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2. 已知分式$\frac{2x+a}{x-b}$（$a,b$为常数）满足表格中的信息.
(1)$b$的值是
(2)求$c$的值.
(1)$b$的值是
1
.(2)求$c$的值.
答案
2. (1)1
(2)4
(2)4
解析
【分析】
(1) 解题时先回忆分式无意义的条件：当分式的分母为0时，分式无意义。已知x=1时分式无意义，将x=1代入分母令其等于0，即可求出b的值。
(2) 先回忆分式值为0的条件：分子为0且分母不为0。已知x=-1时分式值为0，代入分子求出a的值，验证此时分母不为0确认a的取值后，将x=3和求得的a、b的值代入分式计算，即可得到c的值。
【解析】
(1) 分式无意义时分母为0，由x=1时分式无意义可得：
$1 - b = 0$
解得$b=1$。
(2) 分式值为0时，需满足分子为0且分母不为0，由x=-1时分式值为0可得：
$2×(-1) + a = 0$，
解得$a=2$，此时分母$x-b=-1-1=-2≠0$，符合要求。
因此原分式为$\frac{2x+2}{x-1}$，将x=3代入得：
$c=\frac{2×3 + 2}{3-1}=\frac{8}{2}=4$。
【答案】
(1)1；(2)4
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件；分式求值
【点评】
本题考查分式的基础性质应用，解题关键是牢记分式值为0要同时满足分子为0、分母不为0两个条件，不要遗漏分母不为0的限制。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时先回忆分式无意义的条件：当分式的分母为0时，分式无意义。已知x=1时分式无意义，将x=1代入分母令其等于0，即可求出b的值。
(2) 先回忆分式值为0的条件：分子为0且分母不为0。已知x=-1时分式值为0，代入分子求出a的值，验证此时分母不为0确认a的取值后，将x=3和求得的a、b的值代入分式计算，即可得到c的值。
【解析】
(1) 分式无意义时分母为0，由x=1时分式无意义可得：
$1 - b = 0$
解得$b=1$。
(2) 分式值为0时，需满足分子为0且分母不为0，由x=-1时分式值为0可得：
$2×(-1) + a = 0$，
解得$a=2$，此时分母$x-b=-1-1=-2≠0$，符合要求。
因此原分式为$\frac{2x+2}{x-1}$，将x=3代入得：
$c=\frac{2×3 + 2}{3-1}=\frac{8}{2}=4$。
【答案】
(1)1；(2)4
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件；分式求值
【点评】
本题考查分式的基础性质应用，解题关键是牢记分式值为0要同时满足分子为0、分母不为0两个条件，不要遗漏分母不为0的限制。
【难度系数】
0.8
3. 数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，$A=2x+2$，$B=x^2 -1$，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题.
(1)瑞瑞:求$A+B$的最小值；
(2)轩轩:若$\frac{A}{B}$的值为正整数，求整数$x$的值.
(1)瑞瑞:求$A+B$的最小值；
(2)轩轩:若$\frac{A}{B}$的值为正整数，求整数$x$的值.
答案
3. (1)0
(2)$x=2$或$x=3$
(2)$x=2$或$x=3$
解析
【分析】
(1) 要求$A+B$的最小值，首先将$A$、$B$的表达式代入$A+B$中，合并同类项化简式子，再利用完全平方公式将化简结果写成平方的形式，根据平方的非负性即可求出最小值。
(2) 要求使$\frac{A}{B}$为正整数的整数$x$，首先代入$A$、$B$的表达式，先根据分式有意义的条件（分母不为0）排除不符合的$x$值，再对分子分母因式分解，约去公因式化简分式，最后根据分式值为正整数的条件，找出分母的正约数，进而求出整数$x$的值。
【解析】
(1) 把$A=2x+2$，$B=x^2-1$代入$A+B$得：
$\begin{aligned}A+B&=(2x+2)+(x^2-1)\\&=x^2+2x+1\\&=(x+1)^2\end{aligned}$
因为任意实数的平方是非负数，即$(x+1)^2≥0$，因此$A+B$的最小值为0。
(2) 把$A=2x+2$，$B=x^2-1$代入$\frac{A}{B}$得：
$\frac{A}{B}=\frac{2x+2}{x^2-1}$
分式有意义的前提是分母不为0，即$x^2-1≠0$，解得$x≠\pm1$。
对分子分母因式分解后约分化简：
$\frac{A}{B}=\frac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{2}{x-1}$（$x≠-1$）
因为$\frac{A}{B}$的值为正整数，且$x$为整数，所以$x-1$是2的正约数。
2的正约数为1、2，因此：
当$x-1=1$时，$x=2$；
当$x-1=2$时，$x=3$。
两个解均满足分母不为0的要求，符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$；(2) $\boldsymbol{x=2}$或$\boldsymbol{x=3}$
【知识点】
1. 配方法求最值
2. 分式有意义的条件
3. 因式分解的应用
【点评】
本题属于代数综合基础题，考查了整式运算、完全平方公式的非负性以及分式化简的相关知识，解题时要注意分式问题中分母不为0是隐含的前提条件，避免漏考虑约束条件出现错误解。
【难度系数】
0.7
(1) 要求$A+B$的最小值，首先将$A$、$B$的表达式代入$A+B$中，合并同类项化简式子，再利用完全平方公式将化简结果写成平方的形式，根据平方的非负性即可求出最小值。
(2) 要求使$\frac{A}{B}$为正整数的整数$x$，首先代入$A$、$B$的表达式，先根据分式有意义的条件（分母不为0）排除不符合的$x$值，再对分子分母因式分解，约去公因式化简分式，最后根据分式值为正整数的条件，找出分母的正约数，进而求出整数$x$的值。
【解析】
(1) 把$A=2x+2$，$B=x^2-1$代入$A+B$得：
$\begin{aligned}A+B&=(2x+2)+(x^2-1)\\&=x^2+2x+1\\&=(x+1)^2\end{aligned}$
因为任意实数的平方是非负数，即$(x+1)^2≥0$，因此$A+B$的最小值为0。
(2) 把$A=2x+2$，$B=x^2-1$代入$\frac{A}{B}$得：
$\frac{A}{B}=\frac{2x+2}{x^2-1}$
分式有意义的前提是分母不为0，即$x^2-1≠0$，解得$x≠\pm1$。
对分子分母因式分解后约分化简：
$\frac{A}{B}=\frac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{2}{x-1}$（$x≠-1$）
因为$\frac{A}{B}$的值为正整数，且$x$为整数，所以$x-1$是2的正约数。
2的正约数为1、2，因此：
当$x-1=1$时，$x=2$；
当$x-1=2$时，$x=3$。
两个解均满足分母不为0的要求，符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$；(2) $\boldsymbol{x=2}$或$\boldsymbol{x=3}$
【知识点】
1. 配方法求最值
2. 分式有意义的条件
3. 因式分解的应用
【点评】
本题属于代数综合基础题，考查了整式运算、完全平方公式的非负性以及分式化简的相关知识，解题时要注意分式问题中分母不为0是隐含的前提条件，避免漏考虑约束条件出现错误解。
【难度系数】
0.7
4. 已知$x^2 + 3x + 1 = 0$,
求:(1)$x + \frac{1}{x}$的值;
(2)$x^2 + \frac{1}{x^2} + 2x + \frac{2}{x}$的值.
求:(1)$x + \frac{1}{x}$的值;
(2)$x^2 + \frac{1}{x^2} + 2x + \frac{2}{x}$的值.
答案
4. (1)-3
(2)1
(2)1
解析
【分析】
解题前首先判断x的取值：将x=0代入已知方程，左边为1≠0，因此x≠0，具备两边同除以x的条件。
(1)求$x+\frac{1}{x}$时，可直接对已知方程两边同时除以x，变形后移项即可得到结果；
(2)求第二问的代数式值时，无需解出x的具体值，先利用完全平方公式将$x^2+\frac{1}{x^2}$变形为$(x+\frac{1}{x})^2 - 2$，再将含$x+\frac{1}{x}$的项合并，整体代入第一问的结果计算即可，简化运算过程。
【解析】
(1) 当x=0时，代入方程$x^2+3x+1=0$，左边=1≠0，故x≠0。
将方程$x^2+3x+1=0$两边同时除以x，得：
$x + 3 + \frac{1}{x} = 0$
移项得：$x + \frac{1}{x} = -3$
(2) 先对所求代数式变形：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2· x·\frac{1}{x} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$
同时$2x + \frac{2}{x} = 2(x + \frac{1}{x})$
将$x + \frac{1}{x} = -3$代入上式：
原式 = $(-3)^2 - 2 + 2×(-3)$
= $9 - 2 - 6$
= $1$
【答案】
(1)$-3$；(2)$1$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的变形求值，解题核心是通过对已知方程合理变形得到基础代数式的值，再利用公式对所求式子变形后整体代入，避免了求解一元二次方程的复杂运算，体现了整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题前首先判断x的取值：将x=0代入已知方程，左边为1≠0，因此x≠0，具备两边同除以x的条件。
(1)求$x+\frac{1}{x}$时，可直接对已知方程两边同时除以x，变形后移项即可得到结果；
(2)求第二问的代数式值时，无需解出x的具体值，先利用完全平方公式将$x^2+\frac{1}{x^2}$变形为$(x+\frac{1}{x})^2 - 2$，再将含$x+\frac{1}{x}$的项合并，整体代入第一问的结果计算即可，简化运算过程。
【解析】
(1) 当x=0时，代入方程$x^2+3x+1=0$，左边=1≠0，故x≠0。
将方程$x^2+3x+1=0$两边同时除以x，得：
$x + 3 + \frac{1}{x} = 0$
移项得：$x + \frac{1}{x} = -3$
(2) 先对所求代数式变形：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2· x·\frac{1}{x} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$
同时$2x + \frac{2}{x} = 2(x + \frac{1}{x})$
将$x + \frac{1}{x} = -3$代入上式：
原式 = $(-3)^2 - 2 + 2×(-3)$
= $9 - 2 - 6$
= $1$
【答案】
(1)$-3$；(2)$1$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的变形求值，解题核心是通过对已知方程合理变形得到基础代数式的值，再利用公式对所求式子变形后整体代入，避免了求解一元二次方程的复杂运算，体现了整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
