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9.(铜山区一模)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(m,5−m),当AB的长最小时,m的值为
3
.答案
9.3
解析
【分析】
要解决AB长最小时m的值的问题，我们可以按以下思路思考：首先，已知两点坐标，可借助两点间距离公式（本质是勾股定理）写出AB长度的表达式；其次，由于AB是正数，AB最小等价于AB的平方最小，这样可以避免根号运算简化计算；最后，AB的平方是关于m的二次式，用配方法即可求出二次式取最小值时对应的m值。
【解析】
根据平面直角坐标系中两点间距离公式，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。
已知$A(1,0)$，$B(m,5-m)$，则：
$AB^2=(m-1)^2+(5-m-0)^2$
展开得：
$AB^2=m^2-2m+1+m^2-10m+25$
合并同类项得：
$AB^2=2m^2-12m+26$
对二次式配方：
$AB^2=2(m^2-6m)+26=2(m^2-6m+9-9)+26=2(m-3)^2+8$
$\because 2＞0$，$\therefore$当$(m-3)^2=0$时，$AB^2$取得最小值，此时$m-3=0$，即$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
两点间距离公式，配方法，二次函数最值
【点评】
本题考查了代数与几何的结合应用，将线段长度最值问题转化为二次式的最值问题，解题的关键是正确列出距离表达式，熟练运用配方法求二次式的最值。
【难度系数】
0.7
要解决AB长最小时m的值的问题，我们可以按以下思路思考：首先，已知两点坐标，可借助两点间距离公式（本质是勾股定理）写出AB长度的表达式；其次，由于AB是正数，AB最小等价于AB的平方最小，这样可以避免根号运算简化计算；最后，AB的平方是关于m的二次式，用配方法即可求出二次式取最小值时对应的m值。
【解析】
根据平面直角坐标系中两点间距离公式，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。
已知$A(1,0)$，$B(m,5-m)$，则：
$AB^2=(m-1)^2+(5-m-0)^2$
展开得：
$AB^2=m^2-2m+1+m^2-10m+25$
合并同类项得：
$AB^2=2m^2-12m+26$
对二次式配方：
$AB^2=2(m^2-6m)+26=2(m^2-6m+9-9)+26=2(m-3)^2+8$
$\because 2＞0$，$\therefore$当$(m-3)^2=0$时，$AB^2$取得最小值，此时$m-3=0$，即$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
两点间距离公式，配方法，二次函数最值
【点评】
本题考查了代数与几何的结合应用，将线段长度最值问题转化为二次式的最值问题，解题的关键是正确列出距离表达式，熟练运用配方法求二次式的最值。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共46分)
10.(14分)某水果店经销甲、乙两种水果,两次购进水果的情况如下表所示.
(1)求甲、乙两种水果的进价;
(2)销售完前两次购进的水果后,该水果店决定回馈顾客,开展促销活动.第三次购进甲、乙两种水果共200千克,且投入的资金不超过3360元.将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售,剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售.若第三次购进的200千克水果全部售出后,获得的最大利润不低于800元,求正整数m的最大值.
10.(14分)某水果店经销甲、乙两种水果,两次购进水果的情况如下表所示.
(1)求甲、乙两种水果的进价;
(2)销售完前两次购进的水果后,该水果店决定回馈顾客,开展促销活动.第三次购进甲、乙两种水果共200千克,且投入的资金不超过3360元.将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售,剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售.若第三次购进的200千克水果全部售出后,获得的最大利润不低于800元,求正整数m的最大值.
答案
10.解:(1)设甲种水果的进价为每千克a元,乙种水果的进价为每千克b元.
根据题意,得$\begin{cases} 60a+40b=1520, \\ 30a+50b=1360, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=12, \\ b=20. \end{cases}$
答:甲种水果的进价为每千克12元,乙种水果的进价为每千克20元.
(2)设第三次购进x千克甲种水果,则购进(200−x)千克乙种水果.
由题意,得$12x+20(200−x) ≤ 3360$,解得$x ≥ 80$.
设水果店全部售出水果后获得的利润为w元,
由题意,得$w=(17−12) × (x−m)+(30−20) × (200−x−3m)=−5x−35m+2000$.
$\because -5＜0$,$\therefore w$随x的增大而减小,
$\therefore$当$x=80$时,w的值最大,最大值为$-35m+1600$.
由题意,得$-35m+1600 ≥ 800$,解得$m ≤ \frac{160}{7}$.
$\therefore$正整数m的最大值为22.
根据题意,得$\begin{cases} 60a+40b=1520, \\ 30a+50b=1360, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=12, \\ b=20. \end{cases}$
答:甲种水果的进价为每千克12元,乙种水果的进价为每千克20元.
(2)设第三次购进x千克甲种水果,则购进(200−x)千克乙种水果.
由题意,得$12x+20(200−x) ≤ 3360$,解得$x ≥ 80$.
设水果店全部售出水果后获得的利润为w元,
由题意,得$w=(17−12) × (x−m)+(30−20) × (200−x−3m)=−5x−35m+2000$.
$\because -5＜0$,$\therefore w$随x的增大而减小,
$\therefore$当$x=80$时,w的值最大,最大值为$-35m+1600$.
由题意,得$-35m+1600 ≥ 800$,解得$m ≤ \frac{160}{7}$.
$\therefore$正整数m的最大值为22.
解析
【分析】
（1）第一问需求甲、乙两种水果的进价，存在两个未知量，且题目给出两次购进两种水果的数量及总费用两个等量关系，因此可设两个未知数，根据“总费用=甲的单价×甲的进货量+乙的单价×乙的进货量”列二元一次方程组求解。
（2）第二问首先根据第三次进货的资金限制，设第三次购进甲种水果x千克，列一元一次不等式求出x的取值范围；再根据促销销售规则，仅非进价销售的部分产生利润，据此列出总利润w关于x和m的函数表达式，结合一次函数的增减性找到利润最大时x的取值，再根据“最大利润不低于800元”列不等式求解m的范围，最后取符合要求的最大正整数即可。
【解析】
(1) 设甲种水果的进价为每千克$a$元，乙种水果的进价为每千克$b$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 60a+40b=1520 \\ 30a+50b=1360 \end{cases}$
将第二个方程两边乘2得$60a+100b=2720$，减去第一个方程得$60b=1200$，解得$b=20$，将$b=20$代入第一个方程，解得$a=12$。
(2) 设第三次购进$x$千克甲种水果，则购进乙种水果$(200-x)$千克。
根据投入资金不超过3360元，列不等式：
$12x+20(200-x) ≤ 3360$
化简得$-8x ≤ -640$，解得$x ≥ 80$。
设总利润为$w$元，其中$m$千克甲和$3m$千克乙按进价销售（利润为0），剩余甲$(x-m)$千克每千克利润为$17-12=5$元，剩余乙$(200-x-3m)$千克每千克利润为$30-20=10$元，因此：
$w=5(x-m)+10(200-x-3m)$
化简得$w=-5x-35m+2000$
$\because -5＜0$，$\therefore w$随$x$的增大而减小，当$x$取最小值80时，$w$取得最大值，最大值为$w_{max}=-35m+1600$。
根据最大利润不低于800元，列不等式：
$-35m+1600 ≥ 800$
解得$m ≤ \frac{160}{7}≈22.86$
$\because m$为正整数，$\therefore m$的最大值为22。
【答案】
(1) 甲种水果进价为每千克12元，乙种水果进价为每千克20元；
(2) 正整数$m$的最大值为22。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，一次函数性质应用
【点评】
本题属于生活实际类综合应用题，综合考察方程、不等式与一次函数的相关知识，解题关键是准确梳理题目中的数量关系，提取等量与不等关系列式，同时注意结合一次函数的增减性确定最大利润的取值条件，不要忽略$m$为正整数的限制要求。
【难度系数】
0.6
（1）第一问需求甲、乙两种水果的进价，存在两个未知量，且题目给出两次购进两种水果的数量及总费用两个等量关系，因此可设两个未知数，根据“总费用=甲的单价×甲的进货量+乙的单价×乙的进货量”列二元一次方程组求解。
（2）第二问首先根据第三次进货的资金限制，设第三次购进甲种水果x千克，列一元一次不等式求出x的取值范围；再根据促销销售规则，仅非进价销售的部分产生利润，据此列出总利润w关于x和m的函数表达式，结合一次函数的增减性找到利润最大时x的取值，再根据“最大利润不低于800元”列不等式求解m的范围，最后取符合要求的最大正整数即可。
【解析】
(1) 设甲种水果的进价为每千克$a$元，乙种水果的进价为每千克$b$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 60a+40b=1520 \\ 30a+50b=1360 \end{cases}$
将第二个方程两边乘2得$60a+100b=2720$，减去第一个方程得$60b=1200$，解得$b=20$，将$b=20$代入第一个方程，解得$a=12$。
(2) 设第三次购进$x$千克甲种水果，则购进乙种水果$(200-x)$千克。
根据投入资金不超过3360元，列不等式：
$12x+20(200-x) ≤ 3360$
化简得$-8x ≤ -640$，解得$x ≥ 80$。
设总利润为$w$元，其中$m$千克甲和$3m$千克乙按进价销售（利润为0），剩余甲$(x-m)$千克每千克利润为$17-12=5$元，剩余乙$(200-x-3m)$千克每千克利润为$30-20=10$元，因此：
$w=5(x-m)+10(200-x-3m)$
化简得$w=-5x-35m+2000$
$\because -5＜0$，$\therefore w$随$x$的增大而减小，当$x$取最小值80时，$w$取得最大值，最大值为$w_{max}=-35m+1600$。
根据最大利润不低于800元，列不等式：
$-35m+1600 ≥ 800$
解得$m ≤ \frac{160}{7}≈22.86$
$\because m$为正整数，$\therefore m$的最大值为22。
【答案】
(1) 甲种水果进价为每千克12元，乙种水果进价为每千克20元；
(2) 正整数$m$的最大值为22。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，一次函数性质应用
【点评】
本题属于生活实际类综合应用题，综合考察方程、不等式与一次函数的相关知识，解题关键是准确梳理题目中的数量关系，提取等量与不等关系列式，同时注意结合一次函数的增减性确定最大利润的取值条件，不要忽略$m$为正整数的限制要求。
【难度系数】
0.6
11.(12分)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数$y=2x+4$的图象，并结合图象解决下列问题：
(1)方程$2x+4=0$的解是
(2)当$-4≤ y≤0$时，$x$的取值范围是
(1)方程$2x+4=0$的解是
$x=-2$
；(2)当$-4≤ y≤0$时，$x$的取值范围是
$-4 ≤ x ≤ -2$
。答案
11.解:函数图象如答图所示.
(1)$x=-2$
(2)$-4 ≤ x ≤ -2$
解析
【分析】
要解决本题，首先要掌握一次函数图象的画法：一次函数的图象是直线，只需找到图象上两个点，连接两点即可画出图象。对于问题(1)，方程$2x+4=0$的解对应函数$y=2x+4$的图象与x轴交点的横坐标，也就是$y=0$时x的取值。对于问题(2)，先找到$y=-4$和$y=0$时对应的x值，再结合一次函数的增减性，就能确定y在$-4≤y≤0$范围内时x的取值范围。
【解析】
首先画函数$y=2x+4$的图象：
①找两点：当$x=0$时，$y=2×0+4=4$，得到点$(0,4)$；当$y=0$时，$2x+4=0$，解得$x=-2$，得到点$(-2,0)$。
②在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点画直线，即为$y=2x+4$的图象。
(1) 方程$2x+4=0$的解，就是函数$y=2x+4$的图象与x轴交点的横坐标，观察图象可知交点为$(-2,0)$，因此方程的解为$x=-2$。
(2) 先求$y=-4$时x的值：把$y=-4$代入$y=2x+4$，得$-4=2x+4$，解得$x=-4$。
已知一次函数$y=2x+4$中$k=2＞0$，y随x的增大而增大，因此当$-4≤y≤0$时，对应的x的取值范围是$-4≤x≤-2$。
【答案】
函数图象如答图所示.
(1)$x=-2$
(2)$-4 ≤ x ≤ -2$
【知识点】
一次函数的图象；一次函数与一元一次方程；一次函数的性质
【点评】
本题考查一次函数的基础应用，解题的关键是掌握一次函数图象的画法，理解一次函数与对应一元一次方程的关系，学会利用数形结合的思想，结合函数的增减性根据函数值范围求自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先要掌握一次函数图象的画法：一次函数的图象是直线，只需找到图象上两个点，连接两点即可画出图象。对于问题(1)，方程$2x+4=0$的解对应函数$y=2x+4$的图象与x轴交点的横坐标，也就是$y=0$时x的取值。对于问题(2)，先找到$y=-4$和$y=0$时对应的x值，再结合一次函数的增减性，就能确定y在$-4≤y≤0$范围内时x的取值范围。
【解析】
首先画函数$y=2x+4$的图象：
①找两点：当$x=0$时，$y=2×0+4=4$，得到点$(0,4)$；当$y=0$时，$2x+4=0$，解得$x=-2$，得到点$(-2,0)$。
②在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点画直线，即为$y=2x+4$的图象。
(1) 方程$2x+4=0$的解，就是函数$y=2x+4$的图象与x轴交点的横坐标，观察图象可知交点为$(-2,0)$，因此方程的解为$x=-2$。
(2) 先求$y=-4$时x的值：把$y=-4$代入$y=2x+4$，得$-4=2x+4$，解得$x=-4$。
已知一次函数$y=2x+4$中$k=2＞0$，y随x的增大而增大，因此当$-4≤y≤0$时，对应的x的取值范围是$-4≤x≤-2$。
【答案】
函数图象如答图所示.
(1)$x=-2$
(2)$-4 ≤ x ≤ -2$
【知识点】
一次函数的图象；一次函数与一元一次方程；一次函数的性质
【点评】
本题考查一次函数的基础应用，解题的关键是掌握一次函数图象的画法，理解一次函数与对应一元一次方程的关系，学会利用数形结合的思想，结合函数的增减性根据函数值范围求自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
12.(20分)如图①，小明家、妈妈的单位和超市在一条直线上。一天傍晚，小明从家步行去超市，与此同时妈妈从单位骑行回家拿东西，再以相同的速度骑行去超市，如图②，线段OD和折线ABCD分别表示小明和妈妈离家的距离y(m)与出发的时间x(min)的关系。
(1)小明步行的速度是
(2)求线段CD所表示的y与x之间的函数表达式；
(3)当x=
(1)小明步行的速度是
100
m/min，妈妈的单位距离超市800
m；(2)求线段CD所表示的y与x之间的函数表达式；
(3)当x=
$\frac{2}{3}$或4或10
时，小明与妈妈相距400 m.答案
12.(1)100 800
(2)解:由图象知,妈妈的速度为$\frac{600}{3}=200(\mathrm{m}/\mathrm{min})$,
妈妈从家到超市所用时间为$\frac{1400}{200}=7(\mathrm{min})$,
$\therefore$妈妈在家的时间为$14−3−7=4(\mathrm{min})$,
$\therefore C(7,0),D(14,1400)$.
设线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为$y=kx+b$.把$(7,0)$,$(14,1400)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases} 7k+b=0, \\ 14k+b=1400, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=200, \\ b=-1400. \end{cases}$
$\therefore$线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为$y=200x−1400(7 ≤ x ≤ 14)$.
(3)$\frac{2}{3}$或4或10
(2)解:由图象知,妈妈的速度为$\frac{600}{3}=200(\mathrm{m}/\mathrm{min})$,
妈妈从家到超市所用时间为$\frac{1400}{200}=7(\mathrm{min})$,
$\therefore$妈妈在家的时间为$14−3−7=4(\mathrm{min})$,
$\therefore C(7,0),D(14,1400)$.
设线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为$y=kx+b$.把$(7,0)$,$(14,1400)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases} 7k+b=0, \\ 14k+b=1400, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=200, \\ b=-1400. \end{cases}$
$\therefore$线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为$y=200x−1400(7 ≤ x ≤ 14)$.
(3)$\frac{2}{3}$或4或10
解析
【分析】
(1) 求小明步行速度可直接结合线段OD的路程和对应时间，用速度=路程÷时间计算；妈妈单位到超市的距离结合两个地点到小明家的距离，根据三点的位置关系作差即可得到。
(2) 求线段CD的函数表达式需先确定C、D两点坐标：先通过AB段的路程和时间算出妈妈的骑行速度，再算出妈妈从家到超市的用时，结合D点的时间反推妈妈从家出发的时间即C点横坐标，得到C点坐标后用待定系数法代入两点求解一次函数解析式即可。
(3) 两人相距400m需分三段时间讨论：①0≤x≤3时妈妈返程回家、②3＜x≤7时妈妈在家、③7＜x≤14时妈妈前往超市，分别列出对应时间段两人离家距离的表达式，根据距离差为400列方程求解，舍去不在取值范围内的解即可。
【解析】
(1) 小明14min走了1400m，步行速度为$1400÷14=100(\mathrm{m/min})$；
由题意可知妈妈单位离家600m，超市离家1400m，且三者顺序为小明家、妈妈单位、超市，因此妈妈的单位距离超市$1400-600=800(\mathrm{m})$。
(2) 妈妈的骑行速度为$\frac{600}{3}=200(\mathrm{m/min})$，
妈妈从家到超市的路程为1400m，所需时间为$\frac{1400}{200}=7(\mathrm{min})$，
妈妈14min到达超市，因此她从家出发的时间为$14-7=7(\mathrm{min})$，即C点坐标为$(7,0)$，已知D点坐标为$(14,1400)$。
设线段CD的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(7,0)$、$(14,1400)$代入得：
$\begin{cases} 7k+b=0 \\ 14k+b=1400 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=200 \\ b=-1400 \end{cases}$
因此线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为$y=200x-1400(7≤ x≤14)$。
(3) 分三种情况讨论：
①当$0≤ x≤3$时，妈妈离家距离为$y_1=600-200x$，小明离家距离为$y_2=100x$，由$|y_1-y_2|=400$得$600-300x=400$，解得$x=\frac{2}{3}$，符合取值范围；
②当$3＜x≤7$时，妈妈在家，$y_1=0$，两人距离为$100x=400$，解得$x=4$，符合取值范围；
③当$7＜x≤14$时，妈妈离家距离为$y_1=200x-1400$，小明离家距离为$y_2=100x$，由$|y_1-y_2|=400$得$|100x-1400|=400$，解得$x=10$（$x=18$超出取值范围舍去），符合取值范围。
综上可得x的取值。
【答案】
(1) $\boldsymbol{100}$；$\boldsymbol{800}$
(2) $\boldsymbol{y=200x-1400(7≤ x≤14)}$
(3) $\boldsymbol{\frac{2}{3}}$或$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{10}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程问题分类讨论
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的实际应用，需要准确理解图象中各线段对应的实际意义，分类讨论时要明确不同时间段的函数关系，避免出现漏解、多解的问题，对读图能力和分类讨论思想的运用有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 求小明步行速度可直接结合线段OD的路程和对应时间，用速度=路程÷时间计算；妈妈单位到超市的距离结合两个地点到小明家的距离，根据三点的位置关系作差即可得到。
(2) 求线段CD的函数表达式需先确定C、D两点坐标：先通过AB段的路程和时间算出妈妈的骑行速度，再算出妈妈从家到超市的用时，结合D点的时间反推妈妈从家出发的时间即C点横坐标，得到C点坐标后用待定系数法代入两点求解一次函数解析式即可。
(3) 两人相距400m需分三段时间讨论：①0≤x≤3时妈妈返程回家、②3＜x≤7时妈妈在家、③7＜x≤14时妈妈前往超市，分别列出对应时间段两人离家距离的表达式，根据距离差为400列方程求解，舍去不在取值范围内的解即可。
【解析】
(1) 小明14min走了1400m，步行速度为$1400÷14=100(\mathrm{m/min})$；
由题意可知妈妈单位离家600m，超市离家1400m，且三者顺序为小明家、妈妈单位、超市，因此妈妈的单位距离超市$1400-600=800(\mathrm{m})$。
(2) 妈妈的骑行速度为$\frac{600}{3}=200(\mathrm{m/min})$，
妈妈从家到超市的路程为1400m，所需时间为$\frac{1400}{200}=7(\mathrm{min})$，
妈妈14min到达超市，因此她从家出发的时间为$14-7=7(\mathrm{min})$，即C点坐标为$(7,0)$，已知D点坐标为$(14,1400)$。
设线段CD的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(7,0)$、$(14,1400)$代入得：
$\begin{cases} 7k+b=0 \\ 14k+b=1400 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=200 \\ b=-1400 \end{cases}$
因此线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为$y=200x-1400(7≤ x≤14)$。
(3) 分三种情况讨论：
①当$0≤ x≤3$时，妈妈离家距离为$y_1=600-200x$，小明离家距离为$y_2=100x$，由$|y_1-y_2|=400$得$600-300x=400$，解得$x=\frac{2}{3}$，符合取值范围；
②当$3＜x≤7$时，妈妈在家，$y_1=0$，两人距离为$100x=400$，解得$x=4$，符合取值范围；
③当$7＜x≤14$时，妈妈离家距离为$y_1=200x-1400$，小明离家距离为$y_2=100x$，由$|y_1-y_2|=400$得$|100x-1400|=400$，解得$x=10$（$x=18$超出取值范围舍去），符合取值范围。
综上可得x的取值。
【答案】
(1) $\boldsymbol{100}$；$\boldsymbol{800}$
(2) $\boldsymbol{y=200x-1400(7≤ x≤14)}$
(3) $\boldsymbol{\frac{2}{3}}$或$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{10}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程问题分类讨论
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的实际应用，需要准确理解图象中各线段对应的实际意义，分类讨论时要明确不同时间段的函数关系，避免出现漏解、多解的问题，对读图能力和分类讨论思想的运用有一定要求。
【难度系数】
0.65
