登录
3. $(a+3)^3 - 3(a+3)^2$；
4. $-m^2n(x-y)^n + mn^2(x-y)^{n+1}$。
4. $-m^2n(x-y)^n + mn^2(x-y)^{n+1}$。
答案
3. $a(a + 3)^2$
4. $-mn(x - y)^n(m - nx + ny)$
4. $-mn(x - y)^n(m - nx + ny)$
解析
【分析】
这两道题均考查用提公因式法进行因式分解，解题思路如下：
第3题：先观察多项式两项的公共因式，两项都含有公因式$(a+3)^2$，提取公因式后化简剩余的整式即可得到结果；
第4题：分三部分确定公因式：①系数的最大公约数（优先提取负号简化运算），②相同字母的最低次幂，③相同多项式因式的最低次幂，确定公因式为$-mn(x-y)^n$后，提取公因式再化简剩余部分，注意去括号时的符号变化。
【解析】
3. 解：观察多项式可知两项公因式为$(a+3)^2$，提取公因式计算：
$\begin{aligned}(a+3)^3 - 3(a+3)^2&=(a+3)^2·(a+3) - (a+3)^2·3\\&=(a+3)^2[(a+3)-3]\\&=a(a+3)^2\end{aligned}$
4. 解：确定公因式为$-mn(x-y)^n$，提取公因式后化简：
$\begin{aligned}-m^2n(x-y)^n + mn^2(x-y)^{n+1}&=-mn(x-y)^n· m + [-mn(x-y)^n]·[-n(x-y)]\\&=-mn(x-y)^n[m - n(x-y)]\\&=-mn(x-y)^n(m - nx + ny)\end{aligned}$
【答案】
3. $\boldsymbol{a(a + 3)^2}$
4. $\boldsymbol{-mn(x - y)^n(m - nx + ny)}$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的确定
3. 整式化简运算
【点评】
这两道是因式分解的常规基础题，核心考查提公因式法的运用，解题的关键是准确找出各项的公因式，提取公因式后要注意化简剩余项，尤其要注意负号和去括号时的符号变化，避免因符号失误出错。
【难度系数】
0.8
这两道题均考查用提公因式法进行因式分解，解题思路如下：
第3题：先观察多项式两项的公共因式，两项都含有公因式$(a+3)^2$，提取公因式后化简剩余的整式即可得到结果；
第4题：分三部分确定公因式：①系数的最大公约数（优先提取负号简化运算），②相同字母的最低次幂，③相同多项式因式的最低次幂，确定公因式为$-mn(x-y)^n$后，提取公因式再化简剩余部分，注意去括号时的符号变化。
【解析】
3. 解：观察多项式可知两项公因式为$(a+3)^2$，提取公因式计算：
$\begin{aligned}(a+3)^3 - 3(a+3)^2&=(a+3)^2·(a+3) - (a+3)^2·3\\&=(a+3)^2[(a+3)-3]\\&=a(a+3)^2\end{aligned}$
4. 解：确定公因式为$-mn(x-y)^n$，提取公因式后化简：
$\begin{aligned}-m^2n(x-y)^n + mn^2(x-y)^{n+1}&=-mn(x-y)^n· m + [-mn(x-y)^n]·[-n(x-y)]\\&=-mn(x-y)^n[m - n(x-y)]\\&=-mn(x-y)^n(m - nx + ny)\end{aligned}$
【答案】
3. $\boldsymbol{a(a + 3)^2}$
4. $\boldsymbol{-mn(x - y)^n(m - nx + ny)}$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的确定
3. 整式化简运算
【点评】
这两道是因式分解的常规基础题，核心考查提公因式法的运用，解题的关键是准确找出各项的公因式，提取公因式后要注意化简剩余项，尤其要注意负号和去括号时的符号变化，避免因符号失误出错。
【难度系数】
0.8
四、利用分解因式计算
1. $29×19.99 + 41×19.99 + 30×19.99$；
2. $23\frac{3}{5}×25 - 12\frac{2}{5}×25 + 8\frac{4}{5}×25$。
1. $29×19.99 + 41×19.99 + 30×19.99$；
2. $23\frac{3}{5}×25 - 12\frac{2}{5}×25 + 8\frac{4}{5}×25$。
答案
1. 1999
2. 500
2. 500
解析
【分析】
这两道题都属于利用因式分解简化有理数运算的题型，解题核心是观察算式中各项的公共因数，通过提取公因式将复杂的多步乘法转化为简单乘法计算：
1. 第一题的三个乘法项都含有相同因数19.99，先提取公因式19.99，再计算剩余系数的和，最后做乘法即可得出结果；
2. 第二题的三个乘法项都含有相同因数25，先提取公因式25，再计算剩余带分数的加减结果，最后做乘法即可得出结果。
【解析】
1. 解：
$\begin{split}&29×19.99 + 41×19.99 + 30×19.99\\=&19.99×(29+41+30)\\=&19.99×100\\=&1999\end{split}$
2. 解：
$\begin{split}&23\frac{3}{5}×25 - 12\frac{2}{5}×25 + 8\frac{4}{5}×25\\=&25×(23\frac{3}{5}-12\frac{2}{5}+8\frac{4}{5})\\=&25×[(23-12+8)+(\frac{3}{5}-\frac{2}{5}+\frac{4}{5})]\\=&25×(19 + 1)\\=&25×20\\=&500\end{split}$
【答案】
1. $\boxed{1999}$
2. $\boxed{500}$
【知识点】
提取公因式法分解因式、有理数简便运算
【点评】
此类题目是因式分解在运算中的基础应用，关键是准确识别各项的公因式，提取后可大幅降低运算量，减少计算错误，是需要熟练掌握的运算技巧。
【难度系数】
0.9
这两道题都属于利用因式分解简化有理数运算的题型，解题核心是观察算式中各项的公共因数，通过提取公因式将复杂的多步乘法转化为简单乘法计算：
1. 第一题的三个乘法项都含有相同因数19.99，先提取公因式19.99，再计算剩余系数的和，最后做乘法即可得出结果；
2. 第二题的三个乘法项都含有相同因数25，先提取公因式25，再计算剩余带分数的加减结果，最后做乘法即可得出结果。
【解析】
1. 解：
$\begin{split}&29×19.99 + 41×19.99 + 30×19.99\\=&19.99×(29+41+30)\\=&19.99×100\\=&1999\end{split}$
2. 解：
$\begin{split}&23\frac{3}{5}×25 - 12\frac{2}{5}×25 + 8\frac{4}{5}×25\\=&25×(23\frac{3}{5}-12\frac{2}{5}+8\frac{4}{5})\\=&25×[(23-12+8)+(\frac{3}{5}-\frac{2}{5}+\frac{4}{5})]\\=&25×(19 + 1)\\=&25×20\\=&500\end{split}$
【答案】
1. $\boxed{1999}$
2. $\boxed{500}$
【知识点】
提取公因式法分解因式、有理数简便运算
【点评】
此类题目是因式分解在运算中的基础应用，关键是准确识别各项的公因式，提取后可大幅降低运算量，减少计算错误，是需要熟练掌握的运算技巧。
【难度系数】
0.9
五、先化简,再求值
1. $3(x - 1)^3y - (1 - x)^3z$,其中$x = \frac{1}{2},y = \frac{1}{5},z = -\frac{6}{5};$
1. $3(x - 1)^3y - (1 - x)^3z$,其中$x = \frac{1}{2},y = \frac{1}{5},z = -\frac{6}{5};$
答案
1. 原式$=(x - 1)^3(3y + z) = \frac{3}{40}$
解析
【分析】
解题时先观察式子结构，发现两项中分别含有$(x-1)^3$和$(1-x)^3$，二者互为相反数，可先将$(1-x)^3$变形为$-(x-1)^3$，从而找到公因式$(x-1)^3$，用提公因式法对原式化简，再代入数值计算即可，这样能避免直接展开多项式带来的复杂运算，减少出错概率。
【解析】
首先对式子变形化简：
$\because (1-x)^3=[-(x-1)]^3=-(x-1)^3$
$\therefore$ 原式$=3(x-1)^3y - [-(x-1)^3]z$
$=3(x-1)^3y + (x-1)^3z$
提取公因式$(x-1)^3$得：
原式$=(x-1)^3(3y+z)$
代入$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{5},z=-\frac{6}{5}$计算：
先算$x-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，则$(x-1)^3=(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$
再算$3y+z=3×\frac{1}{5}+(-\frac{6}{5})=\frac{3}{5}-\frac{6}{5}=-\frac{3}{5}$
$\therefore$ 原式$=(-\frac{1}{8})×(-\frac{3}{5})=\frac{3}{40}$
【答案】
$\frac{3}{40}$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式化简求值；乘方运算
【点评】
本题核心是利用因式分解简化代数式求值过程，解题的关键是正确处理$(1-x)^3$的符号变形，找到公因式，能有效降低计算量，符号处理是本题的易错点。
【难度系数】
0.7
解题时先观察式子结构，发现两项中分别含有$(x-1)^3$和$(1-x)^3$，二者互为相反数，可先将$(1-x)^3$变形为$-(x-1)^3$，从而找到公因式$(x-1)^3$，用提公因式法对原式化简，再代入数值计算即可，这样能避免直接展开多项式带来的复杂运算，减少出错概率。
【解析】
首先对式子变形化简：
$\because (1-x)^3=[-(x-1)]^3=-(x-1)^3$
$\therefore$ 原式$=3(x-1)^3y - [-(x-1)^3]z$
$=3(x-1)^3y + (x-1)^3z$
提取公因式$(x-1)^3$得：
原式$=(x-1)^3(3y+z)$
代入$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{5},z=-\frac{6}{5}$计算：
先算$x-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，则$(x-1)^3=(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$
再算$3y+z=3×\frac{1}{5}+(-\frac{6}{5})=\frac{3}{5}-\frac{6}{5}=-\frac{3}{5}$
$\therefore$ 原式$=(-\frac{1}{8})×(-\frac{3}{5})=\frac{3}{40}$
【答案】
$\frac{3}{40}$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式化简求值；乘方运算
【点评】
本题核心是利用因式分解简化代数式求值过程，解题的关键是正确处理$(1-x)^3$的符号变形，找到公因式，能有效降低计算量，符号处理是本题的易错点。
【难度系数】
0.7
2. 已知$2x - y = \frac{1}{3}$，$xy = 2$，求$2x^4y^3 - x^3y^4$的值.
答案
2. 原式$=x^3y^3(2x - y) = \frac{8}{3}$
解析
【分析】
遇到已知两个代数式的值求复杂多项式值的问题，优先考虑将待求多项式因式分解，转化为用已知代数式表示的形式，再整体代入计算，无需单独求解x、y的值。首先观察待求式的两项，可发现公因式为$x^3y^3$，提取公因式后，结合积的乘方逆运算可将$x^3y^3$转化为$(xy)^3$，此时待求式恰好由已知的$2x-y$和$xy$两个整体组成，代入数值即可算出结果。
【解析】
解：先对待求式提取公因式$x^3y^3$：
$2x^4y^3 - x^3y^4 = x^3y^3(2x - y)$
根据积的乘方的逆运算，$x^3y^3=(xy)^3$，因此原式可改写为：
$原式=(xy)^3·(2x - y)$
将已知条件$2x - y = \frac{1}{3}$，$xy = 2$代入上式：
$原式=2^3×\frac{1}{3}=8×\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
提公因式因式分解，积的乘方逆用，整体代入求值
【点评】
本题主要考查因式分解的应用与整体代入的数学思想，通过因式分解将待求式转化为含已知条件的结构，避开了单独求解x、y的复杂运算，熟练掌握提公因式法和整体思想能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
遇到已知两个代数式的值求复杂多项式值的问题，优先考虑将待求多项式因式分解，转化为用已知代数式表示的形式，再整体代入计算，无需单独求解x、y的值。首先观察待求式的两项，可发现公因式为$x^3y^3$，提取公因式后，结合积的乘方逆运算可将$x^3y^3$转化为$(xy)^3$，此时待求式恰好由已知的$2x-y$和$xy$两个整体组成，代入数值即可算出结果。
【解析】
解：先对待求式提取公因式$x^3y^3$：
$2x^4y^3 - x^3y^4 = x^3y^3(2x - y)$
根据积的乘方的逆运算，$x^3y^3=(xy)^3$，因此原式可改写为：
$原式=(xy)^3·(2x - y)$
将已知条件$2x - y = \frac{1}{3}$，$xy = 2$代入上式：
$原式=2^3×\frac{1}{3}=8×\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
提公因式因式分解，积的乘方逆用，整体代入求值
【点评】
本题主要考查因式分解的应用与整体代入的数学思想，通过因式分解将待求式转化为含已知条件的结构，避开了单独求解x、y的复杂运算，熟练掌握提公因式法和整体思想能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
