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一、选择题
1. 在分式$\frac{1}{a},\frac{12b}{81a},\frac{(a-b)^2}{b-a},\frac{a-3}{4a-3-a^2},\frac{a^2+b^2}{a-b}$中，最简分式有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1. 在分式$\frac{1}{a},\frac{12b}{81a},\frac{(a-b)^2}{b-a},\frac{a-3}{4a-3-a^2},\frac{a^2+b^2}{a-b}$中，最简分式有（
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
解题前先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式（既无公因数，也无公共多项式因式）的分式叫做最简分式。解题思路为逐个分析每个分式的分子、分母是否存在可约分的公因式，统计符合最简分式要求的数量即可得到答案。
【解析】
根据最简分式的判定规则，逐个判断：
1. 分式$\frac{1}{a}$：分子为常数1，与分母$a$没有公因式，属于最简分式；
2. 分式$\frac{12b}{81a}$：分子的系数12和分母的系数81有公因数3，可约分为$\frac{4b}{27a}$，不属于最简分式；
3. 分式$\frac{(a-b)^2}{b-a}$：可将分母变形为$b-a=-(a-b)$，分子分母存在公因式$(a-b)$，可约分为$b-a$，不属于最简分式；
4. 分式$\frac{a-3}{4a-3-a^2}$：先整理分母得$4a-3-a^2=-(a^2-4a+3)=-(a-1)(a-3)$，分子分母存在公因式$(a-3)$，可约分为$\frac{1}{1-a}$，不属于最简分式；
5. 分式$\frac{a^2+b^2}{a-b}$：分子$a^2+b^2$无法因式分解，与分母$a-b$没有公因式，属于最简分式。
综上，最简分式共有2个。
【答案】
B
【知识点】
最简分式判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查分式的基础概念，解题时注意先对分子、分母中能因式分解的部分先变形，再排查公因式，尤其要注意$b-a=-(a-b)$这类符号变形带来的隐藏公因式，避免漏判。
【难度系数】
0.7
解题前先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式（既无公因数，也无公共多项式因式）的分式叫做最简分式。解题思路为逐个分析每个分式的分子、分母是否存在可约分的公因式，统计符合最简分式要求的数量即可得到答案。
【解析】
根据最简分式的判定规则，逐个判断：
1. 分式$\frac{1}{a}$：分子为常数1，与分母$a$没有公因式，属于最简分式；
2. 分式$\frac{12b}{81a}$：分子的系数12和分母的系数81有公因数3，可约分为$\frac{4b}{27a}$，不属于最简分式；
3. 分式$\frac{(a-b)^2}{b-a}$：可将分母变形为$b-a=-(a-b)$，分子分母存在公因式$(a-b)$，可约分为$b-a$，不属于最简分式；
4. 分式$\frac{a-3}{4a-3-a^2}$：先整理分母得$4a-3-a^2=-(a^2-4a+3)=-(a-1)(a-3)$，分子分母存在公因式$(a-3)$，可约分为$\frac{1}{1-a}$，不属于最简分式；
5. 分式$\frac{a^2+b^2}{a-b}$：分子$a^2+b^2$无法因式分解，与分母$a-b$没有公因式，属于最简分式。
综上，最简分式共有2个。
【答案】
B
【知识点】
最简分式判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查分式的基础概念，解题时注意先对分子、分母中能因式分解的部分先变形，再排查公因式，尤其要注意$b-a=-(a-b)$这类符号变形带来的隐藏公因式，避免漏判。
【难度系数】
0.7
2.若$m - n = 2$,则代数式$\dfrac{m^2 - n^2}{m} · \dfrac{2m}{m + n}$的值是 （
A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$
D
）A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先观察代数式的结构，发现分子中出现平方差形式，优先利用因式分解中的平方差公式展开，再根据分式乘法的运算法则进行约分，将代数式化简为最简形式后，直接代入已知条件$m-n=2$即可求出结果，无需单独计算m、n的具体值，能简化计算过程。
【解析】
第一步：利用平方差公式分解因式，$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，代入原式得：
$\dfrac{(m+n)(m-n)}{m} · \dfrac{2m}{m + n}$
第二步：进行分式约分，约去分子分母的公因式$m$和$m+n$，化简得：
$2(m-n)$
第三步：代入已知条件$m-n=2$，计算得：
$2×2=4$
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，分式乘法运算，代数式化简求值
【点评】
本题是典型的代数式化简求值题，核心思路是先化简再代值，避免了求解单个未知数的繁琐过程，熟练掌握因式分解的常用公式和分式的运算法则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先观察代数式的结构，发现分子中出现平方差形式，优先利用因式分解中的平方差公式展开，再根据分式乘法的运算法则进行约分，将代数式化简为最简形式后，直接代入已知条件$m-n=2$即可求出结果，无需单独计算m、n的具体值，能简化计算过程。
【解析】
第一步：利用平方差公式分解因式，$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，代入原式得：
$\dfrac{(m+n)(m-n)}{m} · \dfrac{2m}{m + n}$
第二步：进行分式约分，约去分子分母的公因式$m$和$m+n$，化简得：
$2(m-n)$
第三步：代入已知条件$m-n=2$，计算得：
$2×2=4$
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，分式乘法运算，代数式化简求值
【点评】
本题是典型的代数式化简求值题，核心思路是先化简再代值，避免了求解单个未知数的繁琐过程，熟练掌握因式分解的常用公式和分式的运算法则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 如果 $ A = \frac{2}{1 - a^2}, B = \frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1} $，那么代数式A与B之间的关系是（
A.$ A + B = 0 $
B.$ A = B $
C.$ A · B = 0 $
D.$ A = 2B $
A
）A.$ A + B = 0 $
B.$ A = B $
C.$ A · B = 0 $
D.$ A = 2B $
答案
3.A
解析
【分析】
要判断代数式A和B的关系，首先需要先对B进行化简，B是异分母分式的减法运算，先通过通分将其转化为同分母分式，计算出B的最简形式，再和A的表达式对比即可得出两者的关系。
【解析】
首先化简代数式B：
异分母分式相减，先找最简公分母，分母$a-1$和$a+1$的最简公分母为$(a-1)(a+1)=a^2 -1$，通分得：
$\begin{aligned}B&=\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1}\\&=\frac{a+1}{(a-1)(a+1)} - \frac{a-1}{(a-1)(a+1)}\\&=\frac{(a+1)-(a-1)}{a^2 -1}\\&=\frac{a+1 -a +1}{a^2 -1}\\&=\frac{2}{a^2 -1}\end{aligned}$
再观察A的表达式：$A=\frac{2}{1 - a^2}=\frac{2}{-(a^2 -1)}=-\frac{2}{a^2 -1}$
因此可得$A = -B$，移项得$A + B = 0$，故选A选项。
【答案】
A
【知识点】
分式加减运算，分式化简，代数式关系判断
【点评】
本题核心考查分式的化简运算，解题的关键是正确对异分母分式进行通分化简，计算过程中要注意去括号、符号变形的准确性，避免因符号处理错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
要判断代数式A和B的关系，首先需要先对B进行化简，B是异分母分式的减法运算，先通过通分将其转化为同分母分式，计算出B的最简形式，再和A的表达式对比即可得出两者的关系。
【解析】
首先化简代数式B：
异分母分式相减，先找最简公分母，分母$a-1$和$a+1$的最简公分母为$(a-1)(a+1)=a^2 -1$，通分得：
$\begin{aligned}B&=\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1}\\&=\frac{a+1}{(a-1)(a+1)} - \frac{a-1}{(a-1)(a+1)}\\&=\frac{(a+1)-(a-1)}{a^2 -1}\\&=\frac{a+1 -a +1}{a^2 -1}\\&=\frac{2}{a^2 -1}\end{aligned}$
再观察A的表达式：$A=\frac{2}{1 - a^2}=\frac{2}{-(a^2 -1)}=-\frac{2}{a^2 -1}$
因此可得$A = -B$，移项得$A + B = 0$，故选A选项。
【答案】
A
【知识点】
分式加减运算，分式化简，代数式关系判断
【点评】
本题核心考查分式的化简运算，解题的关键是正确对异分母分式进行通分化简，计算过程中要注意去括号、符号变形的准确性，避免因符号处理错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 当$x=\dfrac{3}{4},y=\dfrac{1}{4}$时，分式$\dfrac{x^2 - x - y^2 - y}{x^2 + x - y^2 + y}=$
1. 当$x=\dfrac{3}{4},y=\dfrac{1}{4}$时，分式$\dfrac{x^2 - x - y^2 - y}{x^2 + x - y^2 + y}=$
$-\frac{1}{3}$
.答案
1.$-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题时优先对分式化简再代入数值，可降低计算量。首先观察分子、分母的结构，均含有$x^2-y^2$项，可先利用平方差公式分解$x^2-y^2$，再将剩余项分组提取公因式，约去分子分母的公因式后，代入$x、y$的数值计算即可。
【解析】
步骤1：对分子因式分解
$\begin{aligned}x^2 - x - y^2 - y&=(x^2 - y^2)-(x+y)\\&=(x+y)(x-y)-(x+y)\\&=(x+y)(x-y-1)\end{aligned}$
步骤2：对分母因式分解
$\begin{aligned}x^2 + x - y^2 + y&=(x^2 - y^2)+(x+y)\\&=(x+y)(x-y)+(x+y)\\&=(x+y)(x-y+1)\end{aligned}$
步骤3：约分化简
由$x=\frac{3}{4},y=\frac{1}{4}$可知$x+y=1≠0$，可约去公因式$(x+y)$，得：
原式$=\frac{x-y-1}{x-y+1}$
步骤4：代入数值计算
先算$x-y=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}+1}\\&=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}\\&=-\frac{1}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
因式分解、分式化简求值、平方差公式
【点评】
本题核心考查分式化简的技巧，解题关键是对分子分母合理分组进行因式分解，先约分再代入求值，相比直接代入数值运算更简便，能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
本题属于分式化简求值类题目，解题时优先对分式化简再代入数值，可降低计算量。首先观察分子、分母的结构，均含有$x^2-y^2$项，可先利用平方差公式分解$x^2-y^2$，再将剩余项分组提取公因式，约去分子分母的公因式后，代入$x、y$的数值计算即可。
【解析】
步骤1：对分子因式分解
$\begin{aligned}x^2 - x - y^2 - y&=(x^2 - y^2)-(x+y)\\&=(x+y)(x-y)-(x+y)\\&=(x+y)(x-y-1)\end{aligned}$
步骤2：对分母因式分解
$\begin{aligned}x^2 + x - y^2 + y&=(x^2 - y^2)+(x+y)\\&=(x+y)(x-y)+(x+y)\\&=(x+y)(x-y+1)\end{aligned}$
步骤3：约分化简
由$x=\frac{3}{4},y=\frac{1}{4}$可知$x+y=1≠0$，可约去公因式$(x+y)$，得：
原式$=\frac{x-y-1}{x-y+1}$
步骤4：代入数值计算
先算$x-y=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}+1}\\&=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}\\&=-\frac{1}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
因式分解、分式化简求值、平方差公式
【点评】
本题核心考查分式化简的技巧，解题关键是对分子分母合理分组进行因式分解，先约分再代入求值，相比直接代入数值运算更简便，能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
2. 使分式$\frac{m^2 - n^2}{a^2 m - a^2 n} · \frac{am + an}{(m + n)^2}$的值等于5的a的值为
$\frac{1}{5}$
.答案
2.$\frac{1}{5}$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先对分式中能因式分解的分子、分母进行因式分解，再依据分式乘法法则约分，将原式化简为只含a的最简代数式；第二步令化简后的代数式等于5，解关于a的方程即可得到a的值，约分过程要注意隐含的分母不为0的条件，保证化简有意义。
【解析】
先对原式各部分因式分解：
分子$m^2-n^2$利用平方差公式分解为$(m+n)(m-n)$，
分母$a^2m - a^2n$提取公因式$a^2$得$a^2(m-n)$，
分子$am+an$提取公因式$a$得$a(m+n)$，
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(m+n)(m-n)}{a^2(m-n)} · \frac{a(m+n)}{(m+n)^2}\\&=\frac{m+n}{a^2} · \frac{a}{m+n} \quad (\mathrm{约去公因式，需满足}m≠\pm n,a≠0)\\&=\frac{1}{a}\end{aligned}$
根据题意原式的值等于5，可得：
$\frac{1}{a}=5$
解得$a=\frac{1}{5}$，经检验$a=\frac{1}{5}$时分式有意义，符合要求。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的乘法运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题核心是先化简再求值，避免直接代入运算的复杂计算，解题关键是准确对多项式进行因式分解，约分过程要注意保证各分母不为0，确保化简过程合法有效。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先对分式中能因式分解的分子、分母进行因式分解，再依据分式乘法法则约分，将原式化简为只含a的最简代数式；第二步令化简后的代数式等于5，解关于a的方程即可得到a的值，约分过程要注意隐含的分母不为0的条件，保证化简有意义。
【解析】
先对原式各部分因式分解：
分子$m^2-n^2$利用平方差公式分解为$(m+n)(m-n)$，
分母$a^2m - a^2n$提取公因式$a^2$得$a^2(m-n)$，
分子$am+an$提取公因式$a$得$a(m+n)$，
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(m+n)(m-n)}{a^2(m-n)} · \frac{a(m+n)}{(m+n)^2}\\&=\frac{m+n}{a^2} · \frac{a}{m+n} \quad (\mathrm{约去公因式，需满足}m≠\pm n,a≠0)\\&=\frac{1}{a}\end{aligned}$
根据题意原式的值等于5，可得：
$\frac{1}{a}=5$
解得$a=\frac{1}{5}$，经检验$a=\frac{1}{5}$时分式有意义，符合要求。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的乘法运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题核心是先化简再求值，避免直接代入运算的复杂计算，解题关键是准确对多项式进行因式分解，约分过程要注意保证各分母不为0，确保化简过程合法有效。
【难度系数】
0.7
3. 已知$\frac{a}{x+2}$与$\frac{b}{x-2}$的和等于$\frac{4x}{x^2 -4}$，则$a+b=$
4
.答案
3.4
解析
【分析】
解题思路：首先观察到等式左边两个分式的分母分别为$x+2$和$x-2$，右边分式的分母$x^2-4$可因式分解为$(x+2)(x-2)$，是左边两个分母的最简公分母。先对左边的分式通分相加，再根据“分母相等的两个分式若相等，则分子相等”的性质，得到关于$x$的恒等式，最后通过对应系数相等即可直接求出$a+b$的值。
【解析】
由题意得：
$\frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-2} = \frac{4x}{x^2-4}$
对左边分式通分，最简公分母为$(x+2)(x-2)=x^2-4$，则：
$\frac{a(x-2) + b(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{4x}{x^2-4}$
当$x≠±2$时分式有意义，此时两个分式分母相同且相等，因此分子相等：
$a(x-2) + b(x+2) = 4x$
展开并合并同类项得：
$(a+b)x + (-2a + 2b) = 4x + 0$
根据多项式相等时对应项系数相等，可得一次项系数$a+b=4$。
【答案】
4
【知识点】
分式加减运算；多项式恒等条件；分式通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是通过通分将异分母分式转化为同分母分式，再利用分子恒等的性质求解，熟练掌握分式加减运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察到等式左边两个分式的分母分别为$x+2$和$x-2$，右边分式的分母$x^2-4$可因式分解为$(x+2)(x-2)$，是左边两个分母的最简公分母。先对左边的分式通分相加，再根据“分母相等的两个分式若相等，则分子相等”的性质，得到关于$x$的恒等式，最后通过对应系数相等即可直接求出$a+b$的值。
【解析】
由题意得：
$\frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-2} = \frac{4x}{x^2-4}$
对左边分式通分，最简公分母为$(x+2)(x-2)=x^2-4$，则：
$\frac{a(x-2) + b(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{4x}{x^2-4}$
当$x≠±2$时分式有意义，此时两个分式分母相同且相等，因此分子相等：
$a(x-2) + b(x+2) = 4x$
展开并合并同类项得：
$(a+b)x + (-2a + 2b) = 4x + 0$
根据多项式相等时对应项系数相等，可得一次项系数$a+b=4$。
【答案】
4
【知识点】
分式加减运算；多项式恒等条件；分式通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是通过通分将异分母分式转化为同分母分式，再利用分子恒等的性质求解，熟练掌握分式加减运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 当$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$时，求$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$的值。
1. 当$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$时，求$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$的值。
答案
1.$\frac{3}{5}$
解析
【分析】
本题是分式条件求值题，直接求解x、y的具体值较为繁琐，因此考虑用整体代入的思想简化计算。观察已知条件是关于$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$的关系式，所求分式是含x、y、xy的整式组合，可通过两种思路转化：一是利用分式基本性质，将所求分式的分子分母同时除以xy（由原式分母可知x、y均不为0，故xy≠0，变形合法），将分式转化为含$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$的形式，直接代入已知条件计算；二是先将已知条件通分变形，得到x-y与xy的数量关系，再整体代入所求分式约分求值，两种方法均可避免求解未知数的复杂运算。
【解析】
方法一：
由$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3$可知$x≠0$，$y≠0$，因此$xy≠0$。
将所求分式$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$的分子、分母同时除以$xy$，得：
分子：$\frac{2x}{xy}+\frac{3xy}{xy}-\frac{2y}{xy}=\frac{2}{y}+3-\frac{2}{x}=3-2(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})$
分母：$\frac{x}{xy}-\frac{2xy}{xy}-\frac{y}{xy}=\frac{1}{y}-2-\frac{1}{x}=-(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})-2$
将$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3$代入上述变形后的式子：
原式$=\frac{3-2×3}{-3-2}=\frac{3-6}{-5}=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}$
方法二：
先对已知条件通分变形：
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}=3$，因此$y-x=3xy$，即$x-y=-3xy$。
将$x-y=-3xy$代入所求分式：
分子：$2x+3xy-2y=2(x-y)+3xy=2×(-3xy)+3xy=-6xy+3xy=-3xy$
分母：$x-2xy-y=(x-y)-2xy=-3xy-2xy=-5xy$
因此原式$=\frac{-3xy}{-5xy}=\frac{3}{5}$（$xy≠0$，可约分）
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
分式的基本性质、整体代入求值、分式化简
【点评】
本题是分式求值类的典型基础题，解题核心是通过对已知条件或所求式子的合理变形，运用整体代入思想简化运算，无需单独求解未知数，能有效考查学生对分式性质的掌握程度和代数变形的思维能力。
【难度系数】
0.7
本题是分式条件求值题，直接求解x、y的具体值较为繁琐，因此考虑用整体代入的思想简化计算。观察已知条件是关于$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$的关系式，所求分式是含x、y、xy的整式组合，可通过两种思路转化：一是利用分式基本性质，将所求分式的分子分母同时除以xy（由原式分母可知x、y均不为0，故xy≠0，变形合法），将分式转化为含$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$的形式，直接代入已知条件计算；二是先将已知条件通分变形，得到x-y与xy的数量关系，再整体代入所求分式约分求值，两种方法均可避免求解未知数的复杂运算。
【解析】
方法一：
由$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3$可知$x≠0$，$y≠0$，因此$xy≠0$。
将所求分式$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$的分子、分母同时除以$xy$，得：
分子：$\frac{2x}{xy}+\frac{3xy}{xy}-\frac{2y}{xy}=\frac{2}{y}+3-\frac{2}{x}=3-2(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})$
分母：$\frac{x}{xy}-\frac{2xy}{xy}-\frac{y}{xy}=\frac{1}{y}-2-\frac{1}{x}=-(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})-2$
将$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3$代入上述变形后的式子：
原式$=\frac{3-2×3}{-3-2}=\frac{3-6}{-5}=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}$
方法二：
先对已知条件通分变形：
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}=3$，因此$y-x=3xy$，即$x-y=-3xy$。
将$x-y=-3xy$代入所求分式：
分子：$2x+3xy-2y=2(x-y)+3xy=2×(-3xy)+3xy=-6xy+3xy=-3xy$
分母：$x-2xy-y=(x-y)-2xy=-3xy-2xy=-5xy$
因此原式$=\frac{-3xy}{-5xy}=\frac{3}{5}$（$xy≠0$，可约分）
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
分式的基本性质、整体代入求值、分式化简
【点评】
本题是分式求值类的典型基础题，解题核心是通过对已知条件或所求式子的合理变形，运用整体代入思想简化运算，无需单独求解未知数，能有效考查学生对分式性质的掌握程度和代数变形的思维能力。
【难度系数】
0.7
