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一、选择题
1. 下列代数式：$3x+\frac{1}{2},\frac{x}{π},\frac{1}{a},\frac{x}{x+1},\frac{5x+y}{2n(x-3)}$是分式的有 （
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
1. 下列代数式：$3x+\frac{1}{2},\frac{x}{π},\frac{1}{a},\frac{x}{x+1},\frac{5x+y}{2n(x-3)}$是分式的有 （
B
）A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
1.B
解析
【分析】
解决本题首先要明确分式的判定核心标准：若代数式的分母中含有字母，则为分式，注意π是圆周率，属于固定常数，不属于字母。解题时只需逐个分析所给代数式的分母，统计符合分式定义的数量即可得到答案。
【解析】
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$为整式，且$B$中含有字母，$B≠0$）的式子是分式，逐个判断如下：
1. $3x+\frac{1}{2}$：分母为常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{x}{π}$：分母为常数$π$，不含字母，属于整式，不是分式；
3. $\frac{1}{a}$：分母含有字母$a$，是分式；
4. $\frac{x}{x+1}$：分母含有字母$x$，是分式；
5. $\frac{5x+y}{2n(x-3)}$：分母含有字母$n$、$x$，是分式。
综上，共有3个分式。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义、整式与分式的区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易误将常数$π$当作字母，把$\frac{x}{π}$判定为分式，只要牢记分式的判定核心是分母含字母，就能准确作答。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确分式的判定核心标准：若代数式的分母中含有字母，则为分式，注意π是圆周率，属于固定常数，不属于字母。解题时只需逐个分析所给代数式的分母，统计符合分式定义的数量即可得到答案。
【解析】
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$为整式，且$B$中含有字母，$B≠0$）的式子是分式，逐个判断如下：
1. $3x+\frac{1}{2}$：分母为常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{x}{π}$：分母为常数$π$，不含字母，属于整式，不是分式；
3. $\frac{1}{a}$：分母含有字母$a$，是分式；
4. $\frac{x}{x+1}$：分母含有字母$x$，是分式；
5. $\frac{5x+y}{2n(x-3)}$：分母含有字母$n$、$x$，是分式。
综上，共有3个分式。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义、整式与分式的区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易误将常数$π$当作字母，把$\frac{x}{π}$判定为分式，只要牢记分式的判定核心是分母含字母，就能准确作答。
【难度系数】
0.7
2. 如果把分式$\frac{x-y}{x+y}$中的$x$和$y$都扩大10倍，那么分式的值（
A.扩大10倍
B.不变
C.缩小为原来的$\frac{1}{10}$
D.扩大100倍
B
）A.扩大10倍
B.不变
C.缩小为原来的$\frac{1}{10}$
D.扩大100倍
答案
2.B
解析
【分析】
解决这类分式中未知数扩大倍数的问题，思路是：首先将扩大后的未知数代入原分式，再利用分式的基本性质对新分式进行化简，最后将化简后的结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。
【解析】
已知原分式为$\frac{x-y}{x+y}$，将x和y都扩大10倍后，新的x为$10x$，新的y为$10y$，代入分式得：
$\frac{10x - 10y}{10x + 10y} = \frac{10(x - y)}{10(x + y)}$
因为10≠0，根据分式的基本性质，分子分母同时除以10，可约分得：
$\frac{10(x - y)}{10(x + y)} = \frac{x-y}{x+y}$
化简后结果和原分式完全相同，因此分式的值不变。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质；分式的化简
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题核心是正确代入扩大后的未知数值，结合分式基本性质化简对比即可求解，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
解决这类分式中未知数扩大倍数的问题，思路是：首先将扩大后的未知数代入原分式，再利用分式的基本性质对新分式进行化简，最后将化简后的结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。
【解析】
已知原分式为$\frac{x-y}{x+y}$，将x和y都扩大10倍后，新的x为$10x$，新的y为$10y$，代入分式得：
$\frac{10x - 10y}{10x + 10y} = \frac{10(x - y)}{10(x + y)}$
因为10≠0，根据分式的基本性质，分子分母同时除以10，可约分得：
$\frac{10(x - y)}{10(x + y)} = \frac{x-y}{x+y}$
化简后结果和原分式完全相同，因此分式的值不变。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质；分式的化简
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题核心是正确代入扩大后的未知数值，结合分式基本性质化简对比即可求解，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
3. 分式$\frac{17}{x+2}=\frac{17x}{x^2+2x}$自左至右变形成立的条件是 （
A.$x＜0$
B.$x＞0$
C.$x≠0$
D.$x≠0$或$x≠17$
C
）A.$x＜0$
B.$x＞0$
C.$x≠0$
D.$x≠0$或$x≠17$
答案
3.C
解析
【分析】
解题的核心依据是分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。首先观察等式两边的分母变化：右边分母$x^2+2x$可以因式分解为$x(x+2)$，说明变形过程是将左侧分式的分子、分母同时乘了整式$x$。要让变形合法，首先乘的这个整式$x$不能为0；其次原分式要有意义的前提是分母$x+2≠0$，但该约束不在选项范围内，因此核心成立条件为$x≠0$。
【解析】
要判断分式变形成立的条件，依据分式的基本性质分析：
1. 对右侧分母因式分解：$x^2+2x=x(x+2)$，可知左侧分式变形为右侧分式时，是分子、分母同时乘了$x$；
2. 根据分式基本性质，分子分母同乘的整式不能为0，因此$x≠0$；
3. 原分式$\frac{17}{x+2}$本身有意义的条件是$x+2≠0$（即$x≠-2$），该条件未出现在选项中，结合选项可知变形成立的条件为$x≠0$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题易错点是容易忽略分式变形时，分子分母同乘的整式不能为0的要求，做题时要先分析变形过程中乘除的整式是什么，再判断其取值限制。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。首先观察等式两边的分母变化：右边分母$x^2+2x$可以因式分解为$x(x+2)$，说明变形过程是将左侧分式的分子、分母同时乘了整式$x$。要让变形合法，首先乘的这个整式$x$不能为0；其次原分式要有意义的前提是分母$x+2≠0$，但该约束不在选项范围内，因此核心成立条件为$x≠0$。
【解析】
要判断分式变形成立的条件，依据分式的基本性质分析：
1. 对右侧分母因式分解：$x^2+2x=x(x+2)$，可知左侧分式变形为右侧分式时，是分子、分母同时乘了$x$；
2. 根据分式基本性质，分子分母同乘的整式不能为0，因此$x≠0$；
3. 原分式$\frac{17}{x+2}$本身有意义的条件是$x+2≠0$（即$x≠-2$），该条件未出现在选项中，结合选项可知变形成立的条件为$x≠0$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题易错点是容易忽略分式变形时，分子分母同乘的整式不能为0的要求，做题时要先分析变形过程中乘除的整式是什么，再判断其取值限制。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 当a
1. 当a
＜8
时，分式$\frac{4}{8 - a}$的值为正；当b＞1
时，分式$\frac{1 - b}{2b^2 + 1}$的值为负。答案
1. ＜8 ＞1
解析
【分析】
判断分式值的正负，要依据“两数相除，同号得正，异号得负”的规律，同时要保证分式有意义（分母不为0）。对于第一个分式，分子是正数4，因此只需分母为正就能让分式值为正；第二个分式的分母含有平方项，根据平方的非负性可知分母恒为正数，因此只需分子为负就能让分式值为负，最后分别解对应的不等式即可得出结果。
【解析】
1. 求使$\frac{4}{8 - a}$的值为正的$a$的取值范围：
分式的分子$4＞0$，要使分式值为正，需分子分母同号，即分母$8-a＞0$，
解不等式：移项得$-a＞-8$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$a＜8$，此时分母大于0，分式有意义，符合要求。
2. 求使$\frac{1 - b}{2b^2 + 1}$的值为负的$b$的取值范围：
先分析分母：由平方的非负性可知$b^2≥0$，因此$2b^2≥0$，可得$2b^2+1≥1＞0$，即分母恒为正，
要使分式值为负，需分子分母异号，即分子$1-b＜0$，
解不等式：移项得$-b＜-1$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$b＞1$，符合要求。
【答案】
＜8；＞1
【知识点】
分式正负性判断；解一元一次不等式；平方的非负性
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是先判断分母的正负性，再结合有理数除法的符号规律将问题转化为解一元一次不等式，注意解系数为负数的不等式时，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.85
判断分式值的正负，要依据“两数相除，同号得正，异号得负”的规律，同时要保证分式有意义（分母不为0）。对于第一个分式，分子是正数4，因此只需分母为正就能让分式值为正；第二个分式的分母含有平方项，根据平方的非负性可知分母恒为正数，因此只需分子为负就能让分式值为负，最后分别解对应的不等式即可得出结果。
【解析】
1. 求使$\frac{4}{8 - a}$的值为正的$a$的取值范围：
分式的分子$4＞0$，要使分式值为正，需分子分母同号，即分母$8-a＞0$，
解不等式：移项得$-a＞-8$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$a＜8$，此时分母大于0，分式有意义，符合要求。
2. 求使$\frac{1 - b}{2b^2 + 1}$的值为负的$b$的取值范围：
先分析分母：由平方的非负性可知$b^2≥0$，因此$2b^2≥0$，可得$2b^2+1≥1＞0$，即分母恒为正，
要使分式值为负，需分子分母异号，即分子$1-b＜0$，
解不等式：移项得$-b＜-1$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$b＞1$，符合要求。
【答案】
＜8；＞1
【知识点】
分式正负性判断；解一元一次不等式；平方的非负性
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是先判断分母的正负性，再结合有理数除法的符号规律将问题转化为解一元一次不等式，注意解系数为负数的不等式时，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.85
2.若把分式$\frac{x+y}{x^2 - y^2}$中的字母$x$和$y$的值同时扩大3倍后，分式的值为$\frac{1}{3}$，则$x - y =$
1
.答案
2. 1
解析
【分析】
解题时首先观察分式的分母是平方差结构，可先用平方差公式因式分解，对原分式进行化简；再将x、y同时扩大3倍代入分式，结合分式的基本性质化简扩大后的分式；最后根据题目给出的扩大后分式的值为$\frac{1}{3}$列等式，求解即可得到$x-y$的值，注意约分时要满足分式有意义的隐含条件（分母不为0）。
【解析】
步骤1：化简原分式
由平方差公式可得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，
因为原分式有意义，所以$x^2-y^2≠0$，即$x+y≠0$且$x-y≠0$，
因此原分式可约分为：$\frac{x+y}{x^2-y^2}=\frac{x+y}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x-y}$。
步骤2：计算x、y同时扩大3倍后的分式值
将x、y替换为3x、3y代入原分式，得：
$\frac{3x+3y}{(3x)^2-(3y)^2}=\frac{3(x+y)}{9x^2-9y^2}=\frac{3(x+y)}{9(x^2-y^2)}=\frac{x+y}{3(x^2-y^2)}$
代入步骤1的化简结果，可得扩大后的分式值为$\frac{1}{3(x-y)}$。
步骤3：列等式求解
由题知扩大后分式的值为$\frac{1}{3}$，因此：
$\frac{1}{3(x-y)}=\frac{1}{3}$
两边同时乘以$3(x-y)$（$x-y≠0$，等式成立），得$1=x-y$，即$x-y=1$。
【答案】
1
【知识点】
平方差公式、分式的基本性质、分式化简求值
【点评】
本题侧重考察分式相关性质和因式分解的综合应用，解题核心是先对原分式化简，降低后续计算难度，同时要注意分式有意义的隐含条件，避免无意义的约分或计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察分式的分母是平方差结构，可先用平方差公式因式分解，对原分式进行化简；再将x、y同时扩大3倍代入分式，结合分式的基本性质化简扩大后的分式；最后根据题目给出的扩大后分式的值为$\frac{1}{3}$列等式，求解即可得到$x-y$的值，注意约分时要满足分式有意义的隐含条件（分母不为0）。
【解析】
步骤1：化简原分式
由平方差公式可得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，
因为原分式有意义，所以$x^2-y^2≠0$，即$x+y≠0$且$x-y≠0$，
因此原分式可约分为：$\frac{x+y}{x^2-y^2}=\frac{x+y}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x-y}$。
步骤2：计算x、y同时扩大3倍后的分式值
将x、y替换为3x、3y代入原分式，得：
$\frac{3x+3y}{(3x)^2-(3y)^2}=\frac{3(x+y)}{9x^2-9y^2}=\frac{3(x+y)}{9(x^2-y^2)}=\frac{x+y}{3(x^2-y^2)}$
代入步骤1的化简结果，可得扩大后的分式值为$\frac{1}{3(x-y)}$。
步骤3：列等式求解
由题知扩大后分式的值为$\frac{1}{3}$，因此：
$\frac{1}{3(x-y)}=\frac{1}{3}$
两边同时乘以$3(x-y)$（$x-y≠0$，等式成立），得$1=x-y$，即$x-y=1$。
【答案】
1
【知识点】
平方差公式、分式的基本性质、分式化简求值
【点评】
本题侧重考察分式相关性质和因式分解的综合应用，解题核心是先对原分式化简，降低后续计算难度，同时要注意分式有意义的隐含条件，避免无意义的约分或计算。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数都化为整数：
(1)$\frac{2x + 1}{0.25x + 0.1}$；
(2)$\frac{\frac{1}{2}a - 3b}{1.2a + \frac{3}{2}b}$；
(3)$\frac{1 + 0.2x + \frac{1}{3}y}{1 - 0.3x - \frac{1}{2}y}$。
1. 不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数都化为整数：
(1)$\frac{2x + 1}{0.25x + 0.1}$；
(2)$\frac{\frac{1}{2}a - 3b}{1.2a + \frac{3}{2}b}$；
(3)$\frac{1 + 0.2x + \frac{1}{3}y}{1 - 0.3x - \frac{1}{2}y}$。
答案
1. (1)$\frac{40x + 20}{5x + 2}$
(2)$\frac{5a - 30b}{12a + 15b}$
(3)$\frac{30 + 6x + 10y}{30 - 9x - 15y}$
(2)$\frac{5a - 30b}{12a + 15b}$
(3)$\frac{30 + 6x + 10y}{30 - 9x - 15y}$
解析
【分析】
解题依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。解题思路如下：1. 先观察分子、分母中所有项的系数，若有小数可先转化为分数形式；2. 求出所有系数的分数分母的最小公倍数；3. 将分式的分子、分母同时乘这个最小公倍数，即可将各项系数化为整数，注意乘的时候要覆盖分子、分母的每一项，包括常数项，避免漏乘改变分式的值。
【解析】
(1) 观察分式$\frac{2x + 1}{0.25x + 0.1}$的系数，将小数化为分数得$0.25=\frac{1}{4}$，$0.1=\frac{1}{10}$，分母4和10的最小公倍数是20，分子分母同时乘20：
$\frac{2x + 1}{0.25x + 0.1}=\frac{(2x + 1)×20}{(0.25x + 0.1)×20}=\frac{40x + 20}{5x + 2}$
(2) 观察分式$\frac{\frac{1}{2}a - 3b}{1.2a + \frac{3}{2}b}$的系数，将小数化为分数得$1.2=\frac{6}{5}$，所有系数的分数分母为2、5，最小公倍数是10，分子分母同时乘10：
$\frac{\frac{1}{2}a - 3b}{1.2a + \frac{3}{2}b}=\frac{(\frac{1}{2}a - 3b)×10}{(1.2a + \frac{3}{2}b)×10}=\frac{5a - 30b}{12a + 15b}$
(3) 观察分式$\frac{1 + 0.2x + \frac{1}{3}y}{1 - 0.3x - \frac{1}{2}y}$的系数，将小数化为分数得$0.2=\frac{1}{5}$，$0.3=\frac{3}{10}$，所有系数的分数分母为5、3、10、2，最小公倍数是30，分子分母同时乘30：
$\frac{1 + 0.2x + \frac{1}{3}y}{1 - 0.3x - \frac{1}{2}y}=\frac{(1 + 0.2x + \frac{1}{3}y)×30}{(1 - 0.3x - \frac{1}{2}y)×30}=\frac{30 + 6x + 10y}{30 - 9x - 15y}$
【答案】
(1)$\frac{40x + 20}{5x + 2}$；(2)$\frac{5a - 30b}{12a + 15b}$；(3)$\frac{30 + 6x + 10y}{30 - 9x - 15y}$
【知识点】
1. 分式的基本性质；2. 最小公倍数计算；3. 分式化简
【点评】
本题是分式化简的基础题型，核心考查对分式基本性质的理解与应用，解题的易错点是计算时漏乘分子或分母中的常数项，只要准确找到最小公倍数，逐项相乘即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。解题思路如下：1. 先观察分子、分母中所有项的系数，若有小数可先转化为分数形式；2. 求出所有系数的分数分母的最小公倍数；3. 将分式的分子、分母同时乘这个最小公倍数，即可将各项系数化为整数，注意乘的时候要覆盖分子、分母的每一项，包括常数项，避免漏乘改变分式的值。
【解析】
(1) 观察分式$\frac{2x + 1}{0.25x + 0.1}$的系数，将小数化为分数得$0.25=\frac{1}{4}$，$0.1=\frac{1}{10}$，分母4和10的最小公倍数是20，分子分母同时乘20：
$\frac{2x + 1}{0.25x + 0.1}=\frac{(2x + 1)×20}{(0.25x + 0.1)×20}=\frac{40x + 20}{5x + 2}$
(2) 观察分式$\frac{\frac{1}{2}a - 3b}{1.2a + \frac{3}{2}b}$的系数，将小数化为分数得$1.2=\frac{6}{5}$，所有系数的分数分母为2、5，最小公倍数是10，分子分母同时乘10：
$\frac{\frac{1}{2}a - 3b}{1.2a + \frac{3}{2}b}=\frac{(\frac{1}{2}a - 3b)×10}{(1.2a + \frac{3}{2}b)×10}=\frac{5a - 30b}{12a + 15b}$
(3) 观察分式$\frac{1 + 0.2x + \frac{1}{3}y}{1 - 0.3x - \frac{1}{2}y}$的系数，将小数化为分数得$0.2=\frac{1}{5}$，$0.3=\frac{3}{10}$，所有系数的分数分母为5、3、10、2，最小公倍数是30，分子分母同时乘30：
$\frac{1 + 0.2x + \frac{1}{3}y}{1 - 0.3x - \frac{1}{2}y}=\frac{(1 + 0.2x + \frac{1}{3}y)×30}{(1 - 0.3x - \frac{1}{2}y)×30}=\frac{30 + 6x + 10y}{30 - 9x - 15y}$
【答案】
(1)$\frac{40x + 20}{5x + 2}$；(2)$\frac{5a - 30b}{12a + 15b}$；(3)$\frac{30 + 6x + 10y}{30 - 9x - 15y}$
【知识点】
1. 分式的基本性质；2. 最小公倍数计算；3. 分式化简
【点评】
本题是分式化简的基础题型，核心考查对分式基本性质的理解与应用，解题的易错点是计算时漏乘分子或分母中的常数项，只要准确找到最小公倍数，逐项相乘即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
