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1. 如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点，则图中共有菱形 （
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1.B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确两个核心知识：一是菱形的判定方法（四边相等的四边形是菱形，或一组邻边相等的平行四边形是菱形）；二是等边三角形三边相等，以及三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半的性质。首先我们可以先推出图中所有由顶点和中点连接的小线段长度都相等，再逐一排查符合菱形判定的四边形，注意不要把中间的三角形误算成四边形。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC。
∵D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，根据三角形中位线定理可得：
$EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$；$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB$；$DF// AC$，$DF=\frac{1}{2}AC$。
结合等边三角形三边相等的性质，可得：
$AF=FB=BD=DC=CE=EA=EF=DE=DF$，即所有小线段长度均相等。
接下来判断四边形：
1. 四边形AFDE：$AF=FD=DE=EA$，且对边互相平行，是菱形；
2. 四边形BFED：$BF=FE=ED=DB$，且对边互相平行，是菱形；
3. 四边形CDFE：$CD=DF=FE=EC$，且对边互相平行，是菱形。
中间△FDE为三角形，不属于四边形，无其他符合条件的菱形，故共有3个菱形。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定；等边三角形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础的几何图形计数类题目，解题的关键是熟练掌握菱形的判定条件，结合特殊三角形和中位线的性质先确定各线段的等量关系，再逐一排查计数，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确两个核心知识：一是菱形的判定方法（四边相等的四边形是菱形，或一组邻边相等的平行四边形是菱形）；二是等边三角形三边相等，以及三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半的性质。首先我们可以先推出图中所有由顶点和中点连接的小线段长度都相等，再逐一排查符合菱形判定的四边形，注意不要把中间的三角形误算成四边形。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC。
∵D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，根据三角形中位线定理可得：
$EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$；$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB$；$DF// AC$，$DF=\frac{1}{2}AC$。
结合等边三角形三边相等的性质，可得：
$AF=FB=BD=DC=CE=EA=EF=DE=DF$，即所有小线段长度均相等。
接下来判断四边形：
1. 四边形AFDE：$AF=FD=DE=EA$，且对边互相平行，是菱形；
2. 四边形BFED：$BF=FE=ED=DB$，且对边互相平行，是菱形；
3. 四边形CDFE：$CD=DF=FE=EC$，且对边互相平行，是菱形。
中间△FDE为三角形，不属于四边形，无其他符合条件的菱形，故共有3个菱形。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定；等边三角形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础的几何图形计数类题目，解题的关键是熟练掌握菱形的判定条件，结合特殊三角形和中位线的性质先确定各线段的等量关系，再逐一排查计数，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
2.如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，AB=5.若∠ABD=30°，则AC的长是（
A.4
B.5
C.6
D.10
B
）A.4
B.5
C.6
D.10
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的相关性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直且平分。已知∠ABD=30°，结合菱形对角线垂直的性质，可得到含30°角的直角△AOB，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AO的长度，再根据AC=2AO即可求出AC的总长。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$AO=OC=\frac{1}{2}AC$，$AB=5$。
在Rt△AOB中，$∠AOB=90°$，$∠ABD=30°$，$AB=5$，
∴30°角所对的直角边$AO=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=2.5$，
∴$AC=2AO=2×2.5=5$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，解题核心是利用菱形对角线垂直的特点构造特殊直角三角形，再结合特殊角的边长关系求解，掌握菱形和直角三角形的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆菱形的相关性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直且平分。已知∠ABD=30°，结合菱形对角线垂直的性质，可得到含30°角的直角△AOB，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AO的长度，再根据AC=2AO即可求出AC的总长。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$AO=OC=\frac{1}{2}AC$，$AB=5$。
在Rt△AOB中，$∠AOB=90°$，$∠ABD=30°$，$AB=5$，
∴30°角所对的直角边$AO=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=2.5$，
∴$AC=2AO=2×2.5=5$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，解题核心是利用菱形对角线垂直的特点构造特殊直角三角形，再结合特殊角的边长关系求解，掌握菱形和直角三角形的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.如图,菱形ABCD的边长为4,∠B=120°,则菱形ABCD的面积为 （
A.6
B.$4\sqrt{3}$
C.$8\sqrt{3}$
D.12
C
）A.6
B.$4\sqrt{3}$
C.$8\sqrt{3}$
D.12
答案
3.C
解析
【分析】
要求菱形的面积，可选择“底×高”的方法计算：首先菱形的边长为4，可直接将边长作为底，接下来只需要求出对应底上的高即可。已知∠B=120°，它的邻补角为60°，我们可以过点C作AB边上的高，构造含30°角的直角三角形，结合30°直角三角形的性质和勾股定理求出高，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E。
∵ 四边形ABCD是菱形，边长为4，
∴ AB=BC=4。
∵ ∠ABC=120°，
∴ ∠CBE=180°-120°=60°，
∴ 在Rt△BCE中，∠BCE=90°-60°=30°，
∴ BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4=2（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
由勾股定理可得：
CE=$\sqrt{BC^2 - BE^2}$=$\sqrt{4^2 - 2^2}$=$\sqrt{16-4}$=$2\sqrt{3}$，
∴ 菱形ABCD的面积=底×高=AB×CE=4×$2\sqrt{3}$=$8\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，菱形面积计算，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是菱形面积计算的常规题型，解题关键是结合已知的特殊内角构造直角三角形求出高，熟练掌握菱形的性质和特殊直角三角形的性质可以快速解题。
【难度系数】
0.7
要求菱形的面积，可选择“底×高”的方法计算：首先菱形的边长为4，可直接将边长作为底，接下来只需要求出对应底上的高即可。已知∠B=120°，它的邻补角为60°，我们可以过点C作AB边上的高，构造含30°角的直角三角形，结合30°直角三角形的性质和勾股定理求出高，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E。
∵ 四边形ABCD是菱形，边长为4，
∴ AB=BC=4。
∵ ∠ABC=120°，
∴ ∠CBE=180°-120°=60°，
∴ 在Rt△BCE中，∠BCE=90°-60°=30°，
∴ BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4=2（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
由勾股定理可得：
CE=$\sqrt{BC^2 - BE^2}$=$\sqrt{4^2 - 2^2}$=$\sqrt{16-4}$=$2\sqrt{3}$，
∴ 菱形ABCD的面积=底×高=AB×CE=4×$2\sqrt{3}$=$8\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，菱形面积计算，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是菱形面积计算的常规题型，解题关键是结合已知的特殊内角构造直角三角形求出高，熟练掌握菱形的性质和特殊直角三角形的性质可以快速解题。
【难度系数】
0.7
4.一个矩形的一条对角线长为10,两条对角线的一个交角为$60°$,则这个矩形的面积是 （
A.25
B.$25\sqrt{3}$
C.$25\sqrt{5}$
D.$50\sqrt{3}$
B
）A.25
B.$25\sqrt{3}$
C.$25\sqrt{5}$
D.$50\sqrt{3}$
答案
4.B
解析
【分析】
解决本题首先要用到矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线把矩形分成4个等腰三角形，每个腰长都是对角线长度的一半。已知对角线交角为60°，可推出其中一个等腰三角形为等边三角形，从而得到矩形的短边长，再通过勾股定理求出长边长，最后代入矩形面积公式计算即可。
【解析】
∵矩形的对角线相等且互相平分，对角线长为10
∴对角线的一半长为 $10÷2=5$
∵两条对角线的一个交角为$60°$
∴该夹角所在的等腰三角形（两边长均为5）是等边三角形，即矩形的短边长为5
根据勾股定理，矩形的长边长为 $\sqrt{10^2 - 5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$
∴矩形的面积为 $5×5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质、等边三角形判定、勾股定理
【点评】
本题是矩形性质应用的典型基础题，解题的核心是利用矩形对角线的平分特性结合60°夹角得到等边三角形，快速求出矩形的短边长度，再结合勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要用到矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线把矩形分成4个等腰三角形，每个腰长都是对角线长度的一半。已知对角线交角为60°，可推出其中一个等腰三角形为等边三角形，从而得到矩形的短边长，再通过勾股定理求出长边长，最后代入矩形面积公式计算即可。
【解析】
∵矩形的对角线相等且互相平分，对角线长为10
∴对角线的一半长为 $10÷2=5$
∵两条对角线的一个交角为$60°$
∴该夹角所在的等腰三角形（两边长均为5）是等边三角形，即矩形的短边长为5
根据勾股定理，矩形的长边长为 $\sqrt{10^2 - 5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$
∴矩形的面积为 $5×5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质、等边三角形判定、勾股定理
【点评】
本题是矩形性质应用的典型基础题，解题的核心是利用矩形对角线的平分特性结合60°夹角得到等边三角形，快速求出矩形的短边长度，再结合勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
5.如图,在菱形$ABCD$中,$∠A=60°$,$AB=3$,$E$,$F$分别为$AD$,$DC$上的动点,$∠EBF=60°$,点$E$从点$A$向点$D$运动的过程中,$AE+CF$的长度 （
A.逐渐减小
B.恒等于3
C.先减小再增加
D.恒大于3
B
）A.逐渐减小
B.恒等于3
C.先减小再增加
D.恒大于3
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先根据菱形的性质和已知∠A=60°，可判断△ABD为等边三角形，得到边和角的相等关系；再结合∠EBF=60°，通过角的等量代换找到相等的角，证明△ABE和△DBF全等，将AE转化为DF，即可把AE+CF转化为菱形的边长，判断其为定值。
【解析】
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=3，
∴AB=AD=BC=CD=3，∠C=∠A=60°，
∴△ABD、△BCD均为等边三角形，
∴AB=BD，∠A=∠BDF=60°，∠ABD=60°，
∵∠EBF=60°，
∴∠ABD=∠EBF，即∠ABE+∠EBD=∠EBD+∠DBF，
∴∠ABE=∠DBF，
在△ABE和△DBF中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠BDF \\AB=BD \\∠ABE=∠DBF\end{array} $
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴AE=DF，
∴AE+CF=DF+CF=CD=3，即AE+CF的长度恒等于3。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是动态几何中的定值问题，核心考查特殊四边形与三角形全等的综合应用，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将动态线段的和转化为固定长度的边，从而快速判断结果。
【难度系数】
0.6
解题时先根据菱形的性质和已知∠A=60°，可判断△ABD为等边三角形，得到边和角的相等关系；再结合∠EBF=60°，通过角的等量代换找到相等的角，证明△ABE和△DBF全等，将AE转化为DF，即可把AE+CF转化为菱形的边长，判断其为定值。
【解析】
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=3，
∴AB=AD=BC=CD=3，∠C=∠A=60°，
∴△ABD、△BCD均为等边三角形，
∴AB=BD，∠A=∠BDF=60°，∠ABD=60°，
∵∠EBF=60°，
∴∠ABD=∠EBF，即∠ABE+∠EBD=∠EBD+∠DBF，
∴∠ABE=∠DBF，
在△ABE和△DBF中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠BDF \\AB=BD \\∠ABE=∠DBF\end{array} $
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴AE=DF，
∴AE+CF=DF+CF=CD=3，即AE+CF的长度恒等于3。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是动态几何中的定值问题，核心考查特殊四边形与三角形全等的综合应用，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将动态线段的和转化为固定长度的边，从而快速判断结果。
【难度系数】
0.6
6. 下列选项中能使$□ ABCD$成为菱形的是（
A.$AB=CD$
B.$AC=BD$
C.$∠ BAD=90°$
D.$AB=BC$
D
）A.$AB=CD$
B.$AC=BD$
C.$∠ BAD=90°$
D.$AB=BC$
答案
6.D
解析
【分析】
解题首先明确题干前提是四边形ABCD为平行四边形，需结合平行四边形的固有性质、菱形与矩形的判定条件逐一分析选项：首先，平行四边形本身就具备对边相等的性质，这类固有性质不能判定它成为更特殊的菱形；其次要区分平行四边形基础上菱形和矩形的判定差异：一组邻边相等、对角线互相垂直可判定平行四边形为菱形，而对角线相等、有一个内角为直角是判定平行四边形为矩形的条件，据此逐一排查选项即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，我们逐一分析选项：
A. 平行四边形的对边本来就相等，即AB=CD是平行四边形的固有性质，无法判定它是菱形，排除；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，因此AC=BD可判定$□ABCD$是矩形，不是菱形，排除；
C. 有一个内角是直角的平行四边形是矩形，因此$∠BAD=90°$可判定$□ABCD$是矩形，不是菱形，排除；
D. 一组邻边相等的平行四边形是菱形，AB和BC是$□ABCD$的一组邻边，因此AB=BC可判定$□ABCD$是菱形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分平行四边形基础上矩形和菱形的判定条件，只要牢记特殊平行四边形的判定定理就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
解题首先明确题干前提是四边形ABCD为平行四边形，需结合平行四边形的固有性质、菱形与矩形的判定条件逐一分析选项：首先，平行四边形本身就具备对边相等的性质，这类固有性质不能判定它成为更特殊的菱形；其次要区分平行四边形基础上菱形和矩形的判定差异：一组邻边相等、对角线互相垂直可判定平行四边形为菱形，而对角线相等、有一个内角为直角是判定平行四边形为矩形的条件，据此逐一排查选项即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，我们逐一分析选项：
A. 平行四边形的对边本来就相等，即AB=CD是平行四边形的固有性质，无法判定它是菱形，排除；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，因此AC=BD可判定$□ABCD$是矩形，不是菱形，排除；
C. 有一个内角是直角的平行四边形是矩形，因此$∠BAD=90°$可判定$□ABCD$是矩形，不是菱形，排除；
D. 一组邻边相等的平行四边形是菱形，AB和BC是$□ABCD$的一组邻边，因此AB=BC可判定$□ABCD$是菱形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分平行四边形基础上矩形和菱形的判定条件，只要牢记特殊平行四边形的判定定理就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
7.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.若要使四边形ABCD为菱形,则可以添加的条件是（
A.$∠ AOB=60°$
B.$AC⊥ BD$
C.$AC=BD$
D.$AB⊥ BC$
B
）A.$∠ AOB=60°$
B.$AC⊥ BD$
C.$AC=BD$
D.$AB⊥ BC$
答案
7.B
解析
【分析】
首先根据已知条件OA=OC、OB=OD，结合平行四边形的判定定理，可先确定四边形ABCD是平行四边形。接下来要使平行四边形变为菱形，需结合菱形的判定条件逐一分析选项：菱形的判定方法有两种，一是一组邻边相等的平行四边形是菱形，二是对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此判断各选项是否满足要求即可。
【解析】
∵ OA=OC，OB=OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
接下来分析各选项：
A. ∠AOB=60°：仅能得到对角线夹角为60°，无法推出邻边相等或对角线垂直，不能判定为菱形，不符合要求；
B. AC⊥BD：根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定四边形ABCD是菱形，符合要求；
C. AC=BD：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，不符合要求；
D. AB⊥BC：即∠ABC=90°，有一个内角为直角的平行四边形是矩形，不是菱形，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，解题关键是先根据已知条件确定四边形的基础类型为平行四边形，再结合菱形、矩形的判定定理逐一筛选选项，熟记各类特殊四边形的判定定理是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件OA=OC、OB=OD，结合平行四边形的判定定理，可先确定四边形ABCD是平行四边形。接下来要使平行四边形变为菱形，需结合菱形的判定条件逐一分析选项：菱形的判定方法有两种，一是一组邻边相等的平行四边形是菱形，二是对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此判断各选项是否满足要求即可。
【解析】
∵ OA=OC，OB=OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
接下来分析各选项：
A. ∠AOB=60°：仅能得到对角线夹角为60°，无法推出邻边相等或对角线垂直，不能判定为菱形，不符合要求；
B. AC⊥BD：根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定四边形ABCD是菱形，符合要求；
C. AC=BD：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，不符合要求；
D. AB⊥BC：即∠ABC=90°，有一个内角为直角的平行四边形是矩形，不是菱形，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，解题关键是先根据已知条件确定四边形的基础类型为平行四边形，再结合菱形、矩形的判定定理逐一筛选选项，熟记各类特殊四边形的判定定理是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
8.在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（
A.测量两条对角线是否分别平分两组内角
B.测量四个内角是否相等
C.测量两条对角线是否互相垂直且平分
D.测量四条边是否相等
B
）A.测量两条对角线是否分别平分两组内角
B.测量四个内角是否相等
C.测量两条对角线是否互相垂直且平分
D.测量四条边是否相等
答案
8.B
解析
【分析】
要判断哪个方案不能判定瓷砖是菱形，需结合菱形的判定定理，逐一分析每个选项的判定结果，找出无法判定为菱形的选项即可。解题时首先回忆菱形的常见判定方法：四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线平分内角的平行四边形是菱形等，同时区分菱形与其他特殊四边形（如矩形）的判定差异。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 若四边形两条对角线分别平分两组内角，可通过角的关系推导出对边平行，且邻边相等，符合菱形的特征，该方案正确，不符合题意；
B. 四边形内角和为360°，若四个内角相等，则每个内角均为360°÷4=90°，此时四边形是矩形，仅当矩形邻边相等时才是菱形（即正方形），因此该方案无法判定一定是菱形，符合题意；
C. 根据菱形的判定定理，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，该方案正确，不符合题意；
D. 根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形，该方案正确，不符合题意。
综上，不正确的方案是B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题重点考查特殊四边形判定定理的应用，需要准确区分菱形和矩形的判定条件，避免混淆两类特殊四边形的判定规则即可正确解答。
【难度系数】
0.8
要判断哪个方案不能判定瓷砖是菱形，需结合菱形的判定定理，逐一分析每个选项的判定结果，找出无法判定为菱形的选项即可。解题时首先回忆菱形的常见判定方法：四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线平分内角的平行四边形是菱形等，同时区分菱形与其他特殊四边形（如矩形）的判定差异。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 若四边形两条对角线分别平分两组内角，可通过角的关系推导出对边平行，且邻边相等，符合菱形的特征，该方案正确，不符合题意；
B. 四边形内角和为360°，若四个内角相等，则每个内角均为360°÷4=90°，此时四边形是矩形，仅当矩形邻边相等时才是菱形（即正方形），因此该方案无法判定一定是菱形，符合题意；
C. 根据菱形的判定定理，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，该方案正确，不符合题意；
D. 根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形，该方案正确，不符合题意。
综上，不正确的方案是B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题重点考查特殊四边形判定定理的应用，需要准确区分菱形和矩形的判定条件，避免混淆两类特殊四边形的判定规则即可正确解答。
【难度系数】
0.8
