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1.(昆山期末)一次函数$y=2x+4$的图象与坐标轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，则$△ AOB$的面积是（
A.2
B.4
C.6
D.8
B
）A.2
B.4
C.6
D.8
答案
1.B
解析
【分析】
要计算△AOB的面积，首先明确△AOB是以原点O为直角顶点的直角三角形，两条直角边的长度就是一次函数与x轴、y轴交点到原点的距离。解题思路可分为三步：①利用坐标轴上点的坐标特征（x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0），分别求出一次函数与两个坐标轴的交点坐标；②根据交点坐标计算两条直角边的长度（线段长度为坐标的绝对值）；③代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求一次函数与y轴的交点坐标：
当x=0时，代入$y=2x+4$，得$y=2×0+4=4$，即与y轴交点为$(0,4)$，则直角边$OB=4$。
2. 求一次函数与x轴的交点坐标：
当y=0时，代入$y=2x+4$，得$0=2x+4$，解得$x=-2$，即与x轴交点为$(-2,0)$，则直角边$OA=|-2|=2$。
3. 计算△AOB的面积：
直角三角形面积$S=\frac{1}{2}× 底× 高=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×4=4$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、直角三角形面积计算、坐标与线段长度转换
【点评】
本题是函数与几何结合的基础题型，解题关键是掌握坐标轴上点的坐标特征，熟练求解一次函数与坐标轴的交点，再结合面积公式计算即可。
【难度系数】
0.9
要计算△AOB的面积，首先明确△AOB是以原点O为直角顶点的直角三角形，两条直角边的长度就是一次函数与x轴、y轴交点到原点的距离。解题思路可分为三步：①利用坐标轴上点的坐标特征（x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0），分别求出一次函数与两个坐标轴的交点坐标；②根据交点坐标计算两条直角边的长度（线段长度为坐标的绝对值）；③代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求一次函数与y轴的交点坐标：
当x=0时，代入$y=2x+4$，得$y=2×0+4=4$，即与y轴交点为$(0,4)$，则直角边$OB=4$。
2. 求一次函数与x轴的交点坐标：
当y=0时，代入$y=2x+4$，得$0=2x+4$，解得$x=-2$，即与x轴交点为$(-2,0)$，则直角边$OA=|-2|=2$。
3. 计算△AOB的面积：
直角三角形面积$S=\frac{1}{2}× 底× 高=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×4=4$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、直角三角形面积计算、坐标与线段长度转换
【点评】
本题是函数与几何结合的基础题型，解题关键是掌握坐标轴上点的坐标特征，熟练求解一次函数与坐标轴的交点，再结合面积公式计算即可。
【难度系数】
0.9
2.(无锡期末)如图,点A,B,C在一次函数$y=-x+m$的图象上,它们的横坐标依次为-2,2,4,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,则图中阴影部分的面积和是 (
A.6
B.3
C.$3(m-2)$
D.$3(m+2)$
A
)A.6
B.3
C.$3(m-2)$
D.$3(m+2)$
答案
2.A
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积和，首先代入横坐标求出A、B、C三点的纵坐标；观察直线$y=-x+m$的斜率为-1，可知所有阴影部分都是等腰直角三角形，且每个三角形的水平直角边长度都为2（相邻两点横坐标差为2），对应的竖直直角边长度也为2，最后分别计算三个阴影的面积求和即可，计算过程中参数$m$会相互抵消，无需知道$m$的具体数值。
【解析】
将点A、B、C的横坐标代入一次函数$y=-x+m$，可得：
点A横坐标为$-2$，纵坐标$y=-(-2)+m=m+2$，即$A(-2, m+2)$；
当$x=0$时，直线对应纵坐标$y=m$；
点B横坐标为$2$，纵坐标$y=-2+m$，即$B(2, m-2)$；
点C横坐标为$4$，纵坐标$y=-4+m$，即$C(4, m-4)$。
三个阴影均为直角边为2的等腰直角三角形：
第一个阴影面积：$S_1=\frac{1}{2}×2×2=2$
第二个阴影面积：$S_2=\frac{1}{2}×2×2=2$
第三个阴影面积：$S_3=\frac{1}{2}×2×2=2$
阴影部分总面积：$S=S_1+S_2+S_3=2+2+2=6$
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质；三角形面积计算；坐标与图形
【点评】
本题考查一次函数和图形面积的结合，解题的关键是结合一次函数的解析式特点，发现阴影部分的形状特征和直角边长度，计算时参数$m$会自动抵消，降低了解题难度。
【难度系数】
0.7
要计算阴影部分的面积和，首先代入横坐标求出A、B、C三点的纵坐标；观察直线$y=-x+m$的斜率为-1，可知所有阴影部分都是等腰直角三角形，且每个三角形的水平直角边长度都为2（相邻两点横坐标差为2），对应的竖直直角边长度也为2，最后分别计算三个阴影的面积求和即可，计算过程中参数$m$会相互抵消，无需知道$m$的具体数值。
【解析】
将点A、B、C的横坐标代入一次函数$y=-x+m$，可得：
点A横坐标为$-2$，纵坐标$y=-(-2)+m=m+2$，即$A(-2, m+2)$；
当$x=0$时，直线对应纵坐标$y=m$；
点B横坐标为$2$，纵坐标$y=-2+m$，即$B(2, m-2)$；
点C横坐标为$4$，纵坐标$y=-4+m$，即$C(4, m-4)$。
三个阴影均为直角边为2的等腰直角三角形：
第一个阴影面积：$S_1=\frac{1}{2}×2×2=2$
第二个阴影面积：$S_2=\frac{1}{2}×2×2=2$
第三个阴影面积：$S_3=\frac{1}{2}×2×2=2$
阴影部分总面积：$S=S_1+S_2+S_3=2+2+2=6$
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质；三角形面积计算；坐标与图形
【点评】
本题考查一次函数和图形面积的结合，解题的关键是结合一次函数的解析式特点，发现阴影部分的形状特征和直角边长度，计算时参数$m$会自动抵消，降低了解题难度。
【难度系数】
0.7
3.(南京期末)如图,一次函数$y=\frac{1}{2}x+3$的图象与$x$轴、$y$轴分别相交于$A,B$两点,点$P$是直线$AB$上的一点,且$OP$将$△ AOB$分为面积相等的两部分,则点$P$的坐标为
(-3,1.5)
.答案
3.(-3,1.5)
解析
【分析】
要解决本题，首先明确：若一条过三角形顶点的直线将三角形分为面积相等的两部分，则该直线必经过三角形对边的中点（两部分等底同高，面积相等），因此点P是线段AB的中点。解题步骤如下：1. 先求一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标：与x轴交点令y=0求x，与y轴交点令x=0求y；2. 利用中点坐标公式计算AB中点P的坐标即可。也可先计算△AOB的面积，得到分得的小三角形面积，结合底OA的长度求出P的纵坐标，再代入函数解析式求横坐标。
【解析】
步骤1：求A、B两点的坐标
对于一次函数$y=\frac{1}{2}x+3$：
与x轴交于点A时，y=0，代入得$0=\frac{1}{2}x+3$，解得$x=-6$，故$A(-6,0)$；
与y轴交于点B时，x=0，代入得$y=3$，故$B(0,3)$。
步骤2：确定点P的位置
因为OP将$△ AOB$分为面积相等的两部分，$△ AOP$和$△ BOP$同高，底相等时面积相等，因此P是AB的中点。
步骤3：计算P点坐标
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
代入A(-6,0)、B(0,3)得：
P的横坐标：$\frac{-6+0}{2}=-3$，
P的纵坐标：$\frac{0+3}{2}=1.5$，
因此点P的坐标为$(-3,1.5)$。
【答案】
$(-3,1.5)$
【知识点】
一次函数交点求法；三角形中线性质；中点坐标计算
【点评】
本题是一次函数与三角形面积的综合基础题，解题的关键是理解“过三角形顶点平分面积的线段经过对边中点”的性质，结合一次函数的性质即可求解，也可通过面积公式直接计算点的坐标，方法灵活。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确：若一条过三角形顶点的直线将三角形分为面积相等的两部分，则该直线必经过三角形对边的中点（两部分等底同高，面积相等），因此点P是线段AB的中点。解题步骤如下：1. 先求一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标：与x轴交点令y=0求x，与y轴交点令x=0求y；2. 利用中点坐标公式计算AB中点P的坐标即可。也可先计算△AOB的面积，得到分得的小三角形面积，结合底OA的长度求出P的纵坐标，再代入函数解析式求横坐标。
【解析】
步骤1：求A、B两点的坐标
对于一次函数$y=\frac{1}{2}x+3$：
与x轴交于点A时，y=0，代入得$0=\frac{1}{2}x+3$，解得$x=-6$，故$A(-6,0)$；
与y轴交于点B时，x=0，代入得$y=3$，故$B(0,3)$。
步骤2：确定点P的位置
因为OP将$△ AOB$分为面积相等的两部分，$△ AOP$和$△ BOP$同高，底相等时面积相等，因此P是AB的中点。
步骤3：计算P点坐标
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
代入A(-6,0)、B(0,3)得：
P的横坐标：$\frac{-6+0}{2}=-3$，
P的纵坐标：$\frac{0+3}{2}=1.5$，
因此点P的坐标为$(-3,1.5)$。
【答案】
$(-3,1.5)$
【知识点】
一次函数交点求法；三角形中线性质；中点坐标计算
【点评】
本题是一次函数与三角形面积的综合基础题，解题的关键是理解“过三角形顶点平分面积的线段经过对边中点”的性质，结合一次函数的性质即可求解，也可通过面积公式直接计算点的坐标，方法灵活。
【难度系数】
0.7
4.已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(-2,5)$，并且与$y$轴相交于点$P$，直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$与$x$轴相交于点$B$，与$y$轴相交于点$Q$，点$Q$恰好与点$P$关于$x$轴对称。
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)求$△ ABP$的面积。
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)求$△ ABP$的面积。
答案
4.解:(1)当$x=0$时,$y=-\frac{1}{2}x+3=3$,则$Q(0,3)$.
$\because$点$Q$与点$P$关于$x$轴对称,$\therefore P(0,-3)$.
把$P(0,-3),A(-2,5)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases} b=-3,\\ -2k+b=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-4,\\ b=-3. \end{cases}$
$\therefore$这个一次函数的表达式为$y=-4x-3$.
(2)对于直线$y=-\frac{1}{2}x+3$,当$y=0$时,$-\frac{1}{2}x+3=0$,
解得$x=6$,$\therefore B(6,0)$.
对于直线$y=-4x-3$,当$y=0$时,$-4x-3=0$,
解得$x=-\frac{3}{4}$,则直线$y=-4x-3$与$x$轴的交点坐标为
$(-\frac{3}{4},0)$,$\therefore △ ABP$的面积为$\frac{1}{2}×(6+\frac{3}{4})×5+\frac{1}{2}×$
$(6+\frac{3}{4})×3=27$.
$\because$点$Q$与点$P$关于$x$轴对称,$\therefore P(0,-3)$.
把$P(0,-3),A(-2,5)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases} b=-3,\\ -2k+b=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-4,\\ b=-3. \end{cases}$
$\therefore$这个一次函数的表达式为$y=-4x-3$.
(2)对于直线$y=-\frac{1}{2}x+3$,当$y=0$时,$-\frac{1}{2}x+3=0$,
解得$x=6$,$\therefore B(6,0)$.
对于直线$y=-4x-3$,当$y=0$时,$-4x-3=0$,
解得$x=-\frac{3}{4}$,则直线$y=-4x-3$与$x$轴的交点坐标为
$(-\frac{3}{4},0)$,$\therefore △ ABP$的面积为$\frac{1}{2}×(6+\frac{3}{4})×5+\frac{1}{2}×$
$(6+\frac{3}{4})×3=27$.
解析
【分析】
(1) 求一次函数表达式需用待定系数法，要先确定函数经过的两个点坐标：首先计算直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$与y轴交点Q的坐标（y轴上点的横坐标为0，代入即可求解），再根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的性质得到P点坐标，最后将点A、P代入$y=kx+b$解方程组即可求出k、b的值。
(2) 求$△ ABP$的面积时，先求出点B（直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，代入即可求解），再求出所求一次函数与x轴的交点，将$△ ABP$分割为两个同底的小三角形，分别计算两个小三角形的面积后求和，即可得到$△ ABP$的总面积。
【解析】
(1) 对于直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$，当$x=0$时，$y=-\dfrac{1}{2}×0+3=3$，因此$Q(0,3)$。
$\because$点Q与点P关于x轴对称，$\therefore$P点横坐标为0，纵坐标为3的相反数，即$P(0,-3)$。
将$P(0,-3)$、$A(-2,5)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} b=-3\\ -2k+b=5 \end{cases}$
把$b=-3$代入第二个方程，解得$k=-4$。
$\therefore$该一次函数的表达式为$y=-4x-3$。
(2) 求点B坐标：对于直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$，当$y=0$时，$-\dfrac{1}{2}x+3=0$，解得$x=6$，即$B(6,0)$。
求直线$y=-4x-3$与x轴的交点：当$y=0$时，$-4x-3=0$，解得$x=-\dfrac{3}{4}$，即交点为$(-\dfrac{3}{4},0)$。
$△ ABP$的面积可拆分为两个同底三角形的面积和，底长为$6+\dfrac{3}{4}$，两个三角形的高分别为点A到x轴的距离5、点P到x轴的距离3，因此：
$S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}×(6+\dfrac{3}{4})×5+\dfrac{1}{2}×(6+\dfrac{3}{4})×3=27$
【答案】
(1) $y=-4x-3$；(2) $27$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，轴对称的坐标性质，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，解题关键是准确求出各坐标轴交点坐标，计算不规则三角形面积时灵活使用割补法可简化运算，是一次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求一次函数表达式需用待定系数法，要先确定函数经过的两个点坐标：首先计算直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$与y轴交点Q的坐标（y轴上点的横坐标为0，代入即可求解），再根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的性质得到P点坐标，最后将点A、P代入$y=kx+b$解方程组即可求出k、b的值。
(2) 求$△ ABP$的面积时，先求出点B（直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，代入即可求解），再求出所求一次函数与x轴的交点，将$△ ABP$分割为两个同底的小三角形，分别计算两个小三角形的面积后求和，即可得到$△ ABP$的总面积。
【解析】
(1) 对于直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$，当$x=0$时，$y=-\dfrac{1}{2}×0+3=3$，因此$Q(0,3)$。
$\because$点Q与点P关于x轴对称，$\therefore$P点横坐标为0，纵坐标为3的相反数，即$P(0,-3)$。
将$P(0,-3)$、$A(-2,5)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} b=-3\\ -2k+b=5 \end{cases}$
把$b=-3$代入第二个方程，解得$k=-4$。
$\therefore$该一次函数的表达式为$y=-4x-3$。
(2) 求点B坐标：对于直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$，当$y=0$时，$-\dfrac{1}{2}x+3=0$，解得$x=6$，即$B(6,0)$。
求直线$y=-4x-3$与x轴的交点：当$y=0$时，$-4x-3=0$，解得$x=-\dfrac{3}{4}$，即交点为$(-\dfrac{3}{4},0)$。
$△ ABP$的面积可拆分为两个同底三角形的面积和，底长为$6+\dfrac{3}{4}$，两个三角形的高分别为点A到x轴的距离5、点P到x轴的距离3，因此：
$S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}×(6+\dfrac{3}{4})×5+\dfrac{1}{2}×(6+\dfrac{3}{4})×3=27$
【答案】
(1) $y=-4x-3$；(2) $27$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，轴对称的坐标性质，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，解题关键是准确求出各坐标轴交点坐标，计算不规则三角形面积时灵活使用割补法可简化运算，是一次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图，直线$y=-x+10$与$x$轴、$y$轴分别交于点$B$，$C$，点$A$的坐标为$(8,0)$，$P(x,y)$是直线$y=-x+10$在第一象限内的一个动点。
(1)求$△ OPA$的面积$S$与$x$的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围；
(2)当$△ OPA$的面积为24时，求点$P$的坐标。
(1)求$△ OPA$的面积$S$与$x$的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围；
(2)当$△ OPA$的面积为24时，求点$P$的坐标。
答案
5.解:(1)$\because y=-x+10$,令$y=0$,则$0=-x+10$,解得$x=10$,$\therefore B(10,0)$,$OB=10$.$\because A(8,0)$,$\therefore OA=8$,
$\therefore S_{△ OPA}=\frac{1}{2}OA· |y_P|=\frac{1}{2}×8×(-x+10)=-4x+40(0＜x＜10)$.
(2)当$S_{△ OPA}=24$时,$-4x+40=24$,解得$x=4$.
当$x=4$时,$y=-4+10=6$.
$\therefore$当$△ OPA$的面积为24时,点$P$的坐标为$(4,6)$.
$\therefore S_{△ OPA}=\frac{1}{2}OA· |y_P|=\frac{1}{2}×8×(-x+10)=-4x+40(0＜x＜10)$.
(2)当$S_{△ OPA}=24$时,$-4x+40=24$,解得$x=4$.
当$x=4$时,$y=-4+10=6$.
$\therefore$当$△ OPA$的面积为24时,点$P$的坐标为$(4,6)$.
解析
【分析】
(1) 求△OPA的面积时，先确定固定边OA的长度：点A坐标为(8,0)，因此OA=8，可作为三角形的底；对应的高是动点P到x轴的距离，即P点的纵坐标。由于P在直线$y=-x+10$上，因此纵坐标可转化为关于x的表达式，代入三角形面积公式即可得到S与x的函数关系。再结合P在第一象限的要求，横坐标$x＞0$，纵坐标$y=-x+10＞0$，即可确定x的取值范围。
(2) 已知面积为24，将$S=24$代入第一问得到的函数表达式，解一元一次方程得到x的值，再将x代入直线解析式求出对应的y值，即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x+10$，令$y=0$，得$0=-x+10$，解得$x=10$，即直线与x轴交点为$B(10,0)$。
已知$A(8,0)$，因此$OA=8$。
因为$P(x,y)$是直线在第一象限内的动点，所以$P$的纵坐标$y=-x+10＞0$，且$x＞0$，即$0＜x＜10$。
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2} × OA × y_P = \frac{1}{2} × 8 × (-x+10) = -4x + 40$
因此S与x的函数表达式为$S=-4x+40$，自变量x的取值范围是$0＜x＜10$。
(2) 当$△ OPA$的面积为24时，将$S=24$代入$S=-4x+40$得：
$-4x + 40 = 24$
解得$x=4$。
将$x=4$代入直线解析式$y=-x+10$，得$y=-4+10=6$。
因此点P的坐标为$(4,6)$。
【答案】
(1) $S=-4x+40(0＜x＜10)$；(2) $(4,6)$
【知识点】
一次函数的坐标特征，三角形面积计算，一次函数求值
【点评】
本题属于一次函数与几何结合的基础题型，解题关键是将动点的纵坐标与三角形的高对应，结合面积公式建立函数关系，计算时注意结合动点所在象限确定自变量的取值范围，整体考查内容比较基础，是一次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.75
(1) 求△OPA的面积时，先确定固定边OA的长度：点A坐标为(8,0)，因此OA=8，可作为三角形的底；对应的高是动点P到x轴的距离，即P点的纵坐标。由于P在直线$y=-x+10$上，因此纵坐标可转化为关于x的表达式，代入三角形面积公式即可得到S与x的函数关系。再结合P在第一象限的要求，横坐标$x＞0$，纵坐标$y=-x+10＞0$，即可确定x的取值范围。
(2) 已知面积为24，将$S=24$代入第一问得到的函数表达式，解一元一次方程得到x的值，再将x代入直线解析式求出对应的y值，即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x+10$，令$y=0$，得$0=-x+10$，解得$x=10$，即直线与x轴交点为$B(10,0)$。
已知$A(8,0)$，因此$OA=8$。
因为$P(x,y)$是直线在第一象限内的动点，所以$P$的纵坐标$y=-x+10＞0$，且$x＞0$，即$0＜x＜10$。
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2} × OA × y_P = \frac{1}{2} × 8 × (-x+10) = -4x + 40$
因此S与x的函数表达式为$S=-4x+40$，自变量x的取值范围是$0＜x＜10$。
(2) 当$△ OPA$的面积为24时，将$S=24$代入$S=-4x+40$得：
$-4x + 40 = 24$
解得$x=4$。
将$x=4$代入直线解析式$y=-x+10$，得$y=-4+10=6$。
因此点P的坐标为$(4,6)$。
【答案】
(1) $S=-4x+40(0＜x＜10)$；(2) $(4,6)$
【知识点】
一次函数的坐标特征，三角形面积计算，一次函数求值
【点评】
本题属于一次函数与几何结合的基础题型，解题关键是将动点的纵坐标与三角形的高对应，结合面积公式建立函数关系，计算时注意结合动点所在象限确定自变量的取值范围，整体考查内容比较基础，是一次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.75
