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7.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边三角形ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长为 （
A.π
B.3π
C.2π
D.2π−√3
B
）A.π
B.3π
C.2π
D.2π−√3
答案
7.B
解析
【分析】
要计算莱洛三角形的周长，首先明确它的周长是三段等长圆弧的长度之和。首先根据等边三角形的性质得到每段圆弧对应的圆心角度数，再结合已知的等边三角形边长得到圆弧的半径，最后利用弧长公式计算单段弧长，乘以3即可得到总周长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，边长为3
∴△ABC的每个内角均为60°，且每段圆弧的半径$r=3$，对应的圆心角$n=60°$
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可得单段弧的长度为：
$l=\frac{60π×3}{180}=π$
∵莱洛三角形的周长由3段这样的等长圆弧组成
∴总周长$C=3×π=3π$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
弧长的计算；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是理解莱洛三角形的构成，准确找到每段弧的圆心角和半径，结合弧长公式即可求解。
【难度系数】
0.8
要计算莱洛三角形的周长，首先明确它的周长是三段等长圆弧的长度之和。首先根据等边三角形的性质得到每段圆弧对应的圆心角度数，再结合已知的等边三角形边长得到圆弧的半径，最后利用弧长公式计算单段弧长，乘以3即可得到总周长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，边长为3
∴△ABC的每个内角均为60°，且每段圆弧的半径$r=3$，对应的圆心角$n=60°$
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可得单段弧的长度为：
$l=\frac{60π×3}{180}=π$
∵莱洛三角形的周长由3段这样的等长圆弧组成
∴总周长$C=3×π=3π$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
弧长的计算；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是理解莱洛三角形的构成，准确找到每段弧的圆心角和半径，结合弧长公式即可求解。
【难度系数】
0.8
8.(2025·泰州二模)如图,在$△ ABC$中,$AB=5$,$AC=3$,$∠ BAC=50°$,$D$是边$BC$上的一个动点,点$C$关于$AD$的对称点是$C'$.动点$D$从点$C$运动到点$B$时,点$C'$运动的路径长为
$\frac{5}{3}π$
.答案
8.$\frac{5}{3}π$
解析
【分析】
解题首先要确定动点$C'$的运动轨迹：由轴对称的性质可知，无论点$D$如何运动，$AC'=AC=3$，即$C'$到定点$A$的距离始终为定值3，因此$C'$的运动路径是以$A$为圆心、$AC$长为半径的圆弧。接下来确定圆弧对应的圆心角：当$D$在点$C$时，$C'$与$C$重合；当$D$运动到点$B$时，对称轴为$AB$，由对称性质得$∠ C'AB=∠ BAC=50°$，因此圆弧对应的圆心角为$50°+50°=100°$，最后代入弧长公式即可求出路径长。
【解析】
1. 由轴对称的性质可得：$AC'=AC=3$，因此点$C'$的运动轨迹是以$A$为圆心，$AC=3$为半径的圆弧。
2. 确定圆心角：当点$D$运动到点$B$时，点$C$关于$AB$的对称点为$C'$，则$∠ C'AB=∠ BAC=50°$，因此圆弧对应的圆心角$∠ CAC'=50°+50°=100°$。
3. 代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）计算路径长：
$l=\frac{100π×3}{180}=\frac{5}{3}π$。
【答案】
$\frac{5}{3}π$
【知识点】
轴对称的性质，弧长计算，动点轨迹判断
【点评】
本题的核心是先判断出动点的运动轨迹为圆弧，再准确推导圆弧对应的圆心角和半径，最后代入公式计算，解题时需注意不要弄错圆心角的度数。
【难度系数】
0.6
解题首先要确定动点$C'$的运动轨迹：由轴对称的性质可知，无论点$D$如何运动，$AC'=AC=3$，即$C'$到定点$A$的距离始终为定值3，因此$C'$的运动路径是以$A$为圆心、$AC$长为半径的圆弧。接下来确定圆弧对应的圆心角：当$D$在点$C$时，$C'$与$C$重合；当$D$运动到点$B$时，对称轴为$AB$，由对称性质得$∠ C'AB=∠ BAC=50°$，因此圆弧对应的圆心角为$50°+50°=100°$，最后代入弧长公式即可求出路径长。
【解析】
1. 由轴对称的性质可得：$AC'=AC=3$，因此点$C'$的运动轨迹是以$A$为圆心，$AC=3$为半径的圆弧。
2. 确定圆心角：当点$D$运动到点$B$时，点$C$关于$AB$的对称点为$C'$，则$∠ C'AB=∠ BAC=50°$，因此圆弧对应的圆心角$∠ CAC'=50°+50°=100°$。
3. 代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）计算路径长：
$l=\frac{100π×3}{180}=\frac{5}{3}π$。
【答案】
$\frac{5}{3}π$
【知识点】
轴对称的性质，弧长计算，动点轨迹判断
【点评】
本题的核心是先判断出动点的运动轨迹为圆弧，再准确推导圆弧对应的圆心角和半径，最后代入公式计算，解题时需注意不要弄错圆心角的度数。
【难度系数】
0.6
9.如图,将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$120°$得到$△ A'B'C$.已知$AC=3$,$BC=2$,则线段$AB$扫过的图形(阴影部分)的面积为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
9.$\frac{5}{3}π$
解析
【分析】
本题是旋转背景下求阴影面积的问题，解题思路如下：1. 先根据旋转的性质，明确旋转前后两个三角形全等，对应旋转角相等，即∠ACA'=∠BCB'=120°，$S_{△ABC}=S_{△A'B'C}$；2. 观察阴影部分的构成，可通过割补法发现：阴影面积等于大扇形ACA'的面积减去小扇形BCB'的面积，两个三角形的面积相互抵消，不用单独计算；3. 最后代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，
∴△ABC≌△A'B'C，∠ACA'=∠BCB'=120°，
∴$S_{△ABC} = S_{△A'B'C}$，
则阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{扇形ACA'} + S_{△ABC} - S_{△A'B'C} - S_{扇形BCB'}=S_{扇形ACA'} - S_{扇形BCB'}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$（其中n为圆心角度数，R为扇形半径）：
$S_{扇形ACA'}=\frac{120π × 3^2}{360}=3π$
$S_{扇形BCB'}=\frac{120π × 2^2}{360}=\frac{4π}{3}$
∴$S_{阴影}=3π - \frac{4π}{3}=\frac{5π}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}π$
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题解题的核心是利用旋转的全等性质，将不规则阴影面积转化为两个规则扇形的面积差，简化了计算过程，是求解旋转类阴影面积问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
本题是旋转背景下求阴影面积的问题，解题思路如下：1. 先根据旋转的性质，明确旋转前后两个三角形全等，对应旋转角相等，即∠ACA'=∠BCB'=120°，$S_{△ABC}=S_{△A'B'C}$；2. 观察阴影部分的构成，可通过割补法发现：阴影面积等于大扇形ACA'的面积减去小扇形BCB'的面积，两个三角形的面积相互抵消，不用单独计算；3. 最后代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，
∴△ABC≌△A'B'C，∠ACA'=∠BCB'=120°，
∴$S_{△ABC} = S_{△A'B'C}$，
则阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{扇形ACA'} + S_{△ABC} - S_{△A'B'C} - S_{扇形BCB'}=S_{扇形ACA'} - S_{扇形BCB'}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$（其中n为圆心角度数，R为扇形半径）：
$S_{扇形ACA'}=\frac{120π × 3^2}{360}=3π$
$S_{扇形BCB'}=\frac{120π × 2^2}{360}=\frac{4π}{3}$
∴$S_{阴影}=3π - \frac{4π}{3}=\frac{5π}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}π$
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题解题的核心是利用旋转的全等性质，将不规则阴影面积转化为两个规则扇形的面积差，简化了计算过程，是求解旋转类阴影面积问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
10.如图，在半径为10的扇形OAB中，∠AOB=90°，C为$\overset{\frown}{AB}$上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E.若∠CDE=36°，则图中阴影部分的面积为
$10π$
.答案
10.$10π$
解析
【分析】
首先观察图形特征，已知扇形OAB的圆心角为90°，CD⊥OA、CE⊥OB，可先判定四边形ODEC是矩形。根据矩形的性质，可得对边平行、对角线相等且互相平分，由此推出∠COB=∠CDE=36°；再结合矩形对角线分矩形为两个面积相等的三角形的性质，利用割补法可发现阴影部分的面积等价于圆心角为36°、半径为10的扇形BOC的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OC，
∵ ∠AOB=90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴ 四边形ODEC是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
∴ DC//OB，DE=OC=10（扇形半径为10），且OC与DE互相平分，
∴ ∠CDE=∠DEO=36°（两直线平行，内错角相等），
设OC与DE交于点P，由矩形对角线平分且相等得OP=PE，
∴ ∠COB=∠DEO=36°（等边对等角），
又
∵ 矩形ODEC中，$S_{△ ODE} = S_{△ OCE}$（同高，底OD=CE，面积相等），
∴ 阴影部分面积 = 左侧阴影△ODE的面积 + 右侧阴影（扇形BOC面积 - △OCE的面积）= 扇形BOC的面积，
代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$：
$S_{阴影}=\frac{36×π×10^2}{360}=10π$
【答案】
$10π$
【知识点】
矩形的判定与性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题巧妙结合矩形性质和扇形面积公式求解阴影面积，解题核心是通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，省去了不必要的图形面积计算，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6
首先观察图形特征，已知扇形OAB的圆心角为90°，CD⊥OA、CE⊥OB，可先判定四边形ODEC是矩形。根据矩形的性质，可得对边平行、对角线相等且互相平分，由此推出∠COB=∠CDE=36°；再结合矩形对角线分矩形为两个面积相等的三角形的性质，利用割补法可发现阴影部分的面积等价于圆心角为36°、半径为10的扇形BOC的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OC，
∵ ∠AOB=90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴ 四边形ODEC是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
∴ DC//OB，DE=OC=10（扇形半径为10），且OC与DE互相平分，
∴ ∠CDE=∠DEO=36°（两直线平行，内错角相等），
设OC与DE交于点P，由矩形对角线平分且相等得OP=PE，
∴ ∠COB=∠DEO=36°（等边对等角），
又
∵ 矩形ODEC中，$S_{△ ODE} = S_{△ OCE}$（同高，底OD=CE，面积相等），
∴ 阴影部分面积 = 左侧阴影△ODE的面积 + 右侧阴影（扇形BOC面积 - △OCE的面积）= 扇形BOC的面积，
代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$：
$S_{阴影}=\frac{36×π×10^2}{360}=10π$
【答案】
$10π$
【知识点】
矩形的判定与性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题巧妙结合矩形性质和扇形面积公式求解阴影面积，解题核心是通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，省去了不必要的图形面积计算，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6
11.如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$AC$是直径，$∠ A=30°$，$BC=2$，$D$是$AB$的中点，连接$DO$并延长交$\odot O$于点$P$，过点$P$作$PF ⊥ AC$于点$F$。
(1)求$\overset{\frown}{PC}$的长；(结果保留$π$)
(2)求阴影部分的面积.(结果保留$π$)
(1)求$\overset{\frown}{PC}$的长；(结果保留$π$)
(2)求阴影部分的面积.(结果保留$π$)
答案
11.解:(1)
∵D是AB的中点,PD经过圆心,
∴PD⊥AB.
∵∠A=30°,
∴∠POC=∠AOD=60°.
∵AC是直径,∠A=30°,
∴OA=BC=2,即⊙O的半径为2,
∴$\overset{\frown}{PC}$的长为$\frac{60π×2}{180}=\frac{2}{3}π.$
(2)
∵PF⊥AC,
∴∠OPF=30°,
∴$OF=\frac{1}{2}OP=1$,
∴$PF=\sqrt{OP^2-OF^2}=\sqrt{3}$,
∴$S_{阴影}=S_{扇形OPC}-S_{△OPF}=\frac{60π×2^2}{360}-\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=$$\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2}.$
∵D是AB的中点,PD经过圆心,
∴PD⊥AB.
∵∠A=30°,
∴∠POC=∠AOD=60°.
∵AC是直径,∠A=30°,
∴OA=BC=2,即⊙O的半径为2,
∴$\overset{\frown}{PC}$的长为$\frac{60π×2}{180}=\frac{2}{3}π.$
(2)
∵PF⊥AC,
∴∠OPF=30°,
∴$OF=\frac{1}{2}OP=1$,
∴$PF=\sqrt{OP^2-OF^2}=\sqrt{3}$,
∴$S_{阴影}=S_{扇形OPC}-S_{△OPF}=\frac{60π×2^2}{360}-\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=$$\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2}.$
解析
【分析】
(1) 求$\overset{\frown}{PC}$的长需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此需要先求出$\overset{\frown}{PC}$对应的圆心角度数和$\odot O$的半径。首先根据D是AB中点且PD过圆心，由垂径定理推论可得$PD⊥ AB$，结合$∠ A=30°$可求出$∠ AOD=60°$，利用对顶角相等得到$∠ POC=60°$；再根据AC是直径可得$△ ABC$是直角三角形，结合30°角所对直角边等于斜边的一半求出直径AC的长，即可得到半径，最后代入弧长公式求解。
(2) 阴影部分为扇形OPC与$Rt△ OPF$的面积差，先根据扇形面积公式求出扇形OPC的面积，再结合$PF⊥ AC$、$∠ POC=60°$，利用直角三角形性质求出OF、PF的长，计算$△ OPF$的面积，二者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1)
∵D是AB的中点，PD经过圆心O，
∴$PD ⊥ AB$（垂径定理推论）。
∵$∠ A=30°$，
∴$∠ AOD = 90° - 30° = 60°$，
由对顶角相等得$∠ POC = ∠ AOD = 60°$。
∵AC是$\odot O$的直径，
∴$∠ ABC=90°$（直径所对圆周角为直角），
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=30°$，$BC=2$，
∴$AC=2BC=4$，即$\odot O$的半径$r=2$。
根据弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{PC}}=\frac{60π × 2}{180}=\frac{2}{3}π$。
(2)
∵$PF ⊥ AC$，
∴$∠ OFP=90°$，
在$Rt△ OPF$中，$∠ POF=60°$，
∴$∠ OPF=30°$，
∴$OF=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×2=1$，
由勾股定理得：$PF=\sqrt{OP^2-OF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
阴影部分面积为扇形OPC面积减去$△ OPF$的面积：
$S_{扇形OPC}=\frac{60π × 2^2}{360}=\frac{2}{3}π$，
$S_{△ OPF}=\frac{1}{2}× OF × PF=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$S_{阴影}=\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{PC}$的长为$\frac{2}{3}π$；
(2) 阴影部分的面积为$\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
垂径定理；弧长计算；扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是通过已知条件推导圆心角度数和圆的半径，计算不规则图形面积时常用割补法转化为规则图形的面积和差求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求$\overset{\frown}{PC}$的长需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此需要先求出$\overset{\frown}{PC}$对应的圆心角度数和$\odot O$的半径。首先根据D是AB中点且PD过圆心，由垂径定理推论可得$PD⊥ AB$，结合$∠ A=30°$可求出$∠ AOD=60°$，利用对顶角相等得到$∠ POC=60°$；再根据AC是直径可得$△ ABC$是直角三角形，结合30°角所对直角边等于斜边的一半求出直径AC的长，即可得到半径，最后代入弧长公式求解。
(2) 阴影部分为扇形OPC与$Rt△ OPF$的面积差，先根据扇形面积公式求出扇形OPC的面积，再结合$PF⊥ AC$、$∠ POC=60°$，利用直角三角形性质求出OF、PF的长，计算$△ OPF$的面积，二者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1)
∵D是AB的中点，PD经过圆心O，
∴$PD ⊥ AB$（垂径定理推论）。
∵$∠ A=30°$，
∴$∠ AOD = 90° - 30° = 60°$，
由对顶角相等得$∠ POC = ∠ AOD = 60°$。
∵AC是$\odot O$的直径，
∴$∠ ABC=90°$（直径所对圆周角为直角），
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=30°$，$BC=2$，
∴$AC=2BC=4$，即$\odot O$的半径$r=2$。
根据弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{PC}}=\frac{60π × 2}{180}=\frac{2}{3}π$。
(2)
∵$PF ⊥ AC$，
∴$∠ OFP=90°$，
在$Rt△ OPF$中，$∠ POF=60°$，
∴$∠ OPF=30°$，
∴$OF=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×2=1$，
由勾股定理得：$PF=\sqrt{OP^2-OF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
阴影部分面积为扇形OPC面积减去$△ OPF$的面积：
$S_{扇形OPC}=\frac{60π × 2^2}{360}=\frac{2}{3}π$，
$S_{△ OPF}=\frac{1}{2}× OF × PF=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$S_{阴影}=\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{PC}$的长为$\frac{2}{3}π$；
(2) 阴影部分的面积为$\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
垂径定理；弧长计算；扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是通过已知条件推导圆心角度数和圆的半径，计算不规则图形面积时常用割补法转化为规则图形的面积和差求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
