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18. 解不等式组$\begin{cases}2x+1＜4x+3,\\\dfrac{3+x}{2}≥\dfrac{2x-1}{3}+1,\end{cases}$并在数轴上把解集表示出来.
答案
解：
解不等式 $2x + 1 ＜ 4x + 3$，
移项得：$2x - 4x ＜ 3 - 1$，
合并同类项得：$-2x ＜ 2$，
系数化为1得：$x ＞ -1$。
解不等式 $\frac{3+x}{2} \ge \frac{2x-1}{3} + 1$，
去分母，两边同乘6得：$3(3+x) \ge 2(2x-1) + 6$，
去括号得：$9 + 3x \ge 4x - 2 + 6$，
移项得：$3x - 4x \ge -2 + 6 - 9$，
合并同类项得：$-x \ge -5$，
系数化为1得：$x \le 5$。
所以该不等式组的解集为 $-1 ＜ x \le 5$。
数轴表示：在数轴上对应-1的位置画空心圆圈，对应5的位置画实心圆点，连接两点间的线段，该部分即为不等式组的解集。
解不等式 $2x + 1 ＜ 4x + 3$，
移项得：$2x - 4x ＜ 3 - 1$，
合并同类项得：$-2x ＜ 2$，
系数化为1得：$x ＞ -1$。
解不等式 $\frac{3+x}{2} \ge \frac{2x-1}{3} + 1$，
去分母，两边同乘6得：$3(3+x) \ge 2(2x-1) + 6$，
去括号得：$9 + 3x \ge 4x - 2 + 6$，
移项得：$3x - 4x \ge -2 + 6 - 9$，
合并同类项得：$-x \ge -5$，
系数化为1得：$x \le 5$。
所以该不等式组的解集为 $-1 ＜ x \le 5$。
数轴表示：在数轴上对应-1的位置画空心圆圈，对应5的位置画实心圆点，连接两点间的线段，该部分即为不等式组的解集。
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个一元一次不等式，再找两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，最后按规则在数轴上表示解集。解单个不等式时按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，注意系数为负数时，系数化为1要改变不等号方向；数轴表示解集时，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈。
【解析】
1. 解不等式 $2x + 1 ＜ 4x + 3$：
移项得：$2x - 4x ＜ 3 - 1$，
合并同类项得：$-2x ＜ 2$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＞ -1$。
2. 解不等式 $\frac{3+x}{2} \ge \frac{2x-1}{3} + 1$：
去分母，两边同乘最小公倍数6得：$3(3+x) \ge 2(2x-1) + 6$，
去括号得：$9 + 3x \ge 4x - 2 + 6$，
移项得：$3x - 4x \ge -2 + 6 - 9$，
合并同类项得：$-x \ge -5$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x \le 5$。
3. 取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为 $-1 ＜ x \le 5$。
4. 数轴表示：在数轴上对应-1的位置画空心圆圈，对应5的位置画实心圆点，连接两点间的线段，该部分即为不等式组的解集。
【答案】
不等式组的解集为$\boldsymbol{-1 ＜ x \le 5}$；数轴表示：在数轴上-1处画空心圆圈，5处画实心圆点，连接两点间的线段即可。
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式的基本性质，解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式组的基础考察题，核心是掌握解一元一次不等式的规范步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、系数为负时忘记改变不等号方向、数轴表示时混淆空心和实心标识。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个一元一次不等式，再找两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，最后按规则在数轴上表示解集。解单个不等式时按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，注意系数为负数时，系数化为1要改变不等号方向；数轴表示解集时，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈。
【解析】
1. 解不等式 $2x + 1 ＜ 4x + 3$：
移项得：$2x - 4x ＜ 3 - 1$，
合并同类项得：$-2x ＜ 2$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＞ -1$。
2. 解不等式 $\frac{3+x}{2} \ge \frac{2x-1}{3} + 1$：
去分母，两边同乘最小公倍数6得：$3(3+x) \ge 2(2x-1) + 6$，
去括号得：$9 + 3x \ge 4x - 2 + 6$，
移项得：$3x - 4x \ge -2 + 6 - 9$，
合并同类项得：$-x \ge -5$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x \le 5$。
3. 取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为 $-1 ＜ x \le 5$。
4. 数轴表示：在数轴上对应-1的位置画空心圆圈，对应5的位置画实心圆点，连接两点间的线段，该部分即为不等式组的解集。
【答案】
不等式组的解集为$\boldsymbol{-1 ＜ x \le 5}$；数轴表示：在数轴上-1处画空心圆圈，5处画实心圆点，连接两点间的线段即可。
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式的基本性质，解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式组的基础考察题，核心是掌握解一元一次不等式的规范步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、系数为负时忘记改变不等号方向、数轴表示时混淆空心和实心标识。
【难度系数】
0.8
19. 下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组$\begin{cases}1-\dfrac{2x-2}{5}≥\dfrac{3-x}{2}①,\\3x-5＜4②\end{cases}$的过程,请认真阅读并完成相应的任务.
解:由①去分母,得$10-2(2x-2)≥5(3-x)$, 第一步
去括号,得$10-4x+4≥15-5x$, 第二步
移项,得$-4x-5x≥15-10-4$, 第三步
合并同类项,得$-9x≥1$, 第四步
系数化为1,得$x≤-\dfrac{1}{9}$. 第五步
(1)任务一:以上解题过程中,第一步的依据是,第步开始出现错误;
(2)任务二:请你帮嘉嘉同学正确求解如上不等式组,并把它的解集表示在数轴上.
解:由①去分母,得$10-2(2x-2)≥5(3-x)$, 第一步
去括号,得$10-4x+4≥15-5x$, 第二步
移项,得$-4x-5x≥15-10-4$, 第三步
合并同类项,得$-9x≥1$, 第四步
系数化为1,得$x≤-\dfrac{1}{9}$. 第五步
(1)任务一:以上解题过程中,第一步的依据是,第步开始出现错误;
(2)任务二:请你帮嘉嘉同学正确求解如上不等式组,并把它的解集表示在数轴上.
答案
解：
(1) 不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变（或不等式的性质2）；三
(2) 解不等式①：
去分母，得$10-2(2x-2)≥5(3-x)$
去括号，得$10-4x+4≥15-5x$
移项，得$-4x+5x≥15-10-4$
合并同类项，得$x≥1$
解不等式②：
移项，得$3x＜4+5$
合并同类项，得$3x＜9$
系数化为1，得$x＜3$
所以该不等式组的解集为$1≤ x＜3$。
在数轴上表示：画出数轴，标注出1和3两个点，在数1的位置画实心圆点，数3的位置画空心圆圈，连接两点之间的部分，即为该不等式组的解集在数轴上的表示。
(1) 不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变（或不等式的性质2）；三
(2) 解不等式①：
去分母，得$10-2(2x-2)≥5(3-x)$
去括号，得$10-4x+4≥15-5x$
移项，得$-4x+5x≥15-10-4$
合并同类项，得$x≥1$
解不等式②：
移项，得$3x＜4+5$
合并同类项，得$3x＜9$
系数化为1，得$x＜3$
所以该不等式组的解集为$1≤ x＜3$。
在数轴上表示：画出数轴，标注出1和3两个点，在数1的位置画实心圆点，数3的位置画空心圆圈，连接两点之间的部分，即为该不等式组的解集在数轴上的表示。
解析
【分析】
任务一：第一步给不等式两边同时乘正数10去分母，依据是不等式的性质2；逐步骤排查解题过程，移项时移动的项需要变号，原第三步将右侧的$-5x$移到左侧时未变号，因此第三步开始出错。
任务二：正确求解需先分别解两个不等式，解不等式①时纠正移项的错误得到①的解集，再解不等式②得到②的解集，最后取两个解集的公共部分即为不等式组的解集；数轴表示解集时，注意“≥”对应实心圆点，“＜”对应空心圆圈，再标注公共区间即可。
【解析】
(1) 去分母是给不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，因此第一步的依据是不等式的性质2（或不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变）；第三步移项时，右侧的$-5x$移到左侧应变号为$+5x$，原步骤移项错误，因此第三步开始出现错误。
(2) 正确求解过程如下：
解不等式①：
去分母，得$10-2(2x-2)≥5(3-x)$
去括号，得$10-4x+4≥15-5x$
移项，得$-4x+5x≥15-10-4$
合并同类项，得$x≥1$
解不等式②：
移项，得$3x＜4+5$
合并同类项，得$3x＜9$
系数化为1，得$x＜3$
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$1≤ x＜3$。
数轴表示：画出数轴，标注1和3两个点，1的位置画实心圆点（表示包含1），3的位置画空心圆圈（表示不包含3），连接两点之间的部分即为解集的数轴表示。
【答案】
(1) 不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变（或不等式的性质2）；三
(2) 不等式组的解集为$1≤ x＜3$；数轴上1处画实心圆点，3处画空心圆圈，连接两点间的部分即为解集的数轴表示。
【知识点】
不等式的性质；一元一次不等式组的解法；解集的数轴表示
【点评】
本题考查一元一次不等式组的求解，易错点为移项未变号、数轴表示时实心和空心混淆，解题时要严格遵循解不等式的规范步骤，准确运用不等式的性质。
【难度系数】
0.7
任务一：第一步给不等式两边同时乘正数10去分母，依据是不等式的性质2；逐步骤排查解题过程，移项时移动的项需要变号，原第三步将右侧的$-5x$移到左侧时未变号，因此第三步开始出错。
任务二：正确求解需先分别解两个不等式，解不等式①时纠正移项的错误得到①的解集，再解不等式②得到②的解集，最后取两个解集的公共部分即为不等式组的解集；数轴表示解集时，注意“≥”对应实心圆点，“＜”对应空心圆圈，再标注公共区间即可。
【解析】
(1) 去分母是给不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，因此第一步的依据是不等式的性质2（或不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变）；第三步移项时，右侧的$-5x$移到左侧应变号为$+5x$，原步骤移项错误，因此第三步开始出现错误。
(2) 正确求解过程如下：
解不等式①：
去分母，得$10-2(2x-2)≥5(3-x)$
去括号，得$10-4x+4≥15-5x$
移项，得$-4x+5x≥15-10-4$
合并同类项，得$x≥1$
解不等式②：
移项，得$3x＜4+5$
合并同类项，得$3x＜9$
系数化为1，得$x＜3$
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$1≤ x＜3$。
数轴表示：画出数轴，标注1和3两个点，1的位置画实心圆点（表示包含1），3的位置画空心圆圈（表示不包含3），连接两点之间的部分即为解集的数轴表示。
【答案】
(1) 不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变（或不等式的性质2）；三
(2) 不等式组的解集为$1≤ x＜3$；数轴上1处画实心圆点，3处画空心圆圈，连接两点间的部分即为解集的数轴表示。
【知识点】
不等式的性质；一元一次不等式组的解法；解集的数轴表示
【点评】
本题考查一元一次不等式组的求解，易错点为移项未变号、数轴表示时实心和空心混淆，解题时要严格遵循解不等式的规范步骤，准确运用不等式的性质。
【难度系数】
0.7
