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1.(2025·绥化)在$\odot O$中,如果$75°$的圆心角所对的弧长是$2.5π$ cm,那么$\odot O$的半径是（
A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
A
）A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查弧长公式的应用，解题思路如下：首先回忆弧长计算公式，明确公式中弧长$l$、圆心角度数$n$、半径$r$三个量的对应关系；题目已经给出圆心角$n=75°$、对应弧长$l=2.5π$cm，只有半径$r$是未知量，因此将已知量代入弧长公式，得到关于$r$的一元一次方程，解方程即可求出半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$ cm，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$l$为对应弧长），将$n=75$，$l=2.5π$代入公式得：
$2.5π=\frac{75π r}{180}$
两边同时约去$π$，可得：
$2.5=\frac{75r}{180}$
化简计算：
$75r=2.5×180$
$75r=450$
$r=6$
即$\odot O$的半径为6 cm。
【答案】
A
【知识点】
弧长公式；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心是对弧长公式的掌握，只要熟记公式、明确各量的对应关系，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查弧长公式的应用，解题思路如下：首先回忆弧长计算公式，明确公式中弧长$l$、圆心角度数$n$、半径$r$三个量的对应关系；题目已经给出圆心角$n=75°$、对应弧长$l=2.5π$cm，只有半径$r$是未知量，因此将已知量代入弧长公式，得到关于$r$的一元一次方程，解方程即可求出半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$ cm，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$l$为对应弧长），将$n=75$，$l=2.5π$代入公式得：
$2.5π=\frac{75π r}{180}$
两边同时约去$π$，可得：
$2.5=\frac{75r}{180}$
化简计算：
$75r=2.5×180$
$75r=450$
$r=6$
即$\odot O$的半径为6 cm。
【答案】
A
【知识点】
弧长公式；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心是对弧长公式的掌握，只要熟记公式、明确各量的对应关系，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.9
2.(2025·徐州沛县二模)扇形的半径为3，弧长为2π，则扇形的面积为
3π
(结果保留π).答案
2.$3π$
解析
【分析】
要计算扇形的面积，首先回忆扇形面积的两种计算公式：①$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）；②$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为半径）。题目已经直接给出弧长和半径，不需要额外求解圆心角，所以选择第二个公式计算更简便，只需将已知的弧长和半径代入公式即可算出结果。
【解析】
已知扇形的半径$r=3$，弧长$l=2π$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$，代入数值计算：
$S_{扇形}=\frac{1}{2} × 2π × 3 = 3π$
【答案】
$3π$
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题，考查扇形面积公式的灵活运用，解题时根据已知条件选择合适的公式可简化计算过程，减少计算量。
【难度系数】
0.9
要计算扇形的面积，首先回忆扇形面积的两种计算公式：①$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）；②$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为半径）。题目已经直接给出弧长和半径，不需要额外求解圆心角，所以选择第二个公式计算更简便，只需将已知的弧长和半径代入公式即可算出结果。
【解析】
已知扇形的半径$r=3$，弧长$l=2π$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$，代入数值计算：
$S_{扇形}=\frac{1}{2} × 2π × 3 = 3π$
【答案】
$3π$
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题，考查扇形面积公式的灵活运用，解题时根据已知条件选择合适的公式可简化计算过程，减少计算量。
【难度系数】
0.9
3.如图，点A,B,C在半径为1的⊙O上，∠ACB=70°，则$\overset{\frown}{AB}$的长等于
$\frac{7π}{9}$
。答案
3.$\frac{7π}{9}$
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{AB}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径）。已知圆的半径$r=1$，因此关键是求出$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角的度数。根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合已知的圆周角$∠ ACB=70°$，即可求出对应的圆心角度数，再代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：
∵$∠ ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角
∴根据圆周角定理可得：$∠ AOB=2∠ ACB=2×70°=140°$
又
∵⊙O的半径$r=1$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπr}{180}=\frac{140× π×1}{180}=\frac{7π}{9}$
【答案】
$\frac{7π}{9}$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆周角定理和弧长公式的应用，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆心角和圆周角的数量关系，牢记弧长计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算$\overset{\frown}{AB}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径）。已知圆的半径$r=1$，因此关键是求出$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角的度数。根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合已知的圆周角$∠ ACB=70°$，即可求出对应的圆心角度数，再代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：
∵$∠ ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角
∴根据圆周角定理可得：$∠ AOB=2∠ ACB=2×70°=140°$
又
∵⊙O的半径$r=1$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπr}{180}=\frac{140× π×1}{180}=\frac{7π}{9}$
【答案】
$\frac{7π}{9}$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆周角定理和弧长公式的应用，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆心角和圆周角的数量关系，牢记弧长计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$，垂足为E，且$∠ ODE=30°$，$BE=1$，则图中阴影部分的面积为________。
答案
4.$\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求阴影部分（弓形BC）的面积，可采用割补法，转化为扇形OBC的面积减去△OBC的面积求解。首先结合CD⊥AB、∠ODE=30°的条件，在Rt△ODE中利用30°角直角三角形的性质列方程求出圆的半径，再推导得到圆心角∠BOC的度数，最后分别计算扇形和三角形的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OB=r$，
$\because BE=1$，$\therefore OE=OB-BE=r-1$，
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ OED=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$∠ ODE=30°$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD$，即$r-1=\frac{1}{2}r$，解得$r=2$，
$\therefore OD=OB=OC=2$，$OE=2-1=1$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$∠ DOE=90°-30°=60°$，
根据垂径定理，$AB$垂直平分$CD$，且平分$∠ COD$，
$\therefore ∠ COB=∠ DOE=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
$\therefore$扇形$OBC$的面积：$S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{60°}{360°}×π×2^2=\frac{2π}{3}$，
$△ OBC$的面积：$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OB× CE=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
$\therefore$阴影部分面积$=S_{\mathrm{扇形}OBC}-S_{△ OBC}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，扇形面积计算，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆中阴影面积计算的常规题型，核心是通过割补法将不规则的弓形面积转化为规则的扇形与三角形的面积差，解题的关键是结合直角三角形的性质求出圆的半径和对应圆心角的度数，需要熟练掌握垂径定理和扇形面积公式。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分（弓形BC）的面积，可采用割补法，转化为扇形OBC的面积减去△OBC的面积求解。首先结合CD⊥AB、∠ODE=30°的条件，在Rt△ODE中利用30°角直角三角形的性质列方程求出圆的半径，再推导得到圆心角∠BOC的度数，最后分别计算扇形和三角形的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OB=r$，
$\because BE=1$，$\therefore OE=OB-BE=r-1$，
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ OED=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$∠ ODE=30°$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD$，即$r-1=\frac{1}{2}r$，解得$r=2$，
$\therefore OD=OB=OC=2$，$OE=2-1=1$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$∠ DOE=90°-30°=60°$，
根据垂径定理，$AB$垂直平分$CD$，且平分$∠ COD$，
$\therefore ∠ COB=∠ DOE=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
$\therefore$扇形$OBC$的面积：$S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{60°}{360°}×π×2^2=\frac{2π}{3}$，
$△ OBC$的面积：$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OB× CE=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
$\therefore$阴影部分面积$=S_{\mathrm{扇形}OBC}-S_{△ OBC}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，扇形面积计算，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆中阴影面积计算的常规题型，核心是通过割补法将不规则的弓形面积转化为规则的扇形与三角形的面积差，解题的关键是结合直角三角形的性质求出圆的半径和对应圆心角的度数，需要熟练掌握垂径定理和扇形面积公式。
【难度系数】
0.6
5. 如图，平面直角坐标系中有一条圆心角为$90°$的圆弧，圆弧所在圆的圆心为点$M$，该圆弧经过网格点$A(0,4)$，$B(-4,4)$，$C(-6,2)$。
(1)点$M$的坐标为
(2)求$\overset{\frown}{AC}$的长；
(3)求扇形$MAC$的面积。
(1)点$M$的坐标为
$(-2,0)$
；(2)求$\overset{\frown}{AC}$的长；
(3)求扇形$MAC$的面积。
答案
5.(1)$(-2,0)$
(2)解:连接MA. 在Rt△MOA中,由勾股定理,得圆弧所在圆的半径$MA=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,
$\therefore l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{90}{180}×π×2\sqrt{5}=\sqrt{5}π.$
(3)解:$S_{扇形MAC}=\frac{90}{360}×π×(2\sqrt{5})^2=5π.$
(2)解:连接MA. 在Rt△MOA中,由勾股定理,得圆弧所在圆的半径$MA=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,
$\therefore l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{90}{180}×π×2\sqrt{5}=\sqrt{5}π.$
(3)解:$S_{扇形MAC}=\frac{90}{360}×π×(2\sqrt{5})^2=5π.$
解析
【分析】
(1) 找圆弧所在圆的圆心，需利用“圆心到圆上各点距离相等，且在弦的垂直平分线上”的性质：先看弦AB，A、B纵坐标相同，AB是水平线段，它的垂直平分线是过AB中点的竖直线，可先得到圆心所在直线；再设圆心坐标，利用圆心到A、C距离相等列方程求解即可得到M的坐标。
(2) 求弧长需先求出圆的半径和弧所对的圆心角，已知圆心角为90°，先利用勾股定理求出半径MA，再代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$计算即可。
(3) 求扇形面积，已知圆心角和半径，直接代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$计算即可。
【解析】
(1) 已知点A(0,4)，B(-4,4)，两点纵坐标相同，故线段AB为水平线段，AB的中点横坐标为$\frac{0+(-4)}{2}=-2$，因此AB的垂直平分线为直线$x=-2$，即圆心M在直线$x=-2$上。
设点M的坐标为$(-2,m)$，由MA=MC（均为圆的半径），可得：
$MA^2=MC^2$
代入坐标得：$(0+2)^2+(4-m)^2=(-6+2)^2+(2-m)^2$
展开计算：$4+(4-m)^2=16+(2-m)^2$
$4+16-8m+m^2=16+4-4m+m^2$
化简得：$-8m=-4m$，解得$m=0$
因此点M的坐标为$(-2,0)$。
(2) 连接MA，在$Rt△ MOA$中，$OM=2$，$OA=4$，由勾股定理得半径：
$MA=\sqrt{OM^2+OA^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$
已知弧AC所对的圆心角为$90°$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{90×π×2\sqrt{5}}{180}=\sqrt{5}π$
(3) 代入扇形面积公式：
$S_{扇形MAC}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{90×π×(2\sqrt{5})^2}{360}=\frac{1}{4}×π×20=5π$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-2,0)}$
(2) $\boldsymbol{\sqrt{5}π}$
(3) $\boldsymbol{5π}$
【知识点】
垂径定理的应用，弧长的计算，扇形面积的计算
【点评】
本题核心是先确定圆心坐标，再结合勾股定理得到半径，最后代入对应公式计算，解题关键是熟记弦的垂直平分线过圆心的性质，以及弧长、扇形面积的计算公式，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 找圆弧所在圆的圆心，需利用“圆心到圆上各点距离相等，且在弦的垂直平分线上”的性质：先看弦AB，A、B纵坐标相同，AB是水平线段，它的垂直平分线是过AB中点的竖直线，可先得到圆心所在直线；再设圆心坐标，利用圆心到A、C距离相等列方程求解即可得到M的坐标。
(2) 求弧长需先求出圆的半径和弧所对的圆心角，已知圆心角为90°，先利用勾股定理求出半径MA，再代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$计算即可。
(3) 求扇形面积，已知圆心角和半径，直接代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$计算即可。
【解析】
(1) 已知点A(0,4)，B(-4,4)，两点纵坐标相同，故线段AB为水平线段，AB的中点横坐标为$\frac{0+(-4)}{2}=-2$，因此AB的垂直平分线为直线$x=-2$，即圆心M在直线$x=-2$上。
设点M的坐标为$(-2,m)$，由MA=MC（均为圆的半径），可得：
$MA^2=MC^2$
代入坐标得：$(0+2)^2+(4-m)^2=(-6+2)^2+(2-m)^2$
展开计算：$4+(4-m)^2=16+(2-m)^2$
$4+16-8m+m^2=16+4-4m+m^2$
化简得：$-8m=-4m$，解得$m=0$
因此点M的坐标为$(-2,0)$。
(2) 连接MA，在$Rt△ MOA$中，$OM=2$，$OA=4$，由勾股定理得半径：
$MA=\sqrt{OM^2+OA^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$
已知弧AC所对的圆心角为$90°$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{90×π×2\sqrt{5}}{180}=\sqrt{5}π$
(3) 代入扇形面积公式：
$S_{扇形MAC}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{90×π×(2\sqrt{5})^2}{360}=\frac{1}{4}×π×20=5π$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-2,0)}$
(2) $\boldsymbol{\sqrt{5}π}$
(3) $\boldsymbol{5π}$
【知识点】
垂径定理的应用，弧长的计算，扇形面积的计算
【点评】
本题核心是先确定圆心坐标，再结合勾股定理得到半径，最后代入对应公式计算，解题关键是熟记弦的垂直平分线过圆心的性质，以及弧长、扇形面积的计算公式，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
6.(2025·南京三模)如图,将等边△ABC的边AC逐渐变成以点B为圆心、BA长为半径的$\overset{\frown}{AC}$,长度不变,AB,BC的长度也不变,则∠ABC的度数大小由$60°$变为 (
A.$(\dfrac{60}{π})°$
B.$(\dfrac{90}{π})°$
C.$(\dfrac{120}{π})°$
D.$(\dfrac{180}{π})°$
D
)A.$(\dfrac{60}{π})°$
B.$(\dfrac{90}{π})°$
C.$(\dfrac{120}{π})°$
D.$(\dfrac{180}{π})°$
答案
6.D
解析
【分析】
首先，等边△ABC三边相等，可知AC的长度等于AB的长度，我们可以设等边三角形的边长为r。变形后弧AC的长度和原AC的长度相等，且弧AC以B为圆心、BA为半径，半径长度也为r，所求的∠ABC就是该弧对应的圆心角。接下来我们可以利用弧长公式建立关于圆心角度数的方程，求解即可得到结果。
【解析】
设等边△ABC的边长为r，则AB=AC=r。
设变化后∠ABC的度数为n°，由题意可知，弧AC的长度等于原AC的长度，即弧长l=r，且弧AC所在圆的半径R=AB=r。
根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $，将l=r、R=r代入得：
$ r=\frac{nπ r}{180} $
由于r≠0，两边同时除以r可得：
$ 1=\frac{nπ}{180} $
解得$ n=\frac{180}{π} $，即∠ABC的度数变为$(\frac{180}{π})°$。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，弧长公式
【点评】
本题是几何图形变形类计算题，核心是抓住变形前后线段AC的长度与弧AC的长度相等这一不变量，结合弧长公式建立等量关系求解，难度不大，主要考查对基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先，等边△ABC三边相等，可知AC的长度等于AB的长度，我们可以设等边三角形的边长为r。变形后弧AC的长度和原AC的长度相等，且弧AC以B为圆心、BA为半径，半径长度也为r，所求的∠ABC就是该弧对应的圆心角。接下来我们可以利用弧长公式建立关于圆心角度数的方程，求解即可得到结果。
【解析】
设等边△ABC的边长为r，则AB=AC=r。
设变化后∠ABC的度数为n°，由题意可知，弧AC的长度等于原AC的长度，即弧长l=r，且弧AC所在圆的半径R=AB=r。
根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $，将l=r、R=r代入得：
$ r=\frac{nπ r}{180} $
由于r≠0，两边同时除以r可得：
$ 1=\frac{nπ}{180} $
解得$ n=\frac{180}{π} $，即∠ABC的度数变为$(\frac{180}{π})°$。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，弧长公式
【点评】
本题是几何图形变形类计算题，核心是抓住变形前后线段AC的长度与弧AC的长度相等这一不变量，结合弧长公式建立等量关系求解，难度不大，主要考查对基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
