登录
20.若二元一次方程$3x+4y=15$的解为非负整数，则满足条件的解有组。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
要找二元一次方程的非负整数解，首先明确非负整数是指大于等于0的整数，即x≥0、y≥0且x、y均为整数。我们可以先把方程变形，用含x的式子表示y，根据y非负的条件先确定x的取值范围，再在范围内逐个代入整数x，验证y是否为非负整数，统计符合条件的解的组数即可。
【解析】
解：由题意，方程的解x、y均为非负整数，即$x≥0$，$y≥0$，且x、y为整数。
将方程$3x+4y=15$变形，得：
$4y=15-3x$
$\therefore y=\frac{15-3x}{4}$
$\because y≥0$，$\therefore 15-3x≥0$，解得$x≤5$
又$\because x≥0$且为整数，$\therefore x$的可能取值为0、1、2、3、4、5，逐个代入验证：
①当$x=0$时，$y=\frac{15}{4}$，不是整数，不符合要求；
②当$x=1$时，$y=\frac{15-3}{4}=3$，是整数，符合要求；
③当$x=2$时，$y=\frac{9}{4}$，不是整数，不符合要求；
④当$x=3$时，$y=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，不是整数，不符合要求；
⑤当$x=4$时，$y=\frac{3}{4}$，不是整数，不符合要求；
⑥当$x=5$时，$y=\frac{15-15}{4}=0$，是整数，符合要求。
综上，符合条件的解有2组。
【答案】
$2$
【知识点】
二元一次方程的解；非负整数的概念；一元一次不等式的应用
【点评】
本题重点考查二元一次方程整数解的求解方法，解题时需先根据限制条件确定未知数的取值范围，再通过枚举验证得到符合要求的解，掌握非负整数的定义和枚举法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要找二元一次方程的非负整数解，首先明确非负整数是指大于等于0的整数，即x≥0、y≥0且x、y均为整数。我们可以先把方程变形，用含x的式子表示y，根据y非负的条件先确定x的取值范围，再在范围内逐个代入整数x，验证y是否为非负整数，统计符合条件的解的组数即可。
【解析】
解：由题意，方程的解x、y均为非负整数，即$x≥0$，$y≥0$，且x、y为整数。
将方程$3x+4y=15$变形，得：
$4y=15-3x$
$\therefore y=\frac{15-3x}{4}$
$\because y≥0$，$\therefore 15-3x≥0$，解得$x≤5$
又$\because x≥0$且为整数，$\therefore x$的可能取值为0、1、2、3、4、5，逐个代入验证：
①当$x=0$时，$y=\frac{15}{4}$，不是整数，不符合要求；
②当$x=1$时，$y=\frac{15-3}{4}=3$，是整数，符合要求；
③当$x=2$时，$y=\frac{9}{4}$，不是整数，不符合要求；
④当$x=3$时，$y=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，不是整数，不符合要求；
⑤当$x=4$时，$y=\frac{3}{4}$，不是整数，不符合要求；
⑥当$x=5$时，$y=\frac{15-15}{4}=0$，是整数，符合要求。
综上，符合条件的解有2组。
【答案】
$2$
【知识点】
二元一次方程的解；非负整数的概念；一元一次不等式的应用
【点评】
本题重点考查二元一次方程整数解的求解方法，解题时需先根据限制条件确定未知数的取值范围，再通过枚举验证得到符合要求的解，掌握非负整数的定义和枚举法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
21. 已知$\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$x - ay = 4$的一组解，$b+2$的算术平方根为3，求$ab+4$的平方根。
答案
解：
把$\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases}$代入二元一次方程$x - ay = 4$，得：
$1 - a×(-1) = 4$
即$1 + a = 4$
解得$a=3$。
因为$b+2$的算术平方根为3，所以$b+2 = 3^2 = 9$，
解得$b=7$。
将$a=3$，$b=7$代入$ab+4$，得：
$ab+4 = 3×7 + 4 = 25$
因为25的平方根是$\pm5$，
所以$ab+4$的平方根为$\pm5$。
把$\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases}$代入二元一次方程$x - ay = 4$，得：
$1 - a×(-1) = 4$
即$1 + a = 4$
解得$a=3$。
因为$b+2$的算术平方根为3，所以$b+2 = 3^2 = 9$，
解得$b=7$。
将$a=3$，$b=7$代入$ab+4$，得：
$ab+4 = 3×7 + 4 = 25$
因为25的平方根是$\pm5$，
所以$ab+4$的平方根为$\pm5$。
解析
【分析】
解题分三步思考：第一步，根据二元一次方程解的定义，方程的解一定满足原方程，因此把已知的x、y的值代入方程即可求出a的值；第二步，根据算术平方根的定义，若一个非负数的算术平方根为3，那么这个数等于3的平方，据此列等式求出b的值；第三步，把求得的a、b代入ab+4算出结果，再根据平方根的定义求它的平方根，注意正数的平方根有正负两个，不要漏写负根。
【解析】
把$\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases}$代入二元一次方程$x - ay = 4$，得：
$1 - a×(-1) = 4$
即$1 + a = 4$
解得$a=3$。
因为$b+2$的算术平方根为3，根据算术平方根的定义可得$b+2 = 3^2 = 9$，
解得$b=7$。
将$a=3$，$b=7$代入$ab+4$，得：
$ab+4 = 3×7 + 4 = 25$
根据平方根的定义，25的平方根是$\pm5$，
所以$ab+4$的平方根为$\pm5$。
【答案】
$\pm5$
【知识点】
二元一次方程的解；算术平方根；平方根
【点评】
本题是基础综合题，解题核心是准确掌握相关概念：一是二元一次方程的解满足原方程，可直接代入求解未知系数；二是要明确算术平方根和平方根的区别，算术平方根是非负的，而正数的平方根有两个且互为相反数，计算时不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
解题分三步思考：第一步，根据二元一次方程解的定义，方程的解一定满足原方程，因此把已知的x、y的值代入方程即可求出a的值；第二步，根据算术平方根的定义，若一个非负数的算术平方根为3，那么这个数等于3的平方，据此列等式求出b的值；第三步，把求得的a、b代入ab+4算出结果，再根据平方根的定义求它的平方根，注意正数的平方根有正负两个，不要漏写负根。
【解析】
把$\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases}$代入二元一次方程$x - ay = 4$，得：
$1 - a×(-1) = 4$
即$1 + a = 4$
解得$a=3$。
因为$b+2$的算术平方根为3，根据算术平方根的定义可得$b+2 = 3^2 = 9$，
解得$b=7$。
将$a=3$，$b=7$代入$ab+4$，得：
$ab+4 = 3×7 + 4 = 25$
根据平方根的定义，25的平方根是$\pm5$，
所以$ab+4$的平方根为$\pm5$。
【答案】
$\pm5$
【知识点】
二元一次方程的解；算术平方根；平方根
【点评】
本题是基础综合题，解题核心是准确掌握相关概念：一是二元一次方程的解满足原方程，可直接代入求解未知系数；二是要明确算术平方根和平方根的区别，算术平方根是非负的，而正数的平方根有两个且互为相反数，计算时不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
22.有这样一道题:判断$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$是不是二元一次方程组$\begin{cases} x+2y=5, \\ 2x+3y=5 \end{cases}$的解.小恒的解答过程:将$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$x+2y=5$中,等式成立,所以$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$是该方程组的解.小恒的解答过程是否正确?若不正确,请说明理由.
答案
解：小恒的解答过程不正确。
理由：二元一次方程组的解需要同时满足方程组中的所有方程，必须将未知数的值代入方程组的每一个方程逐一验证。
将$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$代入方程$2x+3y=5$中，
左边$=2×3 + 3×1 = 9$，右边$=5$，左边$≠$右边，等式不成立。
因此$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$不是该二元一次方程组的解。
理由：二元一次方程组的解需要同时满足方程组中的所有方程，必须将未知数的值代入方程组的每一个方程逐一验证。
将$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$代入方程$2x+3y=5$中，
左边$=2×3 + 3×1 = 9$，右边$=5$，左边$≠$右边，等式不成立。
因此$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$不是该二元一次方程组的解。
解析
【分析】
首先我们要明确二元一次方程组解的判定规则：只有同时满足方程组中每一个方程的未知数取值，才是这个方程组的解。所以判断某组值是不是方程组的解时，必须把这组值代入所有方程逐一检验，不能只检验一个就下结论。本题中小恒只代入了第一个方程验证，没有验证第二个，所以解答不完整，我们只需把给出的x、y值代入第二个方程计算，看等式是否成立就能得出最终结论。
【解析】
解：小恒的解答过程不正确。
理由：二元一次方程组的解需要同时满足方程组中的所有方程，必须将未知数的值代入方程组的每一个方程逐一验证。
将$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$代入方程$2x+3y=5$中，
左边$=2×3 + 3×1 = 9$，右边$=5$，左边$≠$右边，等式不成立。
因此$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$不是该二元一次方程组的解。
【答案】
小恒的解答过程不正确。二元一次方程组的解需要同时满足方程组中的所有方程，必须将未知数的值代入方程组的每一个方程逐一验证。将$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$代入$2x+3y=5$，左边为9，右边为5，左边≠右边，等式不成立，因此$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$不是该二元一次方程组的解。
【知识点】
1. 二元一次方程组的解的概念
2. 代入检验法
【点评】
本题侧重对基础概念的考查，易错点是仅验证方程组中的一个方程就判定是方程组的解，解题时需牢记要对所有方程逐一验证，只有全部满足才是方程组的解。
【难度系数】
0.8
首先我们要明确二元一次方程组解的判定规则：只有同时满足方程组中每一个方程的未知数取值，才是这个方程组的解。所以判断某组值是不是方程组的解时，必须把这组值代入所有方程逐一检验，不能只检验一个就下结论。本题中小恒只代入了第一个方程验证，没有验证第二个，所以解答不完整，我们只需把给出的x、y值代入第二个方程计算，看等式是否成立就能得出最终结论。
【解析】
解：小恒的解答过程不正确。
理由：二元一次方程组的解需要同时满足方程组中的所有方程，必须将未知数的值代入方程组的每一个方程逐一验证。
将$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$代入方程$2x+3y=5$中，
左边$=2×3 + 3×1 = 9$，右边$=5$，左边$≠$右边，等式不成立。
因此$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$不是该二元一次方程组的解。
【答案】
小恒的解答过程不正确。二元一次方程组的解需要同时满足方程组中的所有方程，必须将未知数的值代入方程组的每一个方程逐一验证。将$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$代入$2x+3y=5$，左边为9，右边为5，左边≠右边，等式不成立，因此$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$不是该二元一次方程组的解。
【知识点】
1. 二元一次方程组的解的概念
2. 代入检验法
【点评】
本题侧重对基础概念的考查，易错点是仅验证方程组中的一个方程就判定是方程组的解，解题时需牢记要对所有方程逐一验证，只有全部满足才是方程组的解。
【难度系数】
0.8
