1[2025浙江台州期末,中]已知OC是∠AOB的平分线，$∠ BOD=\frac{1}{3}∠ COD$，OE平分∠COD，设$∠ AOB=α$，则$∠ BOE=$（）

A.$\frac{5}{16}α$或$\frac{1}{8}α$
B.$\frac{5}{16}α$或$\frac{1}{6}α$
C.$\frac{1}{8}α$或$\frac{1}{6}α$
D.$\frac{1}{6}α$

1.A 【解析】如图(1)，当OD在OB上方时，因为∠AOB = α，OC是∠AOB的平分线，所以∠BOC = $\frac{1}{2}$α. 因为∠BOD = $\frac{1}{3}$∠COD，∠BOD+∠COD = ∠BOC = $\frac{1}{2}$α，所以∠BOD = $\frac{1}{8}$α，则∠COD = $\frac{3}{8}$α. 因为OE平分∠COD，所以∠DOE = $\frac{1}{2}$∠COD = $\frac{3}{16}$α，所以∠BOE = ∠DOE+∠BOD = $\frac{3}{16}$α+$\frac{1}{8}$α = $\frac{5}{16}$α.
如图(2)，当OD在OB下方时，因为∠AOB = α，OC是∠AOB的平分线，所以∠BOC = $\frac{1}{2}$α. 因为∠BOD = $\frac{1}{3}$∠COD，所以∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{4}$α，所以∠COD = $\frac{3}{4}$α. 因为OE平分∠COD，所以∠DOE = $\frac{1}{2}$∠COD = $\frac{3}{8}$α，所以∠BOE = ∠DOE-∠BOD = $\frac{3}{8}$α-$\frac{1}{4}$α = $\frac{1}{8}$α. 综上所述，∠BOE = $\frac{5}{16}$α或$\frac{1}{8}$α. 故选A.
关键点拨
注意分情况讨论，可先画出示意图，再利用角度之间的关系进行求解即可.

2[2025江苏无锡期末,中]如图,$∠ AOB$是直角,$∠ AOC=50°$,射线$OP$从边$OA$出发,绕点$O$逆时针旋转直至与边$OB$重合,在旋转过程中,下列情形不可能出现的是 ()


A.$OP$平分$∠ AOC$
B.$OP$平分$∠ AOB$
C.$OC$平分$∠ BOP$
D.$OC$平分$∠ AOP$

2.D 【解析】当射线OP旋转到∠AOP=∠POC时，OP平分∠AOC，故A选项可能出现，不符合题意；当射线OP旋转到∠AOP=∠POB时，OP平分∠AOB，故B选项可能出现，不符合题意；当射线OP旋转到∠BOC=∠POC时，OC平分∠BOP，故C选项可能出现，不符合题意；若OC平分∠AOP，则∠AOC=∠POC=50°，此时∠AOP=100°，但∠AOB是直角，为90°，且射线OP从边OA出发，绕点O逆时针旋转直至与边OB重合，故在∠AOB中不可能有一个大于90°的∠AOP，故D选项不可能出现，符合题意. 故选D.

3[2026江苏苏州期末,中]如图,点O为直线AB上一点,射线OC,OD同时从射线OA位置出发,分别以$10°/\mathrm{s}$,$20°/\mathrm{s}$的速度绕点O按逆时针方向匀速旋转,设运动的时间为$t$ s,其中$0＜t＜36$.记射线OB,OC,OD中的一条射线首次平分另外两条射线组成的角的时间为$t_1$ s,射线OB,OC,OD中的一条射线最后一次平分另外两条射线组成的角的时间为$t_2$ s,则$t_2 - t_1=$.

3.24 【解析】第一次平分，即OD平分∠BOC时，180-20t₁=20t₁-10t₁，解得t₁=6；最后一次平分，即OD平分∠BOC时，10t₂-180=2(20t₂-360-180)，解得t₂=30，所以t₂-t₁=30-6=24，故答案为24.

4 核心素养推理能力 [较难]爱钻研的琪琪发现，将图(1)所示的手表理解成图(2)所示的数学模型(点A和点D是表带的两端，点A,B,C,D在同一条线段上)，可以产生下面的数学问题。

(1)已知表盘直径BC为4 cm,CD=4AB,若B是AC中点,则表带CD= cm.
(2)在某个时刻,分针ON指向表盘上的数字“6”(此时ON与OC重合).时针为OE,表盘显示时间为10:30,如图(3)所示.
①10:30时分针和时针的夹角为度；
②作射线OF,使∠EOF=20°,求此时∠BOF的度数.
(3)如图(4)所示,自10:30之后,若射线OF始终是∠EON的平分线(分针还是ON),在一小时以内,经过分钟后,∠EOF的度数是25°.

4.【解】(1)因为BC为4 cm，B是AC中点，所以AB=BC=4 cm，所以CD=4AB=16 cm. 故答案为16.
(2)①表盘分为12格，1格的度数为360°÷12=30°，时针1分钟所走的度数为30°÷60=0.5°，所以从10:00到10:30，时针30分钟走的度数为30×0.5°=15°，所以10:30时分针和时针的夹角的度数为4×30°+15°=135°，故答案为135.
②由①知，∠EOC=135°，所以∠BOE=180°-135°=45°. 当OF在∠EOB内部时，∠BOF=∠BOE-∠EOF=25°；当OF在∠EOB外部时，∠BOF=∠BOE+∠EOF=65°.
综上，∠BOF的度数为25°或65°.
易错警示 (2)②注意分当射线OF在∠EOB内部和外部两种情况讨论，不要漏解.
(3)设经过t分钟后，∠EOF的度数是25°. 因为分针1分钟所走的度数为360°÷60=6°，所以时针与分针1分钟所走度数的差为6°-0.5°=5.5°，所以∠EON=|135°-5.5°t|. 因为OF平分∠EON，所以∠EOF=$\frac{|135°-5.5°t|}{2}$=25°. ①$\frac{135°-5.5°t}{2}$=25°，解得t=$\frac{170}{11}$；②$\frac{5.5°t-135°}{2}$=25°，解得t=$\frac{370}{11}$. 故答案为$\frac{170}{11}$或$\frac{370}{11}$.