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6. 已知关于$ x $的不等式组$\begin{cases}x ＞ \dfrac{1}{2}x - 1, \\ 2x + 1 ≤ m\end{cases}$的整数解有且只有2个，则$ m $的取值范围是（ ）
A.$ 1 ＜ m ≤ 3 $
B.$ 1 ≤ m ＜ 3 $
C.$ 3 ＜ m ≤ 5 $
D.$ 3 ≤ m ＜ 5 $
A.$ 1 ＜ m ≤ 3 $
B.$ 1 ≤ m ＜ 3 $
C.$ 3 ＜ m ≤ 5 $
D.$ 3 ≤ m ＜ 5 $
答案
B
解析
【分析】
解决本题需分三步思考：第一步，根据一元一次不等式的解法，分别求出两个不等式的解集；第二步，结合两个解集求出不等式组的公共解集；第三步，根据“整数解有且只有2个”的限定条件，确定公共解集的上界取值范围，进而求出参数m的范围，过程中要注意验证边界值能否取到，避免出错。
【解析】
1. 解第一个不等式：
$x ＞ \dfrac{1}{2}x - 1$
移项得：$x - \dfrac{1}{2}x ＞ -1$
合并同类项得：$\dfrac{1}{2}x ＞ -1$
两边同时乘2得：$x ＞ -2$
2. 解第二个不等式：
$2x + 1 ≤ m$
移项得：$2x ≤ m - 1$
两边同时除以2得：$x ≤ \dfrac{m-1}{2}$
3. 求不等式组的解集：
两个解集的公共部分为 $\boldsymbol{-2 ＜ x ≤ \dfrac{m-1}{2}}$
4. 结合整数解的条件求m的范围：
大于-2的整数依次为-1、0、1、2……，要求整数解只有2个，可知这两个整数解为-1和0，因此$\dfrac{m-1}{2}$需满足：大于等于0（保证0包含在解集中），且小于1（保证1不包含在解集中，避免整数解多1个），即：
$0 ≤ \dfrac{m-1}{2} ＜ 1$
三边同时乘2得：$0 ≤ m - 1 ＜ 2$
三边同时加1得：$1 ≤ m ＜ 3$
【答案】
B
【知识点】
1. 解一元一次不等式组
2. 不等式组的整数解
3. 不等式的性质
【点评】
本题是不等式组参数求解的典型题型，核心是先求出固定的解集范围，再结合整数解的个数反推参数的边界范围，易错点是边界值的取舍，需单独验证边界值是否符合要求。
【难度系数】
0.6
解决本题需分三步思考：第一步，根据一元一次不等式的解法，分别求出两个不等式的解集；第二步，结合两个解集求出不等式组的公共解集；第三步，根据“整数解有且只有2个”的限定条件，确定公共解集的上界取值范围，进而求出参数m的范围，过程中要注意验证边界值能否取到，避免出错。
【解析】
1. 解第一个不等式：
$x ＞ \dfrac{1}{2}x - 1$
移项得：$x - \dfrac{1}{2}x ＞ -1$
合并同类项得：$\dfrac{1}{2}x ＞ -1$
两边同时乘2得：$x ＞ -2$
2. 解第二个不等式：
$2x + 1 ≤ m$
移项得：$2x ≤ m - 1$
两边同时除以2得：$x ≤ \dfrac{m-1}{2}$
3. 求不等式组的解集：
两个解集的公共部分为 $\boldsymbol{-2 ＜ x ≤ \dfrac{m-1}{2}}$
4. 结合整数解的条件求m的范围：
大于-2的整数依次为-1、0、1、2……，要求整数解只有2个，可知这两个整数解为-1和0，因此$\dfrac{m-1}{2}$需满足：大于等于0（保证0包含在解集中），且小于1（保证1不包含在解集中，避免整数解多1个），即：
$0 ≤ \dfrac{m-1}{2} ＜ 1$
三边同时乘2得：$0 ≤ m - 1 ＜ 2$
三边同时加1得：$1 ≤ m ＜ 3$
【答案】
B
【知识点】
1. 解一元一次不等式组
2. 不等式组的整数解
3. 不等式的性质
【点评】
本题是不等式组参数求解的典型题型，核心是先求出固定的解集范围，再结合整数解的个数反推参数的边界范围，易错点是边界值的取舍，需单独验证边界值是否符合要求。
【难度系数】
0.6
7. 如图是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个$x$值”到“判断结果是否$≥37$”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的$x$的取值范围是（）
A.$1≤ x＜7$
B.$3＜x≤7$
C.$1＜x≤7$
D.$3≤ x＜7$
A.$1≤ x＜7$
B.$3＜x≤7$
C.$1＜x≤7$
D.$3≤ x＜7$
答案
A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确“程序运行两次才停止”的含义：第一次运行后的结果小于37，所以程序返回重新输入（即进入第二次运行）；第二次运行后的结果大于等于37，程序停止输出。我们根据程序的运算规则（输入值先乘5再加2），分别对两次运行的结果列不等式，组成不等式组求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据程序运行两次才停止的条件，列不等式组：
1. 第一次运行后未停止，即第一次运算结果小于37：
$5x + 2 ＜ 37$
解这个不等式：
$5x ＜ 37 - 2$
$5x ＜ 35$
$x ＜ 7$
2. 第二次运行后停止，即第二次运算结果大于等于37，第二次输入的是第一次的运算结果$5x+2$，因此：
$5(5x + 2) + 2 ≥ 37$
解这个不等式：
$25x + 10 + 2 ≥ 37$
$25x + 12 ≥ 37$
$25x ≥ 37 - 12$
$25x ≥ 25$
$x ≥ 1$
综合两个不等式的解，可得$1 ≤ x ＜ 7$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的应用、程序流程图含义
【点评】
本题的易错点是对“运行两次才停止”的条件理解不到位，容易混淆两次运行对应的不等号方向，或是遗漏边界值的判断。解题时需结合程序运行逻辑，准确列出不等式组，再正确求解即可。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确“程序运行两次才停止”的含义：第一次运行后的结果小于37，所以程序返回重新输入（即进入第二次运行）；第二次运行后的结果大于等于37，程序停止输出。我们根据程序的运算规则（输入值先乘5再加2），分别对两次运行的结果列不等式，组成不等式组求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据程序运行两次才停止的条件，列不等式组：
1. 第一次运行后未停止，即第一次运算结果小于37：
$5x + 2 ＜ 37$
解这个不等式：
$5x ＜ 37 - 2$
$5x ＜ 35$
$x ＜ 7$
2. 第二次运行后停止，即第二次运算结果大于等于37，第二次输入的是第一次的运算结果$5x+2$，因此：
$5(5x + 2) + 2 ≥ 37$
解这个不等式：
$25x + 10 + 2 ≥ 37$
$25x + 12 ≥ 37$
$25x ≥ 37 - 12$
$25x ≥ 25$
$x ≥ 1$
综合两个不等式的解，可得$1 ≤ x ＜ 7$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的应用、程序流程图含义
【点评】
本题的易错点是对“运行两次才停止”的条件理解不到位，容易混淆两次运行对应的不等号方向，或是遗漏边界值的判断。解题时需结合程序运行逻辑，准确列出不等式组，再正确求解即可。
【难度系数】
0.7
8. 不等式组$\begin{cases}x+1＞0, \\ x-1＜0\end{cases}$的解集是 ______ 。
答案
解：
解不等式$x+1＞0$，得$x＞-1$，
解不等式$x-1＜0$，得$x＜1$，
所以该不等式组的解集是$-1＜x＜1$。
解不等式$x+1＞0$，得$x＞-1$，
解不等式$x-1＜0$，得$x＜1$，
所以该不等式组的解集是$-1＜x＜1$。
解析
【分析】
求解一元一次不等式组时，首先要分别求出组内每个一元一次不等式的解集，再找到两个解集的公共部分，该公共部分就是不等式组的最终解集。解题时先对第一个不等式移项得到x的取值范围，再对第二个不等式移项得到x的另一个取值范围，最后根据解集判定规则“大小小大中间找”就能确定公共解集。
【解析】
解不等式$x+1＞0$，移项得$x＞-1$，
解不等式$x-1＜0$，移项得$x＜1$，
取两个解集的公共部分，可得该不等式组的解集是$-1＜x＜1$。
【答案】
$-1＜x＜1$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 一元一次不等式组的解集
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元一次不等式的求解以及不等式组公共解集的确定，熟练掌握不等式的移项规则和不等式组解集的判定口诀即可快速解答。
【难度系数】
0.9
求解一元一次不等式组时，首先要分别求出组内每个一元一次不等式的解集，再找到两个解集的公共部分，该公共部分就是不等式组的最终解集。解题时先对第一个不等式移项得到x的取值范围，再对第二个不等式移项得到x的另一个取值范围，最后根据解集判定规则“大小小大中间找”就能确定公共解集。
【解析】
解不等式$x+1＞0$，移项得$x＞-1$，
解不等式$x-1＜0$，移项得$x＜1$，
取两个解集的公共部分，可得该不等式组的解集是$-1＜x＜1$。
【答案】
$-1＜x＜1$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 一元一次不等式组的解集
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元一次不等式的求解以及不等式组公共解集的确定，熟练掌握不等式的移项规则和不等式组解集的判定口诀即可快速解答。
【难度系数】
0.9
9.若点$P(1-m,2-m)$在第二象限，则$m$的范围是。
答案
解：
∵点$P(1-m,2-m)$在第二象限，
∴可得不等式组：
$\begin{cases}1 - m ＜ 0 \\2 - m ＞ 0\end{cases}$
解不等式$1 - m ＜ 0$，得$m ＞ 1$，
解不等式$2 - m ＞ 0$，得$m ＜ 2$，
∴$m$的取值范围是$1 ＜ m ＜ 2$。
∵点$P(1-m,2-m)$在第二象限，
∴可得不等式组：
$\begin{cases}1 - m ＜ 0 \\2 - m ＞ 0\end{cases}$
解不等式$1 - m ＜ 0$，得$m ＞ 1$，
解不等式$2 - m ＞ 0$，得$m ＜ 2$，
∴$m$的取值范围是$1 ＜ m ＜ 2$。
解析
【分析】
解题首先要明确第二象限内点的坐标符号特征：横坐标为负数，纵坐标为正数。我们将点P的横、纵坐标分别对应这个特征，列出关于m的一元一次不等式组，再分别解出每个不等式的解集，最后取两个解集的公共部分，就能得到m的取值范围。
【解析】
∵点$P(1-m,2-m)$在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴可列不等式组：
$\begin{cases}1 - m ＜ 0 \\2 - m ＞ 0\end{cases}$
解不等式$1 - m ＜ 0$，移项得$-m ＜ -1$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$m ＞ 1$，
解不等式$2 - m ＞ 0$，移项得$-m ＞ -2$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$m ＜ 2$，
∴两个解集的公共部分为$1 ＜ m ＜ 2$，即$m$的取值范围是$1 ＜ m ＜ 2$。
【答案】
$1＜m＜2$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础题型，核心是对各象限点坐标符号规律的应用，只要准确记忆第二象限坐标的正负特点，正确解一元一次不等式，就能顺利求出结果。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确第二象限内点的坐标符号特征：横坐标为负数，纵坐标为正数。我们将点P的横、纵坐标分别对应这个特征，列出关于m的一元一次不等式组，再分别解出每个不等式的解集，最后取两个解集的公共部分，就能得到m的取值范围。
【解析】
∵点$P(1-m,2-m)$在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴可列不等式组：
$\begin{cases}1 - m ＜ 0 \\2 - m ＞ 0\end{cases}$
解不等式$1 - m ＜ 0$，移项得$-m ＜ -1$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$m ＞ 1$，
解不等式$2 - m ＞ 0$，移项得$-m ＞ -2$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$m ＜ 2$，
∴两个解集的公共部分为$1 ＜ m ＜ 2$，即$m$的取值范围是$1 ＜ m ＜ 2$。
【答案】
$1＜m＜2$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础题型，核心是对各象限点坐标符号规律的应用，只要准确记忆第二象限坐标的正负特点，正确解一元一次不等式，就能顺利求出结果。
【难度系数】
0.8
10. 不等式组$\begin{cases}2(x-2)≤ 4x-3, \\2x-5＜1-x\end{cases}$的整数解是 ______ 。
答案
0，1
解析
【分析】
要得到不等式组的整数解，首先需分别求解两个一元一次不等式的解集，再找到两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，最后在总解集范围内筛选出整数即可。解不等式时要注意：若不等式两边同时除以负数，不等号方向需要改变。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$2(x-2)≤ 4x-3$
去括号得：$2x-4 ≤ 4x-3$
移项得：$2x-4x ≤ -3+4$
合并同类项得：$-2x ≤ 1$
系数化为1（不等号变向）得：$x ≥ -0.5$
2. 解不等式$2x-5＜1-x$
移项得：$2x+x ＜ 1+5$
合并同类项得：$3x ＜ 6$
系数化为1得：$x ＜ 2$
综上，不等式组的解集为$-0.5 ≤ x ＜ 2$，该范围内的整数为0、1。
【答案】
0，1
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式组整数解求解
【点评】
本题为基础题型，主要考查一元一次不等式的求解规则和不等式组解集的确定方法，解题时需格外注意系数为负时系数化1的不等号方向变化，找整数解时要注意解集边界的取值限制。
【难度系数】
0.8
要得到不等式组的整数解，首先需分别求解两个一元一次不等式的解集，再找到两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，最后在总解集范围内筛选出整数即可。解不等式时要注意：若不等式两边同时除以负数，不等号方向需要改变。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$2(x-2)≤ 4x-3$
去括号得：$2x-4 ≤ 4x-3$
移项得：$2x-4x ≤ -3+4$
合并同类项得：$-2x ≤ 1$
系数化为1（不等号变向）得：$x ≥ -0.5$
2. 解不等式$2x-5＜1-x$
移项得：$2x+x ＜ 1+5$
合并同类项得：$3x ＜ 6$
系数化为1得：$x ＜ 2$
综上，不等式组的解集为$-0.5 ≤ x ＜ 2$，该范围内的整数为0、1。
【答案】
0，1
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式组整数解求解
【点评】
本题为基础题型，主要考查一元一次不等式的求解规则和不等式组解集的确定方法，解题时需格外注意系数为负时系数化1的不等号方向变化，找整数解时要注意解集边界的取值限制。
【难度系数】
0.8
11. 不等式组$\begin{cases}3(x-2)≤ x-4, \\3x＞2x-1\end{cases}$的解集在数轴上表示正确的是（ ）
答案
$\boldsymbol{A}$
解析
【分析】
要判断不等式组的解集在数轴上的表示是否正确，需先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，最后结合数轴表示解集的规则（大于向右画，小于向左画，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈）对比选项即可。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$3(x-2)≤ x-4$：
去括号，得$3x - 6 ≤ x - 4$，
移项，得$3x - x ≤ -4 + 6$，
合并同类项，得$2x ≤ 2$，
系数化为1，得$x ≤ 1$。
2. 解不等式$3x ＞ 2x - 1$：
移项，得$3x - 2x ＞ -1$，
合并同类项，得$x ＞ -1$。
因此不等式组的解集为$-1 ＜ x ≤ 1$。
对照数轴表示规则：在$-1$处画空心圆圈，向右延伸；在$1$处画实心圆点，向左延伸，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的解法；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元一次不等式组的求解和解集的数轴表示，解题时要注意区分实心点和空心圈的用法，避免因端点判断失误出错。
【难度系数】
0.8
要判断不等式组的解集在数轴上的表示是否正确，需先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，最后结合数轴表示解集的规则（大于向右画，小于向左画，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈）对比选项即可。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$3(x-2)≤ x-4$：
去括号，得$3x - 6 ≤ x - 4$，
移项，得$3x - x ≤ -4 + 6$，
合并同类项，得$2x ≤ 2$，
系数化为1，得$x ≤ 1$。
2. 解不等式$3x ＞ 2x - 1$：
移项，得$3x - 2x ＞ -1$，
合并同类项，得$x ＞ -1$。
因此不等式组的解集为$-1 ＜ x ≤ 1$。
对照数轴表示规则：在$-1$处画空心圆圈，向右延伸；在$1$处画实心圆点，向左延伸，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的解法；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元一次不等式组的求解和解集的数轴表示，解题时要注意区分实心点和空心圈的用法，避免因端点判断失误出错。
【难度系数】
0.8
12. 在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级(2)班的同学们去栽种.若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵(但至少分得一棵).设七年级(2)班人数为$ x $人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（）
A.$\begin{cases}2x + 42 - 3(x - 1) ≤ 5, \\2x + 42 - 3(x - 1) ≥ 1\end{cases}$
B.$\begin{cases}2x + 42 - 3(x - 1) ＜ 5, \\2x + 42 - 3(x - 1) ≥ 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}2x + 42 - 3(x - 1) ≤ 5, \\2x + 42 - 3(x - 1) ＞ 1\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x + 42 - 3(x - 1) ＜ 5, \\2x + 42 - 3(x - 1) ＞ 1\end{cases}$
A.$\begin{cases}2x + 42 - 3(x - 1) ≤ 5, \\2x + 42 - 3(x - 1) ≥ 1\end{cases}$
B.$\begin{cases}2x + 42 - 3(x - 1) ＜ 5, \\2x + 42 - 3(x - 1) ≥ 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}2x + 42 - 3(x - 1) ≤ 5, \\2x + 42 - 3(x - 1) ＞ 1\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x + 42 - 3(x - 1) ＜ 5, \\2x + 42 - 3(x - 1) ＞ 1\end{cases}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先确定不变量为树苗总数量，先根据第一种分配方式表示出树苗总数；再分析第二种分配方式：除最后1人外，其余(x-1)人每人分得3棵，用总树苗数减去(x-1)人分得的树苗数，即可得到最后一人分得的树苗数；最后将题干的不等描述转化为数学符号：“少于5棵”对应“＜5”，“至少分得1棵”对应“≥1”，即可列出不等式组，匹配对应选项。
【解析】
第一步：表示树苗总数量
由“每人分2棵，还剩42棵”，可得树苗总数量为$(2x+42)$棵。
第二步：表示最后一人分得的树苗数
第二种分配方式中，前$(x-1)$人每人分3棵，共分得$3(x-1)$棵，因此最后一人分得的树苗数为$[2x+42-3(x-1)]$棵。
第三步：根据不等关系列不等式组
① 最后一人得到的树苗少于5棵，可得：$2x+42-3(x-1)＜5$
② 最后一人至少分得1棵，可得：$2x+42-3(x-1)≥1$
联立不等式组即对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次不等式组的应用
2. 列代数式
【点评】
本题是不等式应用的典型基础题，解题关键是准确理解“少于”“至少”等关键词的含义，正确转化为对应的不等符号，避免混淆带等号和不带等号的情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先确定不变量为树苗总数量，先根据第一种分配方式表示出树苗总数；再分析第二种分配方式：除最后1人外，其余(x-1)人每人分得3棵，用总树苗数减去(x-1)人分得的树苗数，即可得到最后一人分得的树苗数；最后将题干的不等描述转化为数学符号：“少于5棵”对应“＜5”，“至少分得1棵”对应“≥1”，即可列出不等式组，匹配对应选项。
【解析】
第一步：表示树苗总数量
由“每人分2棵，还剩42棵”，可得树苗总数量为$(2x+42)$棵。
第二步：表示最后一人分得的树苗数
第二种分配方式中，前$(x-1)$人每人分3棵，共分得$3(x-1)$棵，因此最后一人分得的树苗数为$[2x+42-3(x-1)]$棵。
第三步：根据不等关系列不等式组
① 最后一人得到的树苗少于5棵，可得：$2x+42-3(x-1)＜5$
② 最后一人至少分得1棵，可得：$2x+42-3(x-1)≥1$
联立不等式组即对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次不等式组的应用
2. 列代数式
【点评】
本题是不等式应用的典型基础题，解题关键是准确理解“少于”“至少”等关键词的含义，正确转化为对应的不等符号，避免混淆带等号和不带等号的情况。
【难度系数】
0.7
