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1. 下列各式:①$-5＜2$;②$4x+7＞0$;③$x=5$;④$x^2 - xy + y^2$;⑤$x - 4 ＞ y + 1$. 其中是不等式的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
解题的核心依据是不等式的定义，首先明确：只要用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）连接、表示不等关系的式子就是不等式，和式子是否含有未知数无关。接下来我们逐个分析5个式子，排除等式、纯代数式等不符合定义的式子，统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
根据不等式的定义：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式，逐一判断如下：
①$-5＜2$：用小于号“＜”连接，属于不等式；
②$4x+7＞0$：用大于号“＞”连接，属于不等式；
③$x=5$：用等号“=”连接，是等式，不属于不等式；
④$x^2 - xy + y^2$：是没有连接符号的代数式，不属于不等式；
⑤$x - 4 ＞ y + 1$：用大于号“＞”连接，属于不等式。
综上，符合要求的不等式共3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
不等式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记不等式的判断标准（是否含不等号）即可快速解题，注意不要陷入“不等式必须含未知数”的误区，区分开不等式、等式、代数式的概念即可得分。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是不等式的定义，首先明确：只要用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）连接、表示不等关系的式子就是不等式，和式子是否含有未知数无关。接下来我们逐个分析5个式子，排除等式、纯代数式等不符合定义的式子，统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
根据不等式的定义：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式，逐一判断如下：
①$-5＜2$：用小于号“＜”连接，属于不等式；
②$4x+7＞0$：用大于号“＞”连接，属于不等式；
③$x=5$：用等号“=”连接，是等式，不属于不等式；
④$x^2 - xy + y^2$：是没有连接符号的代数式，不属于不等式；
⑤$x - 4 ＞ y + 1$：用大于号“＞”连接，属于不等式。
综上，符合要求的不等式共3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
不等式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记不等式的判断标准（是否含不等号）即可快速解题，注意不要陷入“不等式必须含未知数”的误区，区分开不等式、等式、代数式的概念即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 已知$a ＜ b$，则下列不等式中不正确的是 （）
A.$3a ＜ 3b$
B.$a + 3 ＜ b + 3$
C.$-3a ＜ -3b$
D.$a - 3 ＜ b - 3$
A.$3a ＜ 3b$
B.$a + 3 ＜ b + 3$
C.$-3a ＜ -3b$
D.$a - 3 ＜ b - 3$
答案
C
解析
【分析】
要判断各选项不等式是否正确，需结合已知条件$a ＜ b$，运用不等式的基本性质逐一分析每个选项。首先明确不等式的三条核心性质：加减同一个数/式子，不等号方向不变；乘除同一个正数，不等号方向不变；乘除同一个负数，不等号方向必须改变，据此逐个验证即可找出错误选项。
【解析】
首先回顾不等式的基本性质：
1. 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
2. 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
3. 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
已知$a ＜ b$，逐一分析选项：
选项A：两边同时乘正数3，根据性质2，不等号方向不变，可得$3a ＜ 3b$，该式正确，不符合题意；
选项B：两边同时加3，根据性质1，不等号方向不变，可得$a + 3 ＜ b + 3$，该式正确，不符合题意；
选项C：两边同时乘负数-3，根据性质3，不等号方向应改变，可得$-3a ＞ -3b$，与选项中的$-3a ＜ -3b$不符，该式错误，符合题意；
选项D：两边同时减3，根据性质1，不等号方向不变，可得$a - 3 ＜ b - 3$，该式正确，不符合题意。
综上，不正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式性质的基础考查题，易错点是当不等式两边同时乘负数时，容易忽略改变不等号的方向，解题时要注意判断乘除的数的正负性。
【难度系数】
0.8
要判断各选项不等式是否正确，需结合已知条件$a ＜ b$，运用不等式的基本性质逐一分析每个选项。首先明确不等式的三条核心性质：加减同一个数/式子，不等号方向不变；乘除同一个正数，不等号方向不变；乘除同一个负数，不等号方向必须改变，据此逐个验证即可找出错误选项。
【解析】
首先回顾不等式的基本性质：
1. 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
2. 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
3. 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
已知$a ＜ b$，逐一分析选项：
选项A：两边同时乘正数3，根据性质2，不等号方向不变，可得$3a ＜ 3b$，该式正确，不符合题意；
选项B：两边同时加3，根据性质1，不等号方向不变，可得$a + 3 ＜ b + 3$，该式正确，不符合题意；
选项C：两边同时乘负数-3，根据性质3，不等号方向应改变，可得$-3a ＞ -3b$，与选项中的$-3a ＜ -3b$不符，该式错误，符合题意；
选项D：两边同时减3，根据性质1，不等号方向不变，可得$a - 3 ＜ b - 3$，该式正确，不符合题意。
综上，不正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式性质的基础考查题，易错点是当不等式两边同时乘负数时，容易忽略改变不等号的方向，解题时要注意判断乘除的数的正负性。
【难度系数】
0.8
3. 下列不等式组：①$\begin{cases} x ＞ -2, \\ x ＜ 3; \end{cases}$ ②$\begin{cases} x ＞ 0, \\ x + 2 ＞ 4; \end{cases}$ ③$\begin{cases} x + 1 ＞ 0, \\ y - 4 ＜ 0; \end{cases}$ ④$\begin{cases} x + 3 ＞ 0, \\ x ＜ -7; \end{cases}$ ⑤$\begin{cases} x^2 + 1 ＜ x, \\ x^2 + 2 ＞ 4. \end{cases}$
其中是一元一次不等式组的个数是（）
A.2
B.3
C.4
D.5
其中是一元一次不等式组的个数是（）
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
【分析】
要判断一元一次不等式组的个数，首先要明确一元一次不等式组的判定标准：第一，组成不等式组的每个不等式都是一元一次不等式，即只含1个未知数、未知数次数为1、是整式不等式；第二，所有不等式含有同一个未知数；第三，至少包含2个不等式。我们按照这个标准逐一分析每个不等式组，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
首先明确一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
逐个判断如下：
① 组内两个不等式都只含未知数x，x的次数都是1，符合定义，属于一元一次不等式组；
② 第二个不等式化简为$x＞2$，两个不等式都只含未知数x，x的次数都是1，符合定义，属于一元一次不等式组；
③ 组内两个不等式分别含有x和y两个不同的未知数，不符合定义，不属于一元一次不等式组；
④ 组内两个不等式都只含未知数x，x的次数都是1，不等式组是否有解不影响类型判定，符合定义，属于一元一次不等式组；
⑤ 组内第一个不等式中x的最高次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，不属于一元一次不等式组。
综上，符合条件的是①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的定义、一元一次不等式的判定
【点评】
本题重点考查对一元一次不等式组定义的理解，判定时要抓住“同一个未知数”“每个不等式都是一元一次”两个核心要点，不要被不等式组是否有解集、不等式的表面形式干扰，避免因概念理解不透彻出错。
【难度系数】
0.7
要判断一元一次不等式组的个数，首先要明确一元一次不等式组的判定标准：第一，组成不等式组的每个不等式都是一元一次不等式，即只含1个未知数、未知数次数为1、是整式不等式；第二，所有不等式含有同一个未知数；第三，至少包含2个不等式。我们按照这个标准逐一分析每个不等式组，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
首先明确一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
逐个判断如下：
① 组内两个不等式都只含未知数x，x的次数都是1，符合定义，属于一元一次不等式组；
② 第二个不等式化简为$x＞2$，两个不等式都只含未知数x，x的次数都是1，符合定义，属于一元一次不等式组；
③ 组内两个不等式分别含有x和y两个不同的未知数，不符合定义，不属于一元一次不等式组；
④ 组内两个不等式都只含未知数x，x的次数都是1，不等式组是否有解不影响类型判定，符合定义，属于一元一次不等式组；
⑤ 组内第一个不等式中x的最高次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，不属于一元一次不等式组。
综上，符合条件的是①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的定义、一元一次不等式的判定
【点评】
本题重点考查对一元一次不等式组定义的理解，判定时要抓住“同一个未知数”“每个不等式都是一元一次”两个核心要点，不要被不等式组是否有解集、不等式的表面形式干扰，避免因概念理解不透彻出错。
【难度系数】
0.7
4.不等式$2x＞4$的解集在数轴上表示正确的是 （）
答案
B
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先求解不等式$2x＞4$，得到它的解集；第二步根据不等式解集在数轴上的表示规则判断对应选项。求解时，根据不等式的性质，给不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，得到$x＞2$。接下来判断数轴表示：解集不包含2，所以2的位置要用空心圆圈；“大于”说明解集在2的右侧，折线要向右延伸，据此匹配正确选项即可。
【解析】
1. 解不等式$2x＞4$：
不等式两边同时除以2，不等号方向不变，可得$x＞2$。
2. 分析解集的数轴表示规则：
解集$x＞2$不包含端点2，因此数轴上2的位置要画空心圆圈；
大于号表示解集在2的右侧，因此折线要向右延伸。
3. 逐一判断选项：
选项A：折线向左延伸，代表$x＜2$，不符合，排除；
选项B：2的位置为空心圆圈，折线向右延伸，符合$x＞2$的表示，正确；
选项C：2的位置为实心点，代表包含2，即$x≥2$，不符合，排除；
选项D：2的位置为实心点且折线向左，代表$x≤2$，不符合，排除。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式；数轴表示不等式解集
【点评】
本题是基础题型，重点考查一元一次不等式的求解和解集的数轴表示，解题时要注意区分空心圆圈（不包含端点）和实心点（包含端点）的使用，以及“大于向右、小于向左”的方向规则，避免因细节疏忽丢分。
【难度系数】
0.9
解题思路分为两步：第一步先求解不等式$2x＞4$，得到它的解集；第二步根据不等式解集在数轴上的表示规则判断对应选项。求解时，根据不等式的性质，给不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，得到$x＞2$。接下来判断数轴表示：解集不包含2，所以2的位置要用空心圆圈；“大于”说明解集在2的右侧，折线要向右延伸，据此匹配正确选项即可。
【解析】
1. 解不等式$2x＞4$：
不等式两边同时除以2，不等号方向不变，可得$x＞2$。
2. 分析解集的数轴表示规则：
解集$x＞2$不包含端点2，因此数轴上2的位置要画空心圆圈；
大于号表示解集在2的右侧，因此折线要向右延伸。
3. 逐一判断选项：
选项A：折线向左延伸，代表$x＜2$，不符合，排除；
选项B：2的位置为空心圆圈，折线向右延伸，符合$x＞2$的表示，正确；
选项C：2的位置为实心点，代表包含2，即$x≥2$，不符合，排除；
选项D：2的位置为实心点且折线向左，代表$x≤2$，不符合，排除。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式；数轴表示不等式解集
【点评】
本题是基础题型，重点考查一元一次不等式的求解和解集的数轴表示，解题时要注意区分空心圆圈（不包含端点）和实心点（包含端点）的使用，以及“大于向右、小于向左”的方向规则，避免因细节疏忽丢分。
【难度系数】
0.9
5.若关于$x$的方程$\frac{1}{2}x + k = \frac{2x - k}{3} + 2$的解是非负数，则$k$的取值范围是 （）
A.$k ＜ -\frac{2}{3}$
B.$k ≤ -\frac{2}{3}$
C.$k ＞ \frac{3}{2}$
D.$k ≥ \frac{3}{2}$
A.$k ＜ -\frac{2}{3}$
B.$k ≤ -\frac{2}{3}$
C.$k ＞ \frac{3}{2}$
D.$k ≥ \frac{3}{2}$
答案
D
解析
【分析】
本题是含参数的一元一次方程与不等式的综合题，解题思路清晰：第一步先把k当作常数，按照一元一次方程的常规求解步骤，用含k的代数式表示出方程的解x；第二步根据“方程的解是非负数”即x≥0的限制条件，列出关于k的一元一次不等式，解出不等式即可得到k的取值范围，再匹配对应选项即可。
【解析】
首先求解方程$\frac{1}{2}x + k = \frac{2x - k}{3} + 2$：
1. 去分母：两边同时乘以2和3的最小公倍数6，得$3x + 6k = 2(2x - k) + 12$
2. 去括号：$3x + 6k = 4x - 2k + 12$
3. 移项：将含x的项移到左侧，其余项移到右侧，得$3x - 4x = -2k + 12 - 6k$
4. 合并同类项：$-x = 12 - 8k$
5. 系数化为1：两边同时乘$-1$，得$x = 8k - 12$
已知方程的解是非负数，即$x≥0$，代入得：
$8k - 12 ≥ 0$
移项得$8k ≥ 12$
两边同时除以8，化简得$k ≥ \frac{3}{2}$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程解法，一元一次不等式解法，非负数的定义
【点评】
本题属于方程与不等式的综合基础题，解题核心是先将参数看作常数求解方程，再结合解的限制条件列不等式求解，解题时需注意去分母不要漏乘常数项，移项要变号，解不等式时若两边同时乘除负数要注意改变不等号方向。
【难度系数】
0.75
本题是含参数的一元一次方程与不等式的综合题，解题思路清晰：第一步先把k当作常数，按照一元一次方程的常规求解步骤，用含k的代数式表示出方程的解x；第二步根据“方程的解是非负数”即x≥0的限制条件，列出关于k的一元一次不等式，解出不等式即可得到k的取值范围，再匹配对应选项即可。
【解析】
首先求解方程$\frac{1}{2}x + k = \frac{2x - k}{3} + 2$：
1. 去分母：两边同时乘以2和3的最小公倍数6，得$3x + 6k = 2(2x - k) + 12$
2. 去括号：$3x + 6k = 4x - 2k + 12$
3. 移项：将含x的项移到左侧，其余项移到右侧，得$3x - 4x = -2k + 12 - 6k$
4. 合并同类项：$-x = 12 - 8k$
5. 系数化为1：两边同时乘$-1$，得$x = 8k - 12$
已知方程的解是非负数，即$x≥0$，代入得：
$8k - 12 ≥ 0$
移项得$8k ≥ 12$
两边同时除以8，化简得$k ≥ \frac{3}{2}$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程解法，一元一次不等式解法，非负数的定义
【点评】
本题属于方程与不等式的综合基础题，解题核心是先将参数看作常数求解方程，再结合解的限制条件列不等式求解，解题时需注意去分母不要漏乘常数项，移项要变号，解不等式时若两边同时乘除负数要注意改变不等号方向。
【难度系数】
0.75
6.某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，答错或不答一题，则扣3分，要使总分不低于70分，则至少答对的题数为 （）
A.15道
B.14道
C.13道
D.12道
A.15道
B.14道
C.13道
D.12道
答案
C
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式的实际应用题，解题思路如下：首先明确题目中的等量和不等关系：总分=答对得分 - 答错/不答扣分，要求总分≥70分。①先设未知数：设答对的题数为x，那么答错或不答的题数为总题数减去答对题数，即(30-x)道；②根据得分规则写出总分的表达式，结合“不低于70分”的要求列出不等式；③解不等式后，注意题数必须是正整数，因此取满足不等式的最小正整数即可得到答案。
【解析】
解：设至少答对x道题，此时答错或不答的题数为(30-x)道。
根据题意，总分不低于70分，可列不等式：
$10x - 3(30 - x) ≥ 70$
去括号得：$10x - 90 + 3x ≥ 70$
合并同类项得：$13x ≥ 160$
解得：$x ≥ \frac{160}{13} \approx 12.31$
∵x为答对题数，必须为正整数
∴x可取的最小正整数为13
即至少要答对13道题。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的应用；不等式整数解求解
【点评】
本题是不等式实际应用的典型题型，解题的核心是准确抓住“不低于”这类关键词建立不等关系，同时要注意实际问题中未知数的取值必须符合现实意义，本题中题数为正整数，因此要对不等式的解进行取整处理。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次不等式的实际应用题，解题思路如下：首先明确题目中的等量和不等关系：总分=答对得分 - 答错/不答扣分，要求总分≥70分。①先设未知数：设答对的题数为x，那么答错或不答的题数为总题数减去答对题数，即(30-x)道；②根据得分规则写出总分的表达式，结合“不低于70分”的要求列出不等式；③解不等式后，注意题数必须是正整数，因此取满足不等式的最小正整数即可得到答案。
【解析】
解：设至少答对x道题，此时答错或不答的题数为(30-x)道。
根据题意，总分不低于70分，可列不等式：
$10x - 3(30 - x) ≥ 70$
去括号得：$10x - 90 + 3x ≥ 70$
合并同类项得：$13x ≥ 160$
解得：$x ≥ \frac{160}{13} \approx 12.31$
∵x为答对题数，必须为正整数
∴x可取的最小正整数为13
即至少要答对13道题。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的应用；不等式整数解求解
【点评】
本题是不等式实际应用的典型题型，解题的核心是准确抓住“不低于”这类关键词建立不等关系，同时要注意实际问题中未知数的取值必须符合现实意义，本题中题数为正整数，因此要对不等式的解进行取整处理。
【难度系数】
0.7
7.实数$a$使得关于$x$的不等式组$\begin{cases}6-2x＞0, \\2(x+a)≥ x+3\end{cases}$至少有4个整数解，则$a$的取值范围是（ ）
A.$a≥2$
B.$a≤2$
C.$a＞2$
D.$a＜2$
A.$a≥2$
B.$a≤2$
C.$a＞2$
D.$a＜2$
答案
A
解析
【分析】
要解决这类含参数的不等式组整数解问题，解题思路分为三步：首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个不等式的解集；其次求出两个解集的公共部分，即不等式组的解集；最后结合“至少有4个整数解”的条件，确定参数a的取值范围，注意判断端点值是否可取。
【解析】
第一步：解不等式$6-2x＞0$，
移项得：$-2x ＞ -6$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ＜ 3$。
第二步：解不等式$2(x+a)≥ x+3$，
去括号得：$2x + 2a ≥ x + 3$，
移项合并同类项得：$x ≥ 3 - 2a$。
第三步：确定不等式组的解集，
两个不等式的解集公共部分为：$3 - 2a ≤ x ＜ 3$。
第四步：根据整数解的要求列不等式，
要使不等式组至少有4个整数解，小于3的整数从大到小为2、1、0、-1，这4个整数必须都在解集中，因此左边界$3-2a$要小于等于-1（若$3-2a ＞ -1$，则-1不在解集中，仅能得到3个整数解，不符合要求），即：
$3 - 2a ≤ -1$，
移项得：$-2a ≤ -4$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$a ≥ 2$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 一元一次不等式组的解集
3. 不等式组的整数解应用
【点评】
本题是不等式组参数求解的典型题型，解题关键是正确求出不等式组的解集，再结合整数解的个数确定参数的取值边界，尤其要注意验证端点值是否满足题意，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
要解决这类含参数的不等式组整数解问题，解题思路分为三步：首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个不等式的解集；其次求出两个解集的公共部分，即不等式组的解集；最后结合“至少有4个整数解”的条件，确定参数a的取值范围，注意判断端点值是否可取。
【解析】
第一步：解不等式$6-2x＞0$，
移项得：$-2x ＞ -6$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ＜ 3$。
第二步：解不等式$2(x+a)≥ x+3$，
去括号得：$2x + 2a ≥ x + 3$，
移项合并同类项得：$x ≥ 3 - 2a$。
第三步：确定不等式组的解集，
两个不等式的解集公共部分为：$3 - 2a ≤ x ＜ 3$。
第四步：根据整数解的要求列不等式，
要使不等式组至少有4个整数解，小于3的整数从大到小为2、1、0、-1，这4个整数必须都在解集中，因此左边界$3-2a$要小于等于-1（若$3-2a ＞ -1$，则-1不在解集中，仅能得到3个整数解，不符合要求），即：
$3 - 2a ≤ -1$，
移项得：$-2a ≤ -4$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$a ≥ 2$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 一元一次不等式组的解集
3. 不等式组的整数解应用
【点评】
本题是不等式组参数求解的典型题型，解题关键是正确求出不等式组的解集，再结合整数解的个数确定参数的取值边界，尤其要注意验证端点值是否满足题意，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
