘积是否为非零定值，即可做出判断。
【解析】
（1）根据“总价=单价×块数”，已知总价为20元，可得$xy=20$，变形为$y=\dfrac{20}{x}$，x与y的乘积为定值20，因此y与x具有反比例关系。
（2）根据“圆柱体积=底面积×高”，已知体积为$200\ \mathrm{cm}^3$，可得$π r^2 h=200$，变形为$h=\dfrac{200}{π r^2}$，h是和$r^2$的乘积为定值，与r的乘积不是定值，因此h与r不具有反比例关系。
（3）根据“总面积=人均占有面积×总人数”，已知总面积为$8524\ \mathrm{km}^2$，可得$Sn=8524$，变形为$S=\dfrac{8524}{n}$，S与n的乘积为定值8524，因此S与n具有反比例关系。
（4）根据“打字总数=打字速度×时间”，已知每分钟打字60个，可得$y=60t$，y与t的比值为定值，乘积不是定值，是正比例关系，因此y与t不具有反比例关系。
【答案】
（1）$y$与$x$具有反比例关系；
（2）$h$与$r$不具有反比例关系；
（3）$S$与$n$具有反比例关系；
（4）$y$与$t$不具有反比例关系。
【知识点】
1. 反比例关系判定
2. 实际问题列关系式
【点评】
本题属于反比例关系的基础考查题，解题关键是牢记反比例关系的判定标准，注意区分反比例关系、正比例关系，以及和变量的平方成反比例的情况，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.8
