登录
13. 某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元，求共有几种购买方案？设购买篮球$ x $个，可列不等式组为（）
A.$\begin{cases} 150x + 100(30 - x) ＜ 3600, \\ x ＞ \dfrac{1}{2}(30 - x) \end{cases}$
B.$\begin{cases} 150x + 100(30 - x) ＞ 3600, \\ x ＜ \dfrac{1}{2}(30 - x) \end{cases}$
C.$\begin{cases} 150x + 100(30 - x) ≤ 3600, \\ x ≥ \dfrac{1}{2}(30 - x) \end{cases}$
D.$\begin{cases} 150x + 100(30 - x) ≥ 3600, \\ x ≤ \dfrac{1}{2}(30 - x) \end{cases}$
A.$\begin{cases} 150x + 100(30 - x) ＜ 3600, \\ x ＞ \dfrac{1}{2}(30 - x) \end{cases}$
B.$\begin{cases} 150x + 100(30 - x) ＞ 3600, \\ x ＜ \dfrac{1}{2}(30 - x) \end{cases}$
C.$\begin{cases} 150x + 100(30 - x) ≤ 3600, \\ x ≥ \dfrac{1}{2}(30 - x) \end{cases}$
D.$\begin{cases} 150x + 100(30 - x) ≥ 3600, \\ x ≤ \dfrac{1}{2}(30 - x) \end{cases}$
答案
C
解析
【分析】
要列符合题意的不等式组，可按如下思路思考：首先明确数量对应关系，设篮球x个，总采购量为30个，因此排球数量为(30-x)个；其次抓取题干中表示不等关系的关键词，“不超过”对应不等号≤，“不少于”对应不等号≥；最后分别根据资金限制、数量限制两个约束条件列不等式，组合后即可匹配正确选项。
【解析】
1. 表示排球采购量：已知篮球买x个，篮球和排球共30个，因此排球采购数量为$(30-x)$个。
2. 根据资金限制列不等式：购买资金不超过3600元，即总花费≤3600元。总花费=篮球总费用+排球总费用=$150x + 100(30-x)$，因此第一个不等式为：
$\boxed{150x + 100(30-x) ≤ 3600}$
3. 根据数量限制列不等式：购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即篮球数量≥排球数量的$\frac{1}{2}$，因此第二个不等式为：
$\boxed{x ≥ \frac{1}{2}(30-x)}$
4. 组合两个不等式得到所求不等式组，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式组的应用、不等关系辨析、列代数式
【点评】
本题是不等式组实际应用的基础题型，解题核心是准确理解“不超过”“不少于”等限定词对应的不等符号，再结合总价、数量的基本关系列式即可。
【难度系数】
0.8
要列符合题意的不等式组，可按如下思路思考：首先明确数量对应关系，设篮球x个，总采购量为30个，因此排球数量为(30-x)个；其次抓取题干中表示不等关系的关键词，“不超过”对应不等号≤，“不少于”对应不等号≥；最后分别根据资金限制、数量限制两个约束条件列不等式，组合后即可匹配正确选项。
【解析】
1. 表示排球采购量：已知篮球买x个，篮球和排球共30个，因此排球采购数量为$(30-x)$个。
2. 根据资金限制列不等式：购买资金不超过3600元，即总花费≤3600元。总花费=篮球总费用+排球总费用=$150x + 100(30-x)$，因此第一个不等式为：
$\boxed{150x + 100(30-x) ≤ 3600}$
3. 根据数量限制列不等式：购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即篮球数量≥排球数量的$\frac{1}{2}$，因此第二个不等式为：
$\boxed{x ≥ \frac{1}{2}(30-x)}$
4. 组合两个不等式得到所求不等式组，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式组的应用、不等关系辨析、列代数式
【点评】
本题是不等式组实际应用的基础题型，解题核心是准确理解“不超过”“不少于”等限定词对应的不等符号，再结合总价、数量的基本关系列式即可。
【难度系数】
0.8
14.若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + 2y = 3k - 1, \\2x + y = 7\end{cases}$的解满足$0 ＜ x + y ＜ 4$，则$k$的取值范围是________.
答案
$\boldsymbol{-2 ＜ k ＜ 2}$
解析
【分析】
首先观察方程组中两个方程x、y的系数特征，发现两个方程相加后x和y的系数均为3，可直接整理得到x+y的表达式，无需单独求解x、y的值，再将x+y的表达式代入已知的取值范围$0＜x+y＜4$，得到关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可求出k的取值范围。
【解析】
记$\begin{cases}x + 2y = 3k - 1&①, \\2x + y = 7&②\end{cases}$
将①+②，左边相加得：$x+2y+2x+y=3x+3y=3(x+y)$
右边相加得：$3k-1+7=3k+6$
因此可得$3(x+y)=3k+6$，两边同时除以3得：$x+y=k+2$
已知$0 ＜ x + y ＜ 4$，将$x+y=k+2$代入得：
$0 ＜ k+2 ＜ 4$
解左边不等式：$k+2＞0$，得$k＞-2$
解右边不等式：$k+2＜4$，得$k＜2$
综上，k的取值范围是$-2 ＜ k ＜ 2$
【答案】
$\boldsymbol{-2 ＜ k ＜ 2}$
【知识点】
二元一次方程组的求解、一元一次不等式组的解法、整体思想
【点评】
本题是二元一次方程组与不等式组的综合题型，巧妙运用整体相加的方法简化了运算，避免了单独求解x、y的繁琐步骤，熟练掌握整体思想能有效提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
首先观察方程组中两个方程x、y的系数特征，发现两个方程相加后x和y的系数均为3，可直接整理得到x+y的表达式，无需单独求解x、y的值，再将x+y的表达式代入已知的取值范围$0＜x+y＜4$，得到关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可求出k的取值范围。
【解析】
记$\begin{cases}x + 2y = 3k - 1&①, \\2x + y = 7&②\end{cases}$
将①+②，左边相加得：$x+2y+2x+y=3x+3y=3(x+y)$
右边相加得：$3k-1+7=3k+6$
因此可得$3(x+y)=3k+6$，两边同时除以3得：$x+y=k+2$
已知$0 ＜ x + y ＜ 4$，将$x+y=k+2$代入得：
$0 ＜ k+2 ＜ 4$
解左边不等式：$k+2＞0$，得$k＞-2$
解右边不等式：$k+2＜4$，得$k＜2$
综上，k的取值范围是$-2 ＜ k ＜ 2$
【答案】
$\boldsymbol{-2 ＜ k ＜ 2}$
【知识点】
二元一次方程组的求解、一元一次不等式组的解法、整体思想
【点评】
本题是二元一次方程组与不等式组的综合题型，巧妙运用整体相加的方法简化了运算，避免了单独求解x、y的繁琐步骤，熟练掌握整体思想能有效提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
15.若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x+y=1+a, \\x+3y=3\end{cases}$的解中$x$是非负数，$y$的值不大于$-1$，则$a$的取值范围为 ______ 。
答案
解：$\begin{cases}3x+y=1+a&①\\x+3y=3&②\end{cases}$
①×3 - ②，得$8x=3a$，
解得$x=\frac{3a}{8}$。
把$x=\frac{3a}{8}$代入②，得$\frac{3a}{8}+3y=3$，
解得$y=1-\frac{a}{8}$。
由题意列不等式组：
$\begin{cases}\frac{3a}{8}≥0\\1-\frac{a}{8}≤-1\end{cases}$
解不等式$\frac{3a}{8}≥0$，得$a≥0$，
解不等式$1-\frac{a}{8}≤-1$，得$a≥16$。
所以$a$的取值范围为$a≥16$。
①×3 - ②，得$8x=3a$，
解得$x=\frac{3a}{8}$。
把$x=\frac{3a}{8}$代入②，得$\frac{3a}{8}+3y=3$，
解得$y=1-\frac{a}{8}$。
由题意列不等式组：
$\begin{cases}\frac{3a}{8}≥0\\1-\frac{a}{8}≤-1\end{cases}$
解不等式$\frac{3a}{8}≥0$，得$a≥0$，
解不等式$1-\frac{a}{8}≤-1$，得$a≥16$。
所以$a$的取值范围为$a≥16$。
解析
【分析】
解决这道题首先要把含参数$a$的二元一次方程组的解$x、y$用$a$表示出来，这是对接后续$x、y$取值限制条件的核心。我们可以用加减消元法先消去一个未知数求出对应解，再代入方程求另一个解。之后将“$x$是非负数（即$x≥0$）、$y$不大于$-1$（即$y≤-1$）”转化为关于$a$的一元一次不等式组，分别解出两个不等式的解集后取公共部分，就能得到$a$的取值范围。
【解析】
解：给原方程组标序：
$\begin{cases}3x+y=1+a&①\\x+3y=3&②\end{cases}$
用加减消元法消去$y$：①×3 - ②，得$9x + 3y - x - 3y = 3(1+a) - 3$，化简得$8x=3a$，解得$x=\frac{3a}{8}$。
把$x=\frac{3a}{8}$代入②，得$\frac{3a}{8}+3y=3$，移项化简得$3y=3-\frac{3a}{8}$，解得$y=1-\frac{a}{8}$。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}\frac{3a}{8}≥0 \\1-\frac{a}{8}≤-1\end{cases}$
解第一个不等式：两边同乘8得$3a≥0$，解得$a≥0$。
解第二个不等式：移项得$-\frac{a}{8}≤-2$，两边同乘$-8$（不等号方向改变），得$a≥16$。
取两个解集的公共部分，可得$a$的取值范围。
【答案】
$a≥16$
【知识点】
二元一次方程组求解，一元一次不等式组求解，参数范围确定
【点评】
本题是方程组与不等式的综合基础题，解题核心是先将方程组的解用参数表示，再结合题目不等条件转化为不等式组求解，需要注意解不等式两边同乘负数时不等号方向要改变，最后取解集的公共部分即为参数的取值范围。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要把含参数$a$的二元一次方程组的解$x、y$用$a$表示出来，这是对接后续$x、y$取值限制条件的核心。我们可以用加减消元法先消去一个未知数求出对应解，再代入方程求另一个解。之后将“$x$是非负数（即$x≥0$）、$y$不大于$-1$（即$y≤-1$）”转化为关于$a$的一元一次不等式组，分别解出两个不等式的解集后取公共部分，就能得到$a$的取值范围。
【解析】
解：给原方程组标序：
$\begin{cases}3x+y=1+a&①\\x+3y=3&②\end{cases}$
用加减消元法消去$y$：①×3 - ②，得$9x + 3y - x - 3y = 3(1+a) - 3$，化简得$8x=3a$，解得$x=\frac{3a}{8}$。
把$x=\frac{3a}{8}$代入②，得$\frac{3a}{8}+3y=3$，移项化简得$3y=3-\frac{3a}{8}$，解得$y=1-\frac{a}{8}$。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}\frac{3a}{8}≥0 \\1-\frac{a}{8}≤-1\end{cases}$
解第一个不等式：两边同乘8得$3a≥0$，解得$a≥0$。
解第二个不等式：移项得$-\frac{a}{8}≤-2$，两边同乘$-8$（不等号方向改变），得$a≥16$。
取两个解集的公共部分，可得$a$的取值范围。
【答案】
$a≥16$
【知识点】
二元一次方程组求解，一元一次不等式组求解，参数范围确定
【点评】
本题是方程组与不等式的综合基础题，解题核心是先将方程组的解用参数表示，再结合题目不等条件转化为不等式组求解，需要注意解不等式两边同乘负数时不等号方向要改变，最后取解集的公共部分即为参数的取值范围。
【难度系数】
0.6
16. 关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x+a ＞ x+2, \\ x+3 ≥ 2x -1\end{cases}$无解，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案
$\boldsymbol{a ≤ -2}$
解析
【分析】
解决本题的思路是：首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到各自的解集；再根据“不等式组无解”的含义，即两个解集没有公共部分，结合解集的大小关系建立关于a的不等式，最后解这个不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
先分别解两个不等式：
1. 解不等式$2x+a ＞ x+2$：
移项得$2x - x ＞ 2 - a$，
化简得$x ＞ 2 - a$。
2. 解不等式$x+3 ≥ 2x -1$：
移项得$x - 2x ≥ -1 - 3$，
合并同类项得$-x ≥ -4$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x ≤ 4$。
因为不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，符合“大大小小无处找”的解集判定规则，因此$2 - a ≥ 4$。
解这个关于a的不等式：
移项得$-a ≥ 4 - 2$，即$-a ≥ 2$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$a ≤ -2$。
【答案】
$a ≤ -2$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集判定
【点评】
本题是一元一次不等式组的常考题型，核心是掌握不等式组解集的判断规则，易错点是在确定不等号是否带等号时容易出错，可结合数轴画解集的方式验证是否取等，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路是：首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到各自的解集；再根据“不等式组无解”的含义，即两个解集没有公共部分，结合解集的大小关系建立关于a的不等式，最后解这个不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
先分别解两个不等式：
1. 解不等式$2x+a ＞ x+2$：
移项得$2x - x ＞ 2 - a$，
化简得$x ＞ 2 - a$。
2. 解不等式$x+3 ≥ 2x -1$：
移项得$x - 2x ≥ -1 - 3$，
合并同类项得$-x ≥ -4$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x ≤ 4$。
因为不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，符合“大大小小无处找”的解集判定规则，因此$2 - a ≥ 4$。
解这个关于a的不等式：
移项得$-a ≥ 4 - 2$，即$-a ≥ 2$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$a ≤ -2$。
【答案】
$a ≤ -2$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集判定
【点评】
本题是一元一次不等式组的常考题型，核心是掌握不等式组解集的判断规则，易错点是在确定不等号是否带等号时容易出错，可结合数轴画解集的方式验证是否取等，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
17. 解下列不等式组：
(1) $\begin{cases} x＞3, \\ x＞2; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x-5＜1, \\ 2x＞3; \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 2x＞x+2, \\ x+8＞4x-1; \end{cases}$
(4) $\begin{cases} 2x+4＞0, \\ 3-2x≥0. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} x＞3, \\ x＞2; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x-5＜1, \\ 2x＞3; \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 2x＞x+2, \\ x+8＞4x-1; \end{cases}$
(4) $\begin{cases} 2x+4＞0, \\ 3-2x≥0. \end{cases}$
答案
解：
(1) 不等式组$\begin{cases} x＞3 \\ x＞2 \end{cases}$，根据同大取大的规则，可得该不等式组的解集为$x＞3$。
(2) $\begin{cases} x-5＜1 \quad ① \\ 2x＞3 \quad ② \end{cases}$
解不等式①，得：$x＜6$，
解不等式②，得：$x＞\frac{3}{2}$，
所以该不等式组的解集为$\frac{3}{2}＜x＜6$。
(3) $\begin{cases} 2x＞x+2 \quad ① \\ x+8＞4x-1 \quad ② \end{cases}$
解不等式①，移项得$2x-x＞2$，得：$x＞2$，
解不等式②，移项得$x-4x＞-1-8$，合并同类项得$-3x＞-9$，系数化为1得：$x＜3$，
所以该不等式组的解集为$2＜x＜3$。
(4) $\begin{cases} 2x+4＞0 \quad ① \\ 3-2x\ge0 \quad ② \end{cases}$
解不等式①，移项得$2x＞-4$，系数化为1得：$x＞-2$，
解不等式②，移项得$-2x\ge-3$，系数化为1得：$x\le\frac{3}{2}$，
所以该不等式组的解集为$-2＜x\le\frac{3}{2}$。
(1) 不等式组$\begin{cases} x＞3 \\ x＞2 \end{cases}$，根据同大取大的规则，可得该不等式组的解集为$x＞3$。
(2) $\begin{cases} x-5＜1 \quad ① \\ 2x＞3 \quad ② \end{cases}$
解不等式①，得：$x＜6$，
解不等式②，得：$x＞\frac{3}{2}$，
所以该不等式组的解集为$\frac{3}{2}＜x＜6$。
(3) $\begin{cases} 2x＞x+2 \quad ① \\ x+8＞4x-1 \quad ② \end{cases}$
解不等式①，移项得$2x-x＞2$，得：$x＞2$，
解不等式②，移项得$x-4x＞-1-8$，合并同类项得$-3x＞-9$，系数化为1得：$x＜3$，
所以该不等式组的解集为$2＜x＜3$。
(4) $\begin{cases} 2x+4＞0 \quad ① \\ 3-2x\ge0 \quad ② \end{cases}$
解不等式①，移项得$2x＞-4$，系数化为1得：$x＞-2$，
解不等式②，移项得$-2x\ge-3$，系数化为1得：$x\le\frac{3}{2}$，
所以该不等式组的解集为$-2＜x\le\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是“先分后合”：第一步分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集，解不等式时要注意移项要变号，系数化为1时如果系数为负数，不等号方向要改变；第二步结合不等式组解集的判定口诀（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到），找出各个解集的公共部分，该公共部分就是不等式组的解集。
【解析】
(1) 对于不等式组$\begin{cases} x＞3 \\ x＞2 \end{cases}$，两个解集均为大于号，根据“同大取大”的规则，可得解集。
(2) $\begin{cases} x-5＜1 \quad ① \\ 2x＞3 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$x＜1+5$，解得$x＜6$；
解不等式②：系数化为1得$x＞\frac{3}{2}$；
取两个解集的公共部分即为不等式组的解集。
(3) $\begin{cases} 2x＞x+2 \quad ① \\ x+8＞4x-1 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$2x-x＞2$，合并同类项得$x＞2$；
解不等式②：移项得$x-4x＞-1-8$，合并同类项得$-3x＞-9$，系数化为1（不等号方向改变）得$x＜3$；
取两个解集的公共部分即为不等式组的解集。
(4) $\begin{cases} 2x+4＞0 \quad ① \\ 3-2x\ge0 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$2x＞-4$，系数化为1得$x＞-2$；
解不等式②：移项得$-2x\ge-3$，系数化为1（不等号方向改变）得$x\le\frac{3}{2}$；
取两个解集的公共部分即为不等式组的解集。
【答案】
(1) $x＞3$；
(2) $\frac{3}{2}＜x＜6$；
(3) $2＜x＜3$；
(4) $-2＜x\le\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 一元一次不等式组解法
3. 不等式组解集判定
【点评】
本题是解一元一次不等式组的基础题型，主要考查解一元一次不等式的基本步骤，以及不等式组解集的判定方法。解题时需注意系数化为1时不等号的方向变化，熟练掌握解集判定口诀可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是“先分后合”：第一步分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集，解不等式时要注意移项要变号，系数化为1时如果系数为负数，不等号方向要改变；第二步结合不等式组解集的判定口诀（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到），找出各个解集的公共部分，该公共部分就是不等式组的解集。
【解析】
(1) 对于不等式组$\begin{cases} x＞3 \\ x＞2 \end{cases}$，两个解集均为大于号，根据“同大取大”的规则，可得解集。
(2) $\begin{cases} x-5＜1 \quad ① \\ 2x＞3 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$x＜1+5$，解得$x＜6$；
解不等式②：系数化为1得$x＞\frac{3}{2}$；
取两个解集的公共部分即为不等式组的解集。
(3) $\begin{cases} 2x＞x+2 \quad ① \\ x+8＞4x-1 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$2x-x＞2$，合并同类项得$x＞2$；
解不等式②：移项得$x-4x＞-1-8$，合并同类项得$-3x＞-9$，系数化为1（不等号方向改变）得$x＜3$；
取两个解集的公共部分即为不等式组的解集。
(4) $\begin{cases} 2x+4＞0 \quad ① \\ 3-2x\ge0 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$2x＞-4$，系数化为1得$x＞-2$；
解不等式②：移项得$-2x\ge-3$，系数化为1（不等号方向改变）得$x\le\frac{3}{2}$；
取两个解集的公共部分即为不等式组的解集。
【答案】
(1) $x＞3$；
(2) $\frac{3}{2}＜x＜6$；
(3) $2＜x＜3$；
(4) $-2＜x\le\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 一元一次不等式组解法
3. 不等式组解集判定
【点评】
本题是解一元一次不等式组的基础题型，主要考查解一元一次不等式的基本步骤，以及不等式组解集的判定方法。解题时需注意系数化为1时不等号的方向变化，熟练掌握解集判定口诀可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
