8.一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（）

A.27倍
B.14倍
C.9倍
D.3倍

8.B

9.(南京期中)如图,两个正六边形的顶点A,B,C,D都在圆上.若AB=2,则该圆的半径为.

9.$\sqrt{13}$

10.如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度$b=3\ \mathrm{cm}$,则螺帽边长$a=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}.$

10.$\sqrt{3}$

11.(2025·徐州一模)如图，$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$，正方形ABCD内接于$\odot O$，点E在$\overset{\frown}{ADC}$上运动，连接BE，作$AF⊥ BE$，垂足为F，连接CF，则CF长的最小值为。

11.$\sqrt{5}-1$

12.如图,中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t(s).
(1)求证:四边形PBQE为平行四边形;
(2)当四边形PBQE为矩形时,求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比.

12.(1)证明:
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F.
∵点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动，
∴AP=DQ=t,PF=QC=6−t.
在△ABP和△DEQ中,$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠A=∠D, \\ AP=DQ, \end{cases}$
∴△ABP≌△DEQ(SAS),
∴BP=EQ,
同理可证PE=QB,
∴四边形PBQE为平行四边形.
(2)解:如答图①,连接BE,OA,则∠AOB=$\frac{360°}{6}=60°$.

∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=6,BE=2OB=12.
当t=0时,点P与点A重合,点Q与点D重合,四边形PBQE即为四边形ABDE,如答图①所示，
则∠EAF=∠AEF=30°，
∴∠BAE=∠BAF−∠FAE=120°−30°=90°,
此时四边形ABDE是矩形,即四边形PBQE是矩形.
当t=6时,点P与点F重合,点Q与点C重合,四边形PBQE即为四边形FBCE,如答图②所示，
同法可知∠BFE=90°,此时四边形PBQE是矩形.
综上所述,当t=0或t=6时,四边形PBQE是矩形，
则AE=$\sqrt{12^2−6^2}=6\sqrt{3}$，
∴矩形PBQE的面积=矩形ABDE的面积=AB×AE=6×6$\sqrt{3}$=36$\sqrt{3}$.
∵正六边形ABCDEF的面积=6△AOB的面积=6×$\frac{1}{4}$矩形ABDE的面积=6×$\frac{1}{4}$×36$\sqrt{3}$=54$\sqrt{3}$，
∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比为$\frac{2}{3}$.

13.(1)如图①，$△ ABC$是$\odot O$的内接正三角形，$P$为劣弧$\overset{\frown}{BC}$上一动点.求证:$PA=PB+PC$；
(2)如图②，四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形，$P$为劣弧$\overset{\frown}{BC}$上一动点.求证:$PA=PC+\sqrt{2}PB$.

13.证明:(1)如答图①,延长BP至点E,使PE=PC,连接CE.
∵A,B,P,C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC=180°.
∵∠BPC+∠EPC=180°,
∴∠BAC=∠CPE=60°.
∵PE=PC,
∴△PCE是等边三角形，
∴CE=PC,∠E=60°.
又
∵∠BCE=60°+∠BCP,∠ACP=60°+∠BCP,
∴∠BCE=∠ACP.
∵△ABC,△ECP为等边三角形，
∴CE=PC,AC=BC.
在△BEC和△APC中,$\begin{cases} EC=PC, \\ ∠BCE=∠ACP, \\ BC=AC, \end{cases}$
∴△BEC≌△APC(SAS)，
∴PA=BE=BP+PE=PB+PC.

(2)如答图②,过点B作BE⊥PB交PA于点E,连接OA,OB.
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3.
∵∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°,
∴BP=BE，
∴PE=$\sqrt{2}$PB.
在△ABE和△CBP中,$\begin{cases} BE=BP, \\ ∠1=∠3, \\ AB=CB, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBP(SAS),
∴AE=CP，
∴PA=AE+PE=PC+$\sqrt{2}$PB.