登录
9. 如图，在平行四边形ABCD中，∵∠1=∠2，∴BC=DC，∴平行四边形ABCD是菱形。（
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
）.（请在横线上填上理由）答案
9.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：第一，四边形ABCD是平行四边形；第二，通过∠1=∠2可推导得到一组邻边BC=DC。接下来回忆菱形的判定相关定理，其中对应“平行四边形+一组邻边相等判定为菱形”的定理就是本题要填写的理由。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，再由∠1=∠2可推出邻边BC=DC，此时满足“有一组邻边相等的平行四边形”这一条件，根据对应的菱形判定定理，即可得出平行四边形ABCD是菱形的结论，因此空缺处填写的理由就是该判定定理。
【答案】
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查对菱形判定定理的记忆和应用，熟练掌握特殊四边形的判定规则就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：第一，四边形ABCD是平行四边形；第二，通过∠1=∠2可推导得到一组邻边BC=DC。接下来回忆菱形的判定相关定理，其中对应“平行四边形+一组邻边相等判定为菱形”的定理就是本题要填写的理由。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，再由∠1=∠2可推出邻边BC=DC，此时满足“有一组邻边相等的平行四边形”这一条件，根据对应的菱形判定定理，即可得出平行四边形ABCD是菱形的结论，因此空缺处填写的理由就是该判定定理。
【答案】
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查对菱形判定定理的记忆和应用，熟练掌握特殊四边形的判定规则就能快速解答。
【难度系数】
0.9
10.如图,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则∠CPB=
72
度.答案
10.72
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先回忆菱形的性质，菱形是轴对称图形，对角线BD所在直线是它的一条对称轴，点A和点C关于BD对称，因此可得PA=PC、∠APB=∠CPB；其次看到AD的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得PA=PD，进而得到∠PAD=∠ADP；再结合菱形对角线平分内角的性质，算出∠ADP的度数，利用三角形外角性质求出∠APB的度数，即可得到∠CPB的度数。
【解析】
解：连接AP
∵ 四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°
∴ BD平分∠ADC，∠ADB=∠CDB=$\frac{1}{2}$∠ADC=36°，且BD是菱形的对称轴，点A与点C关于BD对称
∴ PA=PC，∠CPB=∠APB
∵ EP是AD的垂直平分线
∴ PA=PD
∴ ∠PAD=∠ADP=36°
∵ ∠APB是△APD的外角
∴ ∠APB=∠PAD + ∠ADP=36°+36°=72°
∴ ∠CPB=∠APB=72°
【答案】
72
【知识点】
菱形的性质；垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了多个基础几何知识点，解题关键是利用菱形的对称性实现角的关系转化，合理添加辅助线即可快速求解，能很好地锻炼学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先回忆菱形的性质，菱形是轴对称图形，对角线BD所在直线是它的一条对称轴，点A和点C关于BD对称，因此可得PA=PC、∠APB=∠CPB；其次看到AD的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得PA=PD，进而得到∠PAD=∠ADP；再结合菱形对角线平分内角的性质，算出∠ADP的度数，利用三角形外角性质求出∠APB的度数，即可得到∠CPB的度数。
【解析】
解：连接AP
∵ 四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°
∴ BD平分∠ADC，∠ADB=∠CDB=$\frac{1}{2}$∠ADC=36°，且BD是菱形的对称轴，点A与点C关于BD对称
∴ PA=PC，∠CPB=∠APB
∵ EP是AD的垂直平分线
∴ PA=PD
∴ ∠PAD=∠ADP=36°
∵ ∠APB是△APD的外角
∴ ∠APB=∠PAD + ∠ADP=36°+36°=72°
∴ ∠CPB=∠APB=72°
【答案】
72
【知识点】
菱形的性质；垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了多个基础几何知识点，解题关键是利用菱形的对称性实现角的关系转化，合理添加辅助线即可快速求解，能很好地锻炼学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.7
11.如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AB=5$，$OA=4$，$OB=3$。求证：$□ ABCD$ 是菱形。
第11题图
第11题图答案
11. 证明:
∵AB=5,OA=4,OB=3,
∴AB²=25=16+9=OA²+OB²,
∴∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
∴□ABCD 是菱形.
∵AB=5,OA=4,OB=3,
∴AB²=25=16+9=OA²+OB²,
∴∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
∴□ABCD 是菱形.
解析
【分析】
要证明平行四边形ABCD是菱形，可使用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理。题目给出了△AOB的三边长度，我们可以先利用勾股定理的逆定理判断△AOB是否为直角三角形，若能推出∠AOB=90°，即可得到对角线AC⊥BD，进而证明该平行四边形是菱形。
【解析】
首先根据已知的三边长度，计算三边的平方：AB²=5²=25，OA²+OB²=4²+3²=16+9=25，由此可得AB²=OA²+OB²，根据勾股定理的逆定理可判定△AOB是直角三角形，即∠AOB=90°，说明两条对角线AC、BD互相垂直。已知四边形ABCD是平行四边形，结合对角线互相垂直的条件，即可判定该平行四边形是菱形。
【答案】
证明:
∵AB=5,OA=4,OB=3,
∴AB²=25=16+9=OA²+OB²,
∴∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
∴□ABCD 是菱形.
【知识点】
勾股定理逆定理，菱形的判定，垂直的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，是菱形判定的典型考法，解题的核心是熟练掌握勾股定理逆定理和菱形的判定条件，通过三角形边长关系推导对角线垂直，结合平行四边形的前提即可完成证明。
【难度系数】
0.8
要证明平行四边形ABCD是菱形，可使用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理。题目给出了△AOB的三边长度，我们可以先利用勾股定理的逆定理判断△AOB是否为直角三角形，若能推出∠AOB=90°，即可得到对角线AC⊥BD，进而证明该平行四边形是菱形。
【解析】
首先根据已知的三边长度，计算三边的平方：AB²=5²=25，OA²+OB²=4²+3²=16+9=25，由此可得AB²=OA²+OB²，根据勾股定理的逆定理可判定△AOB是直角三角形，即∠AOB=90°，说明两条对角线AC、BD互相垂直。已知四边形ABCD是平行四边形，结合对角线互相垂直的条件，即可判定该平行四边形是菱形。
【答案】
证明:
∵AB=5,OA=4,OB=3,
∴AB²=25=16+9=OA²+OB²,
∴∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
∴□ABCD 是菱形.
【知识点】
勾股定理逆定理，菱形的判定，垂直的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，是菱形判定的典型考法，解题的核心是熟练掌握勾股定理逆定理和菱形的判定条件，通过三角形边长关系推导对角线垂直，结合平行四边形的前提即可完成证明。
【难度系数】
0.8
12.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,点E,F在对角线BD上,BE=EF=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD.
(1)求证:△ABF≌△CDE;
(2)连接AE,CF,若∠ABD=30°,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.
(1)求证:△ABF≌△CDE;
(2)连接AE,CF,若∠ABD=30°,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.
答案
12.(1)证明:
∵AB//CD,
∴∠ABF=∠CDE.
∵AF⊥AB,CE⊥CD,
∴∠BAF=∠DCE=90°.
∵BE=EF=FD,
∴BE+EF=FD+EF,即BF=DE.
在△ABF 和△CDE 中,$\begin{cases}∠ABF=∠CDE,\\∠BAF=∠DCE=90°,\\BF=DE,\end{cases}$
∴△ABF≌△CDE(AAS).
(2)解:四边形 AECF 是菱形.理由如下:
连接 AE,CF,如答图所示.
∵∠ABD=30°,AB//CD,
∴∠CDB=∠ABD=30°.
∵BE=EF,∠BAF=90°,
∴AE 是 Rt△ABF 斜边 BF 上的中线,
∴AE=$\frac{1}{2}$BF.
在 Rt△ABF 中,∠ABD=30°,
∴AF=$\frac{1}{2}$BF,
∴AE=AF=$\frac{1}{2}$BF.
同理 CE=CF=$\frac{1}{2}$DE.
∵BF=DE,
∴AE=AF=CE=CF.
又
∵∠EAF≠90°,
∴四边形 AECF 是菱形.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABF≌△CDE，可结合已知条件推导全等所需的判定条件：首先由AB//CD可得内错角∠ABF=∠CDE；由AF⊥AB、CE⊥CD可得∠BAF=∠DCE=90°；再根据BE=EF=FD，可推出BF=DE，三组条件满足AAS全等判定，即可完成证明。
(2) 判断四边形AECF的形状时，先结合直角三角形的相关性质推导边的关系：在Rt△ABF中，30°角所对直角边AF等于斜边BF的一半，且E是BF中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AE=½BF，即AE=AF；同理可推出CE=CF，结合BF=DE可得四边形AECF四条边相等，且不存在直角，因此判定为菱形。
【解析】
(1)证明:
∵AB//CD,
∴∠ABF=∠CDE.
∵AF⊥AB,CE⊥CD,
∴∠BAF=∠DCE=90°.
∵BE=EF=FD,
∴BE+EF=FD+EF,即BF=DE.
在△ABF 和△CDE 中,$\begin{cases}∠ABF=∠CDE,\\∠BAF=∠DCE=90°,\\BF=DE,\end{cases}$
∴△ABF≌△CDE(AAS).
(2)解:四边形 AECF 是菱形.理由如下:
连接 AE,CF,如答图所示.
∵∠ABD=30°,AB//CD,
∴∠CDB=∠ABD=30°.
∵BE=EF,∠BAF=90°,
∴AE 是 Rt△ABF 斜边 BF 上的中线,
∴AE=$\frac{1}{2}$BF.
在 Rt△ABF 中,∠ABD=30°,
∴AF=$\frac{1}{2}$BF,
∴AE=AF=$\frac{1}{2}$BF.
同理 CE=CF=$\frac{1}{2}$DE.
∵BF=DE,
∴AE=AF=CE=CF.
又
∵∠EAF≠90°,
∴四边形 AECF 是菱形.
【答案】
(1) △ABF≌△CDE，证明过程见解析；
(2) 四边形AECF是菱形，理由见解析，辅助线作图如下：
【知识点】
全等三角形的判定；直角三角形的性质；菱形的判定
【点评】
本题是典型的几何综合题，融合了平行线性质、全等证明、直角三角形特殊性质及特殊四边形判定多个考点，解题时需逐层推导条件间的关联，能够很好地考查学生的逻辑推理能力，是初中几何的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABF≌△CDE，可结合已知条件推导全等所需的判定条件：首先由AB//CD可得内错角∠ABF=∠CDE；由AF⊥AB、CE⊥CD可得∠BAF=∠DCE=90°；再根据BE=EF=FD，可推出BF=DE，三组条件满足AAS全等判定，即可完成证明。
(2) 判断四边形AECF的形状时，先结合直角三角形的相关性质推导边的关系：在Rt△ABF中，30°角所对直角边AF等于斜边BF的一半，且E是BF中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AE=½BF，即AE=AF；同理可推出CE=CF，结合BF=DE可得四边形AECF四条边相等，且不存在直角，因此判定为菱形。
【解析】
(1)证明:
∵AB//CD,
∴∠ABF=∠CDE.
∵AF⊥AB,CE⊥CD,
∴∠BAF=∠DCE=90°.
∵BE=EF=FD,
∴BE+EF=FD+EF,即BF=DE.
在△ABF 和△CDE 中,$\begin{cases}∠ABF=∠CDE,\\∠BAF=∠DCE=90°,\\BF=DE,\end{cases}$
∴△ABF≌△CDE(AAS).
(2)解:四边形 AECF 是菱形.理由如下:
连接 AE,CF,如答图所示.
∵∠ABD=30°,AB//CD,
∴∠CDB=∠ABD=30°.
∵BE=EF,∠BAF=90°,
∴AE 是 Rt△ABF 斜边 BF 上的中线,
∴AE=$\frac{1}{2}$BF.
在 Rt△ABF 中,∠ABD=30°,
∴AF=$\frac{1}{2}$BF,
∴AE=AF=$\frac{1}{2}$BF.
同理 CE=CF=$\frac{1}{2}$DE.
∵BF=DE,
∴AE=AF=CE=CF.
又
∵∠EAF≠90°,
∴四边形 AECF 是菱形.
【答案】
(1) △ABF≌△CDE，证明过程见解析；
(2) 四边形AECF是菱形，理由见解析，辅助线作图如下：
【知识点】
全等三角形的判定；直角三角形的性质；菱形的判定
【点评】
本题是典型的几何综合题，融合了平行线性质、全等证明、直角三角形特殊性质及特殊四边形判定多个考点，解题时需逐层推导条件间的关联，能够很好地考查学生的逻辑推理能力，是初中几何的常考题型。
【难度系数】
0.7
