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6. 如图，在$△ ABC$中，点$D$在$BC$上，$∠ B=62°$，$∠ C=53°$，将点$D$分别以$AB$，$AC$为对称轴，画出对称点$E$，$F$，并连接$AE$，$AF$，则$∠ EAF$的度数为（
A.$124°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$106°$
C
）A.$124°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$106°$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先回忆轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形，对应角相等。首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再根据对称点的性质得到∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC，即可推出∠EAF=2∠BAC，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 62° - 53° = 65°$
∵点E是点D以AB为对称轴的对称点，根据轴对称的性质对应角相等，
∴$∠ EAB = ∠ DAB$
同理，点F是点D以AC为对称轴的对称点，
∴$∠ FAC = ∠ DAC$
∴$∠ EAF = ∠ EAB + ∠ DAB + ∠ DAC + ∠ FAC = 2(∠ DAB + ∠ DAC) = 2∠ BAC$
代入$∠ BAC=65°$，得$∠ EAF = 2×65° = 130°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，轴对称的性质，角度计算
【点评】
本题是基础综合题，将轴对称性质和三角形内角和定理结合考查，解题的核心是通过轴对称的性质找到所求角和三角形顶角的倍数关系，计算量小，只要掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形，对应角相等。首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再根据对称点的性质得到∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC，即可推出∠EAF=2∠BAC，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 62° - 53° = 65°$
∵点E是点D以AB为对称轴的对称点，根据轴对称的性质对应角相等，
∴$∠ EAB = ∠ DAB$
同理，点F是点D以AC为对称轴的对称点，
∴$∠ FAC = ∠ DAC$
∴$∠ EAF = ∠ EAB + ∠ DAB + ∠ DAC + ∠ FAC = 2(∠ DAB + ∠ DAC) = 2∠ BAC$
代入$∠ BAC=65°$，得$∠ EAF = 2×65° = 130°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，轴对称的性质，角度计算
【点评】
本题是基础综合题，将轴对称性质和三角形内角和定理结合考查，解题的核心是通过轴对称的性质找到所求角和三角形顶角的倍数关系，计算量小，只要掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
7. 如图，$△ ABC$和$△ ADE$关于直线$l$对称，有下列结论：①$BC=DE$；②直线$l$垂直平分$BD$；③$∠ BAE=∠ DAC$；④$BC$与$DE$的延长线的交点一定落在直线$l$上. 其中正确的有（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A
）A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
7.A
解析
【分析】
解题时先回忆轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形全等，对应边、对应角相等，对称轴垂直平分任意一组对应点的连线，对应线段（或其延长线）的交点一定在对称轴上。再利用这些性质逐一判断4个结论是否正确即可。
【解析】
已知$△ ABC$和$△ ADE$关于直线$l$对称，根据轴对称的性质可得：
1. 关于某直线对称的两个图形全等，即$△ ABC ≌ △ ADE$，全等三角形对应边相等，因此$BC=DE$，结论①正确；
2. 点$B$和点$D$是一组对应点，对称轴垂直平分任意一组对应点的连线，因此直线$l$垂直平分$BD$，结论②正确；
3. 全等三角形对应角相等，可得$∠ BAC=∠ DAE$，等式两边同时加$∠ CAE$得：$∠ BAC+∠ CAE=∠ DAE+∠ CAE$，即$∠ BAE=∠ DAC$，结论③正确；
4. 成轴对称的两个图形的对应线段（或其延长线）如果相交，交点一定落在对称轴上，$BC$和$DE$是对应线段，因此它们的延长线的交点一定落在直线$l$上，结论④正确。
综上，4个结论都正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握轴对称的相关性质，逐一验证结论即可，注意不要遗漏对应线段延长线交点的相关性质。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形全等，对应边、对应角相等，对称轴垂直平分任意一组对应点的连线，对应线段（或其延长线）的交点一定在对称轴上。再利用这些性质逐一判断4个结论是否正确即可。
【解析】
已知$△ ABC$和$△ ADE$关于直线$l$对称，根据轴对称的性质可得：
1. 关于某直线对称的两个图形全等，即$△ ABC ≌ △ ADE$，全等三角形对应边相等，因此$BC=DE$，结论①正确；
2. 点$B$和点$D$是一组对应点，对称轴垂直平分任意一组对应点的连线，因此直线$l$垂直平分$BD$，结论②正确；
3. 全等三角形对应角相等，可得$∠ BAC=∠ DAE$，等式两边同时加$∠ CAE$得：$∠ BAC+∠ CAE=∠ DAE+∠ CAE$，即$∠ BAE=∠ DAC$，结论③正确；
4. 成轴对称的两个图形的对应线段（或其延长线）如果相交，交点一定落在对称轴上，$BC$和$DE$是对应线段，因此它们的延长线的交点一定落在直线$l$上，结论④正确。
综上，4个结论都正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握轴对称的相关性质，逐一验证结论即可，注意不要遗漏对应线段延长线交点的相关性质。
【难度系数】
0.8
8. 如图，P是∠AOB内任意一点，OP=6 cm，M和N分别是射线OB和射线OA上的动点。若△PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是 （
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
B
）A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
答案
8.B
解析
【分析】
要解决△PMN周长最小值的问题，我们可以利用轴对称的性质将折线段转化为直线段（两点之间线段最短）。首先分别作点P关于OB、OA的对称点，把△PMN的三边转化为两点之间的线段，得到周长的最小值等于两个对称点之间的距离；再结合轴对称的性质得到OP与两个对称点到O的距离相等，结合已知的周长最小值和OP长度，判断三角形形状，进而求出角的度数。
【解析】
1. 作点P关于射线OB的对称点$P_1$，作点P关于射线OA的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，交OB于M、交OA于N，此时△PMN的周长最小，最小值为$P_1P_2$的长度。
2. 由轴对称性质可得：$PM=P_1M$，$PN=P_2N$，$OP_1=OP=OP_2=6\mathrm{cm}$，$∠ P_1OB=∠ POB$，$∠ P_2OA=∠ POA$。
3. 因此△PMN的周长$=PM+PN+MN=P_1M+P_2N+MN=P_1P_2$，已知周长最小值为$6\mathrm{cm}$，故$P_1P_2=6\mathrm{cm}$。
4. 在$△ P_1OP_2$中，$OP_1=OP_2=P_1P_2=6\mathrm{cm}$，所以$△ P_1OP_2$是等边三角形，$∠ P_1OP_2=60°$。
5. 又$∠ P_1OP_2=∠ P_1OB+∠ POB+∠ POA+∠ P_2OA=2(∠ POB+∠ POA)=2∠ AOB$，因此$2∠ AOB=60°$，解得$∠ AOB=30°$。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是轴对称在最短路径问题中的典型应用，解题的核心是通过作对称点将三角形周长的最小值转化为两点间的线段长度，再结合等边三角形的性质求解角度，要求学生熟练掌握轴对称的性质，能灵活转化线段长度和角度关系。
【难度系数】
0.6
要解决△PMN周长最小值的问题，我们可以利用轴对称的性质将折线段转化为直线段（两点之间线段最短）。首先分别作点P关于OB、OA的对称点，把△PMN的三边转化为两点之间的线段，得到周长的最小值等于两个对称点之间的距离；再结合轴对称的性质得到OP与两个对称点到O的距离相等，结合已知的周长最小值和OP长度，判断三角形形状，进而求出角的度数。
【解析】
1. 作点P关于射线OB的对称点$P_1$，作点P关于射线OA的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，交OB于M、交OA于N，此时△PMN的周长最小，最小值为$P_1P_2$的长度。
2. 由轴对称性质可得：$PM=P_1M$，$PN=P_2N$，$OP_1=OP=OP_2=6\mathrm{cm}$，$∠ P_1OB=∠ POB$，$∠ P_2OA=∠ POA$。
3. 因此△PMN的周长$=PM+PN+MN=P_1M+P_2N+MN=P_1P_2$，已知周长最小值为$6\mathrm{cm}$，故$P_1P_2=6\mathrm{cm}$。
4. 在$△ P_1OP_2$中，$OP_1=OP_2=P_1P_2=6\mathrm{cm}$，所以$△ P_1OP_2$是等边三角形，$∠ P_1OP_2=60°$。
5. 又$∠ P_1OP_2=∠ P_1OB+∠ POB+∠ POA+∠ P_2OA=2(∠ POB+∠ POA)=2∠ AOB$，因此$2∠ AOB=60°$，解得$∠ AOB=30°$。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是轴对称在最短路径问题中的典型应用，解题的核心是通过作对称点将三角形周长的最小值转化为两点间的线段长度，再结合等边三角形的性质求解角度，要求学生熟练掌握轴对称的性质，能灵活转化线段长度和角度关系。
【难度系数】
0.6
9.如图,弹性小球从点P出发,沿图中所示方向运动,每当小球碰到长方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.小球第1次碰到长方形的边时,触碰点为Q;第2次碰到长方形的边时,触碰点为M……第2024次碰到长方形的边时,触碰点为图中的 (
A.点P
B.点Q
C.点M
D.点N
C
)A.点P
B.点Q
C.点M
D.点N
答案
9.C
解析
【分析】
这是一道运动找规律的周期问题，解题时首先按照反弹时反射角等于入射角的规则，依次模拟小球每次碰到长方形边的触碰点，找到循环周期，再用总碰撞次数除以周期长度，根据余数即可对应得到第2024次的触碰点。
【解析】
我们先按反弹规则依次列举前几次碰撞的触碰点：
第1次碰到长方形的边：Q；
第2次碰到长方形的边：M；
第3次碰到长方形的边：长方形右边界的点；
第4次碰到长方形的边：长方形下边界的点；
第5次碰到长方形的边：长方形左边界的点；
第6次碰到长方形的边：P；
第7次碰到长方形的边：Q，由此可知每6次碰撞为一个循环周期，周期内触碰点顺序为Q、M、右边界点、下边界点、左边界点、P。
计算2024除以周期长度6的结果：$2024÷ 6=337······2$，余数为2，对应周期内第2个触碰点，即M。
【答案】
C
【知识点】
周期规律，图形运动规律
【点评】
本题核心是通过模拟运动找到循环周期，再利用带余除法确定目标位置，解题时要注意准确计数碰撞次数，避免因周期判断错误失分。
【难度系数】
0.7
这是一道运动找规律的周期问题，解题时首先按照反弹时反射角等于入射角的规则，依次模拟小球每次碰到长方形边的触碰点，找到循环周期，再用总碰撞次数除以周期长度，根据余数即可对应得到第2024次的触碰点。
【解析】
我们先按反弹规则依次列举前几次碰撞的触碰点：
第1次碰到长方形的边：Q；
第2次碰到长方形的边：M；
第3次碰到长方形的边：长方形右边界的点；
第4次碰到长方形的边：长方形下边界的点；
第5次碰到长方形的边：长方形左边界的点；
第6次碰到长方形的边：P；
第7次碰到长方形的边：Q，由此可知每6次碰撞为一个循环周期，周期内触碰点顺序为Q、M、右边界点、下边界点、左边界点、P。
计算2024除以周期长度6的结果：$2024÷ 6=337······2$，余数为2，对应周期内第2个触碰点，即M。
【答案】
C
【知识点】
周期规律，图形运动规律
【点评】
本题核心是通过模拟运动找到循环周期，再利用带余除法确定目标位置，解题时要注意准确计数碰撞次数，避免因周期判断错误失分。
【难度系数】
0.7
10.如图，正方形ABCD的边长为8 cm，则图中阴影部分的面积为
32 cm²
。答案
10. 32 cm²
解析
【分析】
观察图形可知，正方形ABCD的对角线AC是正方形的一条对称轴，根据轴对称的性质，对角线两侧的图形完全对称。我们可以运用割补法，将右侧的阴影部分平移拼接至左侧对应的空白区域，就能发现所有阴影部分的总面积恰好等于正方形面积的一半，因此只需先求出正方形的面积，再除以2即可得到阴影部分的面积。
【解析】
第一步：计算正方形ABCD的面积，正方形面积公式为$S=a^2$（$a$为边长），已知边长为8cm，因此：
$S_{\mathrm{正方形}}=8×8=64\ \mathrm{cm}^2$
第二步：根据轴对称割补后，阴影部分面积为正方形面积的一半，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=64÷2=32\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$32\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方形面积计算，轴对称的性质，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积求解的典型题，无需分别计算每个阴影部分的面积，通过观察图形的对称性采用割补法即可快速简化计算，解题的关键是发现阴影部分与正方形整体面积的关系。
【难度系数】
0.7
观察图形可知，正方形ABCD的对角线AC是正方形的一条对称轴，根据轴对称的性质，对角线两侧的图形完全对称。我们可以运用割补法，将右侧的阴影部分平移拼接至左侧对应的空白区域，就能发现所有阴影部分的总面积恰好等于正方形面积的一半，因此只需先求出正方形的面积，再除以2即可得到阴影部分的面积。
【解析】
第一步：计算正方形ABCD的面积，正方形面积公式为$S=a^2$（$a$为边长），已知边长为8cm，因此：
$S_{\mathrm{正方形}}=8×8=64\ \mathrm{cm}^2$
第二步：根据轴对称割补后，阴影部分面积为正方形面积的一半，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=64÷2=32\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$32\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方形面积计算，轴对称的性质，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积求解的典型题，无需分别计算每个阴影部分的面积，通过观察图形的对称性采用割补法即可快速简化计算，解题的关键是发现阴影部分与正方形整体面积的关系。
【难度系数】
0.7
