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9.在$△ ABC$中，$AB⊥ BC$，在$AC$上截取$AE = AB = 4\ \mathrm{cm}$，过$E$点作$ED⊥ AC$交$CB$于$D$.若$△ CDE$的周长为10 cm，则$△ ABC$的周长等于
18 cm
.答案
9.18 cm
解析
【分析】
解题时首先连接辅助线AD，结合已知的垂直条件和AB=AE的边相等条件，可证明Rt△ABD和Rt△AED全等，得到BD=ED的等量关系；再将△CDE的周长进行等量代换，得到BC+EC的长度；最后结合△ABC周长的组成，代入已知的AB长度和转化后的式子即可求出结果。
【解析】
连接AD，
∵ AB⊥BC，ED⊥AC，
∴ ∠B = ∠AED = 90°，
在Rt△ABD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\quad(\mathrm{公共边})\\AB=AE\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴ Rt△ABD ≌ Rt△AED（HL），
∴ BD = ED。
∵ △CDE的周长为10 cm，
∴ CD + DE + EC = 10 cm，
将DE替换为BD，得：CD + BD + EC = BC + EC = 10 cm。
△ABC的周长 = AB + BC + AC，
又
∵ AC = AE + EC，AE = AB = 4 cm，
∴ 周长 = AB + BC + AE + EC = 4 cm + (BC + EC) + 4 cm = 4 + 10 + 4 = 18 cm。
【答案】
18 cm
【知识点】
1. 直角三角形全等判定（HL）
2. 全等三角形的性质
3. 周长等量代换
【点评】
本题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，利用全等的性质实现边的等量转换，将未知周长与已知周长建立关联，无需单独计算各边长度即可求解，体现了几何题中的转化思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先连接辅助线AD，结合已知的垂直条件和AB=AE的边相等条件，可证明Rt△ABD和Rt△AED全等，得到BD=ED的等量关系；再将△CDE的周长进行等量代换，得到BC+EC的长度；最后结合△ABC周长的组成，代入已知的AB长度和转化后的式子即可求出结果。
【解析】
连接AD，
∵ AB⊥BC，ED⊥AC，
∴ ∠B = ∠AED = 90°，
在Rt△ABD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\quad(\mathrm{公共边})\\AB=AE\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴ Rt△ABD ≌ Rt△AED（HL），
∴ BD = ED。
∵ △CDE的周长为10 cm，
∴ CD + DE + EC = 10 cm，
将DE替换为BD，得：CD + BD + EC = BC + EC = 10 cm。
△ABC的周长 = AB + BC + AC，
又
∵ AC = AE + EC，AE = AB = 4 cm，
∴ 周长 = AB + BC + AE + EC = 4 cm + (BC + EC) + 4 cm = 4 + 10 + 4 = 18 cm。
【答案】
18 cm
【知识点】
1. 直角三角形全等判定（HL）
2. 全等三角形的性质
3. 周长等量代换
【点评】
本题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，利用全等的性质实现边的等量转换，将未知周长与已知周长建立关联，无需单独计算各边长度即可求解，体现了几何题中的转化思想。
【难度系数】
0.7
10.如图,已知∠ADB = ∠ACB = 90°,AC = BD,且AC、BD相交于点O.有以下说法:①AD = BC；②∠DBC = ∠CAD；③AO = BO；④AB // CD；⑤△DOC为等腰三角形,其中正确的说法有
①②③④⑤
(填序号).答案
10.①②③④⑤
解析
【分析】
解题时先从已知的直角和相等边入手，首先利用HL判定证明两个直角三角形全等，再通过全等得到的边、角相等关系依次推导各个结论：首先证Rt△ADB≌Rt△BCA可直接得到①成立；再利用全等的对应角相等，通过角的差推出②成立；由等角对等边可证△OAB为等腰三角形得到③成立；结合AC=BD和AO=BO可推出OC=OD，既得⑤成立，又可通过等腰三角形底角相等推出内错角相等，得到④成立。
【解析】
1. 证明$Rt△ ADB ≌ Rt△ BCA$：
已知$∠ ADB = ∠ ACB = 90°$，在$Rt△ ADB$和$Rt△ BCA$中：
$\begin{cases} BD=AC \\ AB=BA \end{cases}$
根据HL判定定理，得$Rt△ ADB ≌ Rt△ BCA$，因此$AD=BC$，故①正确。
2. 由全等得$∠ DAB=∠ CBA$，$∠ DBA=∠ CAB$，因此$∠ DAB-∠ CAB=∠ CBA-∠ DBA$，即$∠ CAD=∠ DBC$，故②正确。
3. 由$∠ CAB=∠ DBA$，根据等角对等边，得$△ OAB$为等腰三角形，因此$AO=BO$，故③正确。
4. 已知$AC=BD$，且$AO=BO$，因此$AC-AO=BD-BO$，即$OC=OD$，故$△ DOC$为等腰三角形，⑤正确。
5. 由$OC=OD$得$∠ OCD=∠ ODC$，又$∠ COD=∠ AOB$，因此$∠ OCD=\frac{180°-∠ COD}{2}$，$∠ OAB=\frac{180°-∠ AOB}{2}$，可得$∠ OCD=∠ OAB$，内错角相等，两直线平行，因此$AB // CD$，④正确。
综上，①②③④⑤均正确。
【答案】
①②③④⑤
【知识点】
直角三角形全等判定，等腰三角形判定与性质，平行线判定
【点评】
本题属于三角形基础综合题，核心是先通过全等三角形证明得到边角相等的基础结论，再以此为依据逐一推导后续结论，需要学生熟练掌握全等、等腰、平行线的相关判定和性质，建立知识点之间的关联。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的直角和相等边入手，首先利用HL判定证明两个直角三角形全等，再通过全等得到的边、角相等关系依次推导各个结论：首先证Rt△ADB≌Rt△BCA可直接得到①成立；再利用全等的对应角相等，通过角的差推出②成立；由等角对等边可证△OAB为等腰三角形得到③成立；结合AC=BD和AO=BO可推出OC=OD，既得⑤成立，又可通过等腰三角形底角相等推出内错角相等，得到④成立。
【解析】
1. 证明$Rt△ ADB ≌ Rt△ BCA$：
已知$∠ ADB = ∠ ACB = 90°$，在$Rt△ ADB$和$Rt△ BCA$中：
$\begin{cases} BD=AC \\ AB=BA \end{cases}$
根据HL判定定理，得$Rt△ ADB ≌ Rt△ BCA$，因此$AD=BC$，故①正确。
2. 由全等得$∠ DAB=∠ CBA$，$∠ DBA=∠ CAB$，因此$∠ DAB-∠ CAB=∠ CBA-∠ DBA$，即$∠ CAD=∠ DBC$，故②正确。
3. 由$∠ CAB=∠ DBA$，根据等角对等边，得$△ OAB$为等腰三角形，因此$AO=BO$，故③正确。
4. 已知$AC=BD$，且$AO=BO$，因此$AC-AO=BD-BO$，即$OC=OD$，故$△ DOC$为等腰三角形，⑤正确。
5. 由$OC=OD$得$∠ OCD=∠ ODC$，又$∠ COD=∠ AOB$，因此$∠ OCD=\frac{180°-∠ COD}{2}$，$∠ OAB=\frac{180°-∠ AOB}{2}$，可得$∠ OCD=∠ OAB$，内错角相等，两直线平行，因此$AB // CD$，④正确。
综上，①②③④⑤均正确。
【答案】
①②③④⑤
【知识点】
直角三角形全等判定，等腰三角形判定与性质，平行线判定
【点评】
本题属于三角形基础综合题，核心是先通过全等三角形证明得到边角相等的基础结论，再以此为依据逐一推导后续结论，需要学生熟练掌握全等、等腰、平行线的相关判定和性质，建立知识点之间的关联。
【难度系数】
0.7
11.学校操场上有一圆形喷水池,小红想知道水池的直径,小刚帮小红想了一个办法,如图所示,
你知道小刚是利用我们学过的什么方法量出了MN的长就是喷水池的直径吗?
答:
你知道小刚是利用我们学过的什么方法量出了MN的长就是喷水池的直径吗?
答:
SAS 证全等再根据全等三角形的对应边相等
.答案
11.SAS 证全等再根据全等三角形的对应边相等
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要将无法直接测量的喷水池直径，转化为可直接测量的线段长度，可通过构造全等三角形实现该转化。首先标记圆直径的两个端点，从两个端点出发延伸出两组相等的线段，构造出分别包含直径和MN的两个三角形。观察两个三角形的边、角关系：两组对应边分别相等，夹角为对顶角也相等，满足SAS全等判定条件，证明全等后根据全等对应边相等，就能得到MN的长度等于直径长度。
【解析】
设喷水池直径的两个端点为A、B，AN与BM交于点O，构造时保证$OA=ON$，$OB=OM$。
在$△ AOB$和$△ NOM$中：
$\begin{cases}OA=ON \\∠ AOB=∠ NOM \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\OB=OM\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ NOM(\mathrm{SAS})$
根据全等三角形的对应边相等，可得$AB=MN$，因此测量出MN的长就是喷水池的直径。
【答案】
SAS 证全等再根据全等三角形的对应边相等
【知识点】
全等三角形SAS判定，对顶角的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，通过构造全等三角形将不可直接测量的线段长度转化为可测量的线段长度，考查了知识迁移应用能力和结合生活实际运用数学知识的意识。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要将无法直接测量的喷水池直径，转化为可直接测量的线段长度，可通过构造全等三角形实现该转化。首先标记圆直径的两个端点，从两个端点出发延伸出两组相等的线段，构造出分别包含直径和MN的两个三角形。观察两个三角形的边、角关系：两组对应边分别相等，夹角为对顶角也相等，满足SAS全等判定条件，证明全等后根据全等对应边相等，就能得到MN的长度等于直径长度。
【解析】
设喷水池直径的两个端点为A、B，AN与BM交于点O，构造时保证$OA=ON$，$OB=OM$。
在$△ AOB$和$△ NOM$中：
$\begin{cases}OA=ON \\∠ AOB=∠ NOM \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\OB=OM\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ NOM(\mathrm{SAS})$
根据全等三角形的对应边相等，可得$AB=MN$，因此测量出MN的长就是喷水池的直径。
【答案】
SAS 证全等再根据全等三角形的对应边相等
【知识点】
全等三角形SAS判定，对顶角的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，通过构造全等三角形将不可直接测量的线段长度转化为可测量的线段长度，考查了知识迁移应用能力和结合生活实际运用数学知识的意识。
【难度系数】
0.8
12.若$△ ABC≌△ A'B'C'$,AE和$A'E'$分别是$∠ BAC$和$∠ B'A'C'$的平分线,那么$△ ABE≌△ A'B'E'$,理由是
ASA
,由此推出$AE=A'E'$,从而说明全等三角形的对应角的平分线
相等.答案
12.ASA 对应角的平分线
解析
【分析】
解题时先从已知的两个大三角形全等的条件出发，利用全等三角形的性质得到对应边相等、对应角相等，再结合角平分线的定义，推导两个小三角形中相等的边角条件，对照全等判定定理即可得到证明小三角形全等的理由，最后根据两条线段的身份总结全等三角形的相关性质即可。
【解析】
已知$△ ABC≌△ A'B'C'$，根据全等三角形的性质可得：
$AB=A'B'$，$∠ B=∠ B'$，$∠ BAC=∠ B'A'C'$。
$\because$ $AE$和$A'E'$分别是$∠ BAC$和$∠ B'A'C'$的平分线，
$\therefore$ $∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B'A'E'=\frac{1}{2}∠ B'A'C'$，
$\therefore$ $∠ BAE=∠ B'A'E'$。
在$△ ABE$和$△ A'B'E'$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ B' \\AB=A'B' \\∠ BAE=∠ B'A'E'\end{cases}$
$\therefore$ $△ ABE≌△ A'B'E'$（ASA）。
根据全等三角形对应边相等可得$AE=A'E'$，其中$AE$、$A'E'$是全等三角形的对应角的平分线，由此说明全等三角形的对应角的平分线相等。
【答案】
ASA；对应角的平分线
【知识点】
全等三角形的性质，ASA判定定理，角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形性质和判定的基础应用题目，需要学生熟练掌握全等三角形的边角性质以及常见判定定理，同时能通过推导总结出全等三角形对应线段相等的相关结论，有助于加深对全等性质的理解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的两个大三角形全等的条件出发，利用全等三角形的性质得到对应边相等、对应角相等，再结合角平分线的定义，推导两个小三角形中相等的边角条件，对照全等判定定理即可得到证明小三角形全等的理由，最后根据两条线段的身份总结全等三角形的相关性质即可。
【解析】
已知$△ ABC≌△ A'B'C'$，根据全等三角形的性质可得：
$AB=A'B'$，$∠ B=∠ B'$，$∠ BAC=∠ B'A'C'$。
$\because$ $AE$和$A'E'$分别是$∠ BAC$和$∠ B'A'C'$的平分线，
$\therefore$ $∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B'A'E'=\frac{1}{2}∠ B'A'C'$，
$\therefore$ $∠ BAE=∠ B'A'E'$。
在$△ ABE$和$△ A'B'E'$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ B' \\AB=A'B' \\∠ BAE=∠ B'A'E'\end{cases}$
$\therefore$ $△ ABE≌△ A'B'E'$（ASA）。
根据全等三角形对应边相等可得$AE=A'E'$，其中$AE$、$A'E'$是全等三角形的对应角的平分线，由此说明全等三角形的对应角的平分线相等。
【答案】
ASA；对应角的平分线
【知识点】
全等三角形的性质，ASA判定定理，角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形性质和判定的基础应用题目，需要学生熟练掌握全等三角形的边角性质以及常见判定定理，同时能通过推导总结出全等三角形对应线段相等的相关结论，有助于加深对全等性质的理解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
13. 如图所示,已知AD,AE分别是△ABC的高和角平分线,且∠B=40°,∠C=70°,求∠DAE的度数.
13. 如图所示,已知AD,AE分别是△ABC的高和角平分线,且∠B=40°,∠C=70°,求∠DAE的度数.
答案
13.解:因为∠B = 40°,∠C = 70°,∠B + ∠BAC = 180°,所以∠BAC = 180° - 40° - 70° = 70°.因为AE是∠BAC的平分线,所以∠EAC = 1/2 ∠BAC = 35°.
又因为AD⊥BC,所以∠ADC = 90°,因为∠C = 70°,所以∠DAC = 20°,又因为∠EAD + ∠DAC = ∠EAC,所以∠DAE = ∠EAC - ∠DAC = 35° - 20° = 15°.
又因为AD⊥BC,所以∠ADC = 90°,因为∠C = 70°,所以∠DAC = 20°,又因为∠EAD + ∠DAC = ∠EAC,所以∠DAE = ∠EAC - ∠DAC = 35° - 20° = 15°.
解析
【分析】
要计算∠DAE的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B和∠C的度数，先求出△ABC的顶角∠BAC的度数；再根据AE是角平分线的定义，算出∠EAC的度数；然后根据AD是△ABC的高，可得△ADC是直角三角形，结合∠C的度数求出∠DAC的度数；最后观察图形可知∠DAE = ∠EAC - ∠DAC，代入对应数值即可求出结果。
【解析】
解：因为∠B = 40°，∠C = 70°，三角形内角和为180°，所以∠BAC = 180° - 40° - 70° = 70°。
因为AE是∠BAC的平分线，所以∠EAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = 35°。
又因为AD⊥BC，所以∠ADC = 90°，因为∠C = 70°，所以∠DAC = 90°-70°=20°。
因为∠EAD + ∠DAC = ∠EAC，所以∠DAE = ∠EAC - ∠DAC = 35° - 20° = 15°。
【答案】
15°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题核心是理清各角的数量关系，结合三角形的高、角平分线的性质以及内角和相关定理逐步推导，是巩固三角形基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
要计算∠DAE的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B和∠C的度数，先求出△ABC的顶角∠BAC的度数；再根据AE是角平分线的定义，算出∠EAC的度数；然后根据AD是△ABC的高，可得△ADC是直角三角形，结合∠C的度数求出∠DAC的度数；最后观察图形可知∠DAE = ∠EAC - ∠DAC，代入对应数值即可求出结果。
【解析】
解：因为∠B = 40°，∠C = 70°，三角形内角和为180°，所以∠BAC = 180° - 40° - 70° = 70°。
因为AE是∠BAC的平分线，所以∠EAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = 35°。
又因为AD⊥BC，所以∠ADC = 90°，因为∠C = 70°，所以∠DAC = 90°-70°=20°。
因为∠EAD + ∠DAC = ∠EAC，所以∠DAE = ∠EAC - ∠DAC = 35° - 20° = 15°。
【答案】
15°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题核心是理清各角的数量关系，结合三角形的高、角平分线的性质以及内角和相关定理逐步推导，是巩固三角形基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
