登录
3. 如果 $a＜-\dfrac{5}{6}$，那么 $a$ ______ $-\dfrac{4}{5}$.（填“＞”“＜”或“=”）
答案
3.＜
解析
【分析】
要判断a与$-\dfrac{4}{5}$的大小，首先需先比较$-\dfrac{5}{6}$和$-\dfrac{4}{5}$的大小，再结合已知$a＜-\dfrac{5}{6}$推导结果。解题思路如下：第一步，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”的规则，通过通分计算两个负数的绝对值，确定$-\dfrac{5}{6}$和$-\dfrac{4}{5}$的大小关系；第二步，利用不等式的传递性，结合已知$a＜-\dfrac{5}{6}$，即可得到a和$-\dfrac{4}{5}$的大小关系。
【解析】
1. 先比较$-\dfrac{5}{6}$和$-\dfrac{4}{5}$的大小：
计算两个数的绝对值：$\left|-\dfrac{5}{6}\right|=\dfrac{5}{6}=\dfrac{25}{30}$，$\left|-\dfrac{4}{5}\right|=\dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{30}$
因为$\dfrac{25}{30}＞\dfrac{24}{30}$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得$-\dfrac{5}{6}＜-\dfrac{4}{5}$。
2. 已知$a＜-\dfrac{5}{6}$，结合上述结论，根据不等式的传递性可得：$a＜-\dfrac{5}{6}＜-\dfrac{4}{5}$，因此$a＜-\dfrac{4}{5}$。
【答案】
＜
【知识点】
负数大小比较；不等式的基本性质
【点评】
本题是基础的大小比较类题目，解题核心是熟练掌握负数比较大小的规则，避免与正数比较大小的逻辑混淆，再结合不等式的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要判断a与$-\dfrac{4}{5}$的大小，首先需先比较$-\dfrac{5}{6}$和$-\dfrac{4}{5}$的大小，再结合已知$a＜-\dfrac{5}{6}$推导结果。解题思路如下：第一步，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”的规则，通过通分计算两个负数的绝对值，确定$-\dfrac{5}{6}$和$-\dfrac{4}{5}$的大小关系；第二步，利用不等式的传递性，结合已知$a＜-\dfrac{5}{6}$，即可得到a和$-\dfrac{4}{5}$的大小关系。
【解析】
1. 先比较$-\dfrac{5}{6}$和$-\dfrac{4}{5}$的大小：
计算两个数的绝对值：$\left|-\dfrac{5}{6}\right|=\dfrac{5}{6}=\dfrac{25}{30}$，$\left|-\dfrac{4}{5}\right|=\dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{30}$
因为$\dfrac{25}{30}＞\dfrac{24}{30}$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得$-\dfrac{5}{6}＜-\dfrac{4}{5}$。
2. 已知$a＜-\dfrac{5}{6}$，结合上述结论，根据不等式的传递性可得：$a＜-\dfrac{5}{6}＜-\dfrac{4}{5}$，因此$a＜-\dfrac{4}{5}$。
【答案】
＜
【知识点】
负数大小比较；不等式的基本性质
【点评】
本题是基础的大小比较类题目，解题核心是熟练掌握负数比较大小的规则，避免与正数比较大小的逻辑混淆，再结合不等式的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4. 在$-2,-1,0,\frac{1}{2},-3,-4$中，是$x+2=0$的解；是$x+2＞0$的解；是$x+2＜0$的解。
答案
解：
解方程$x+2=0$，得$x=-2$，因此在所给数中，$\boldsymbol{-2}$是$x+2=0$的解；
解不等式$x+2＞0$，得$x＞-2$，在所给数中满足$x＞-2$的数为$-1,0,\frac{1}{2}$，因此$\boldsymbol{-1,0,\frac{1}{2}}$是$x+2＞0$的解；
解不等式$x+2＜0$，得$x＜-2$，在所给数中满足$x＜-2$的数为$-3,-4$，因此$\boldsymbol{-3,-4}$是$x+2＜0$的解。
解方程$x+2=0$，得$x=-2$，因此在所给数中，$\boldsymbol{-2}$是$x+2=0$的解；
解不等式$x+2＞0$，得$x＞-2$，在所给数中满足$x＞-2$的数为$-1,0,\frac{1}{2}$，因此$\boldsymbol{-1,0,\frac{1}{2}}$是$x+2＞0$的解；
解不等式$x+2＜0$，得$x＜-2$，在所给数中满足$x＜-2$的数为$-3,-4$，因此$\boldsymbol{-3,-4}$是$x+2＜0$的解。
解析
【分析】
解题时先明确核心思路：方程的解是能使等式成立的未知数的值，不等式的解是能使不等式成立的未知数的值。我们先分别求解出方程$x+2=0$、不等式$x+2＞0$、$x+2＜0$中$x$的取值要求，再将题目给出的数逐一比对，筛选出符合条件的数即可。
【解析】
1. 求解方程$x+2=0$：
移项可得$x=-2$，因此在给出的数中，$-2$是$x+2=0$的解。
2. 求解不等式$x+2＞0$：
移项可得$x＞-2$，在$-2,-1,0,\frac{1}{2},-3,-4$中，满足$x＞-2$的数为$-1,0,\frac{1}{2}$，因此这三个数是$x+2＞0$的解。
3. 求解不等式$x+2＜0$：
移项可得$x＜-2$，在给出的数中，满足$x＜-2$的数为$-3,-4$，因此这两个数是$x+2＜0$的解。
【答案】
$-2$；$-1,0,\frac{1}{2}$；$-3,-4$
【知识点】
一元一次方程求解；一元一次不等式求解；有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，主要考察方程解和不等式解的概念，掌握移项求解的方法、能正确比较有理数大小即可解题，注意筛选数的时候不要漏选或错选。
【难度系数】
0.9
解题时先明确核心思路：方程的解是能使等式成立的未知数的值，不等式的解是能使不等式成立的未知数的值。我们先分别求解出方程$x+2=0$、不等式$x+2＞0$、$x+2＜0$中$x$的取值要求，再将题目给出的数逐一比对，筛选出符合条件的数即可。
【解析】
1. 求解方程$x+2=0$：
移项可得$x=-2$，因此在给出的数中，$-2$是$x+2=0$的解。
2. 求解不等式$x+2＞0$：
移项可得$x＞-2$，在$-2,-1,0,\frac{1}{2},-3,-4$中，满足$x＞-2$的数为$-1,0,\frac{1}{2}$，因此这三个数是$x+2＞0$的解。
3. 求解不等式$x+2＜0$：
移项可得$x＜-2$，在给出的数中，满足$x＜-2$的数为$-3,-4$，因此这两个数是$x+2＜0$的解。
【答案】
$-2$；$-1,0,\frac{1}{2}$；$-3,-4$
【知识点】
一元一次方程求解；一元一次不等式求解；有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，主要考察方程解和不等式解的概念，掌握移项求解的方法、能正确比较有理数大小即可解题，注意筛选数的时候不要漏选或错选。
【难度系数】
0.9
5. 请给不等式$x+y≥0$赋予一个实际背景：.
答案
解：某商店第一天的利润为x元，第二天的利润为y元，若利润为负表示对应天数亏损，则这两天的总利润不小于0元。
（答案不唯一，合理即可）
（答案不唯一，合理即可）
解析
【分析】
这是一道开放类题目，要求为二元一次不等式$x+y≥0$匹配合理的实际场景，解题可按三步思考：第一步确定两个同类型、可正可负的实际量分别对应$x$和$y$，要明确负值对应的实际含义（如负利润代表亏损）；第二步明确$x+y$是两个量的总和；第三步把$≥0$转化为日常表述，比如“不小于0”“没有亏损”等，三部分结合就能得到合理的实际背景。
【解析】
我们可以用经营利润场景举例：首先设$x$表示某商店第一天的利润（单位：元），$y$表示该商店第二天的利润（单位：元），规定利润为负时代表当天亏损，那么$x+y$就表示两天的总利润，$x+y≥0$的实际含义就是这两天的总利润不小于0元。除此之外还可以构造零花钱结余、运动得分扣分等其他场景，只要逻辑通顺都符合要求。
【答案】
某商店第一天的利润为x元，第二天的利润为y元，若利润为负表示对应天数亏损，则这两天的总利润不小于0元。（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
二元一次不等式的意义；不等式的实际应用
【点评】
本题为开放性试题，核心考查对不等式代数含义的理解，以及将数学知识和生活实际结合应用的能力，没有固定标准答案，表述符合逻辑、满足不等式的数量关系即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道开放类题目，要求为二元一次不等式$x+y≥0$匹配合理的实际场景，解题可按三步思考：第一步确定两个同类型、可正可负的实际量分别对应$x$和$y$，要明确负值对应的实际含义（如负利润代表亏损）；第二步明确$x+y$是两个量的总和；第三步把$≥0$转化为日常表述，比如“不小于0”“没有亏损”等，三部分结合就能得到合理的实际背景。
【解析】
我们可以用经营利润场景举例：首先设$x$表示某商店第一天的利润（单位：元），$y$表示该商店第二天的利润（单位：元），规定利润为负时代表当天亏损，那么$x+y$就表示两天的总利润，$x+y≥0$的实际含义就是这两天的总利润不小于0元。除此之外还可以构造零花钱结余、运动得分扣分等其他场景，只要逻辑通顺都符合要求。
【答案】
某商店第一天的利润为x元，第二天的利润为y元，若利润为负表示对应天数亏损，则这两天的总利润不小于0元。（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
二元一次不等式的意义；不等式的实际应用
【点评】
本题为开放性试题，核心考查对不等式代数含义的理解，以及将数学知识和生活实际结合应用的能力，没有固定标准答案，表述符合逻辑、满足不等式的数量关系即可得分。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 请先阅读解题过程,再解决问题.
例:已知$n＜0$,试比较$m-\frac{1}{2}n$与$m-\frac{1}{5}n$的大小.
解:因为$-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{5},n＜0$,
所以根据不等式的基本性质3,得$-\frac{1}{2}n＜-\frac{1}{5}n$. ……………………………第一步
所以根据不等式的基本性质1,得$m-\frac{1}{2}n＜m-\frac{1}{5}n$. ……………………………第二步
(1)上述解题过程中,从第步开始出现错误,错误的原因是.
(2)请写出正确的解题过程.
1. 请先阅读解题过程,再解决问题.
例:已知$n＜0$,试比较$m-\frac{1}{2}n$与$m-\frac{1}{5}n$的大小.
解:因为$-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{5},n＜0$,
所以根据不等式的基本性质3,得$-\frac{1}{2}n＜-\frac{1}{5}n$. ……………………………第一步
所以根据不等式的基本性质1,得$m-\frac{1}{2}n＜m-\frac{1}{5}n$. ……………………………第二步
(1)上述解题过程中,从第步开始出现错误,错误的原因是.
(2)请写出正确的解题过程.
答案
解：
(1) 一；不等式两边同时乘同一个负数，不等号的方向没有改变，违背了不等式的基本性质3
(2) 正确解题过程：
因为$-\frac{1}{2} ＜ -\frac{1}{5}$，$n＜0$，
所以根据不等式的基本性质3，得$-\frac{1}{2}n ＞ -\frac{1}{5}n$，
所以根据不等式的基本性质1，得$m-\frac{1}{2}n ＞ m-\frac{1}{5}n$。
(1) 一；不等式两边同时乘同一个负数，不等号的方向没有改变，违背了不等式的基本性质3
(2) 正确解题过程：
因为$-\frac{1}{2} ＜ -\frac{1}{5}$，$n＜0$，
所以根据不等式的基本性质3，得$-\frac{1}{2}n ＞ -\frac{1}{5}n$，
所以根据不等式的基本性质1，得$m-\frac{1}{2}n ＞ m-\frac{1}{5}n$。
解析
【分析】
本题主要围绕不等式基本性质的应用展开，解题思路如下：首先回忆不等式的核心性质，尤其是性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。首先分析例题的解题步骤，第一步是给不等式$-\frac{1}{2} ＜ -\frac{1}{5}$两边同时乘负数$n$，此时需要改变不等号方向，但原题第一步未调整不等号方向，因此可确定错误步骤及原因；第二问正确解题时，先严格遵循性质3得到$-\frac{1}{2}n$与$-\frac{1}{5}n$的大小关系，再根据性质1，不等式两边同时加同一个数$m$，不等号方向不变，即可得到两个代数式的正确大小关系。
【解析】
(1) 观察解题第一步：已知$-\frac{1}{2} ＜ -\frac{1}{5}$，$n＜0$，给不等式两边同时乘负数$n$，根据不等式基本性质3，不等号方向应改变，正确结果应为$-\frac{1}{2}n ＞ -\frac{1}{5}n$，但原题第一步写为$-\frac{1}{2}n ＜ -\frac{1}{5}n$，因此从第一步开始出错，错误原因是不等式两边同时乘同一个负数时，不等号的方向没有改变，违背了不等式的基本性质3。
(2) 正确解题过程：
因为$-\frac{1}{2} ＜ -\frac{1}{5}$，$n＜0$，
所以根据不等式的基本性质3，不等式两边同时乘负数$n$，不等号方向改变，得$-\frac{1}{2}n ＞ -\frac{1}{5}n$，
所以根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加$m$，不等号方向不变，得$m-\frac{1}{2}n ＞ m-\frac{1}{5}n$。
【答案】
(1) 一；不等式两边同时乘同一个负数，不等号的方向没有改变，违背了不等式的基本性质3
(2) 正确解题过程：
因为$-\frac{1}{2} ＜ -\frac{1}{5}$，$n＜0$，
所以根据不等式的基本性质3，得$-\frac{1}{2}n ＞ -\frac{1}{5}n$，
所以根据不等式的基本性质1，得$m-\frac{1}{2}n ＞ m-\frac{1}{5}n$。
【知识点】
不等式的基本性质，代数式大小比较
【点评】
本题是不等式性质的基础易错题，核心易错点是容易忽略不等式乘除负数时不等号需要变向的规则，解题时要先判断运算中涉及的数的正负性，再确定不等号方向是否需要调整，有助于加深对不等式性质的理解。
【难度系数】
0.7
本题主要围绕不等式基本性质的应用展开，解题思路如下：首先回忆不等式的核心性质，尤其是性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。首先分析例题的解题步骤，第一步是给不等式$-\frac{1}{2} ＜ -\frac{1}{5}$两边同时乘负数$n$，此时需要改变不等号方向，但原题第一步未调整不等号方向，因此可确定错误步骤及原因；第二问正确解题时，先严格遵循性质3得到$-\frac{1}{2}n$与$-\frac{1}{5}n$的大小关系，再根据性质1，不等式两边同时加同一个数$m$，不等号方向不变，即可得到两个代数式的正确大小关系。
【解析】
(1) 观察解题第一步：已知$-\frac{1}{2} ＜ -\frac{1}{5}$，$n＜0$，给不等式两边同时乘负数$n$，根据不等式基本性质3，不等号方向应改变，正确结果应为$-\frac{1}{2}n ＞ -\frac{1}{5}n$，但原题第一步写为$-\frac{1}{2}n ＜ -\frac{1}{5}n$，因此从第一步开始出错，错误原因是不等式两边同时乘同一个负数时，不等号的方向没有改变，违背了不等式的基本性质3。
(2) 正确解题过程：
因为$-\frac{1}{2} ＜ -\frac{1}{5}$，$n＜0$，
所以根据不等式的基本性质3，不等式两边同时乘负数$n$，不等号方向改变，得$-\frac{1}{2}n ＞ -\frac{1}{5}n$，
所以根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加$m$，不等号方向不变，得$m-\frac{1}{2}n ＞ m-\frac{1}{5}n$。
【答案】
(1) 一；不等式两边同时乘同一个负数，不等号的方向没有改变，违背了不等式的基本性质3
(2) 正确解题过程：
因为$-\frac{1}{2} ＜ -\frac{1}{5}$，$n＜0$，
所以根据不等式的基本性质3，得$-\frac{1}{2}n ＞ -\frac{1}{5}n$，
所以根据不等式的基本性质1，得$m-\frac{1}{2}n ＞ m-\frac{1}{5}n$。
【知识点】
不等式的基本性质，代数式大小比较
【点评】
本题是不等式性质的基础易错题，核心易错点是容易忽略不等式乘除负数时不等号需要变向的规则，解题时要先判断运算中涉及的数的正负性，再确定不等号方向是否需要调整，有助于加深对不等式性质的理解。
【难度系数】
0.7
2. 将下列不等式化成“$x＞a$”或“$x＜a$”的形式.
(1) $-\dfrac{3}{2}x＞60$.
(2) $-2x+3＜3x+2$.
(1) $-\dfrac{3}{2}x＞60$.
(2) $-2x+3＜3x+2$.
答案
解：
(1) 不等式两边同时乘$-\dfrac{2}{3}$，不等号方向改变，得
$x ＜ 60×(-\dfrac{2}{3})$
计算得 $x ＜ -40$。
(2) 不等式两边同时减去3，得
$-2x ＜ 3x -1$
不等式两边同时减去$3x$，得
$-5x ＜ -1$
不等式两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得
$x ＞ \dfrac{1}{5}$。
(1) 不等式两边同时乘$-\dfrac{2}{3}$，不等号方向改变，得
$x ＜ 60×(-\dfrac{2}{3})$
计算得 $x ＜ -40$。
(2) 不等式两边同时减去3，得
$-2x ＜ 3x -1$
不等式两边同时减去$3x$，得
$-5x ＜ -1$
不等式两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得
$x ＞ \dfrac{1}{5}$。
解析
【分析】
本题考查利用不等式的基本性质将不等式化简为“$x＞a$”或“$x＜a$”的形式，解题核心是牢记不等式的三条基本性质，尤其注意不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向必须改变。第(1)题左边仅含$x$的项，直接将系数化为1即可；第(2)题需要先通过移项（即不等式两边同时加/减同一个整式，不等号方向不变），把含$x$的项和常数项分别整理到不等式两侧，再将系数化为1。
【解析】
(1) 不等式两边同时乘$-\dfrac{2}{3}$，根据不等式的基本性质，乘负数时不等号方向改变，得
$x ＜ 60×(-\dfrac{2}{3})$
计算得 $x ＜ -40$。
(2) 不等式两边同时减去3，根据不等式的基本性质，加减同一个数时不等号方向不变，得
$-2x ＜ 3x -1$
不等式两边同时减去$3x$，不等号方向不变，得
$-5x ＜ -1$
不等式两边同时除以$-5$，乘负数时不等号方向改变，得
$x ＞ \dfrac{1}{5}$。
【答案】
(1) $x＜-40$；(2) $x＞\dfrac{1}{5}$
【知识点】
不等式的基本性质，一元一次不等式化简，移项法则
【点评】
本题是一元一次不等式变形的基础题型，主要考查对不等式基本性质的应用能力，易错点是忽略不等式两边乘除负数时不等号方向需要改变，熟练掌握不等式性质即可快速准确求解。
【难度系数】
0.75
本题考查利用不等式的基本性质将不等式化简为“$x＞a$”或“$x＜a$”的形式，解题核心是牢记不等式的三条基本性质，尤其注意不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向必须改变。第(1)题左边仅含$x$的项，直接将系数化为1即可；第(2)题需要先通过移项（即不等式两边同时加/减同一个整式，不等号方向不变），把含$x$的项和常数项分别整理到不等式两侧，再将系数化为1。
【解析】
(1) 不等式两边同时乘$-\dfrac{2}{3}$，根据不等式的基本性质，乘负数时不等号方向改变，得
$x ＜ 60×(-\dfrac{2}{3})$
计算得 $x ＜ -40$。
(2) 不等式两边同时减去3，根据不等式的基本性质，加减同一个数时不等号方向不变，得
$-2x ＜ 3x -1$
不等式两边同时减去$3x$，不等号方向不变，得
$-5x ＜ -1$
不等式两边同时除以$-5$，乘负数时不等号方向改变，得
$x ＞ \dfrac{1}{5}$。
【答案】
(1) $x＜-40$；(2) $x＞\dfrac{1}{5}$
【知识点】
不等式的基本性质，一元一次不等式化简，移项法则
【点评】
本题是一元一次不等式变形的基础题型，主要考查对不等式基本性质的应用能力，易错点是忽略不等式两边乘除负数时不等号方向需要改变，熟练掌握不等式性质即可快速准确求解。
【难度系数】
0.75
