【例1】在$△ ABC$中，若$∠ A=60°$，$∠ B=65°$，则$∠ C$等于（）

A.$60°$
B.$55°$
C.$80°$
D.$12°$

B

【分析】
本题要求三角形的第三个内角，首先回忆三角形内角和的相关性质：任意三角形的三个内角之和为180°。已知△ABC中两个内角的度数，只需用内角和180°减去已知的两个角的度数，就能求出∠C的度数，再对应选项选择即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理可知，任意三角形的内角和为180°，即在△ABC中，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
已知$∠ A=60°$，$∠ B=65°$，代入得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 65° = 55°$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查三角形内角和定理的应用，只需准确识记定理内容，代入数值正确计算即可得分，计算时注意角度的减法不要出错。
【难度系数】
0.9

练习1.在$△ ABC$中,若$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$,则$∠ C$的值为()

A.$40°$
B.$90°$
C.$60°$
D.$50°$

B

【分析】
解题思路：首先回忆三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。题目给出了三个内角的度数比，我们可以先设比例中每份的角度为x，将∠A、∠B、∠C分别用含x的式子表示，再根据内角和为180°列方程求解，最后计算出∠C的度数对应选项即可。
【解析】
设∠A的度数为x，由∠A:∠B:∠C=1:2:3可得：
∠B=2x，∠C=3x
根据三角形内角和定理，三角形三个内角和为180°，可列方程：
$x + 2x + 3x = 180°$
合并同类项得：$6x = 180°$
解得：$x = 30°$
则$∠ C = 3x = 3×30° = 90°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；按比例计算角度
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形内角和定理的应用，结合比例设未知数列方程是常用的解题方法，熟练掌握内角和定理即可快速得分。
【难度系数】
0.9

练习2.如图1，在$△ ABC$中，点D是边AB上一点，点E是边AC上一点，且$DE// BC$，若$∠ B=40°$，$∠ AED=60°$，则$∠ A$的度数是（）

A.$100°$
B.$90°$
C.$80°$
D.$70°$

C

【分析】
解题时先从已知条件DE//BC入手，根据平行线的性质可得到∠C与已知∠AED的数量关系，求出∠C的度数；再结合三角形内角和为180°的定理，代入已知的∠B和求出的∠C的度数，即可计算出∠A的大小。
【解析】
解：
∵DE//BC（已知），
∴∠C = ∠AED = 60°（两直线平行，同位角相等）。
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
∠A + ∠B + ∠C = 180°，
已知∠B=40°，∠C=60°，
∴∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心是对基础性质的直接应用，只要熟练掌握平行线的同位角关系和三角形内角和定理，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

练习3.如图2，直线$a// b$，若$∠ 1=60°$，$∠ 2=40°$，则$∠ 3$等于。

80°

【分析】
解题时可结合所学的平行线性质与三角形内角和知识推导：首先观察图形，两条截线和平行线a、b共同围成了一个三角形；再利用平行线的性质，可将已知的∠1、∠2转化为这个三角形的两个内角；最后根据三角形内角和为180°算出第三个内角的度数，该角与∠3是对顶角，大小相等，即可求出∠3的数值。
【解析】
解：
∵直线$a//b$，根据平行线的性质，可得两条截线与平行线围成的三角形的两个内角分别与∠1、∠2相等，即两个内角分别为$60°$、$40°$。
根据三角形内角和定理，该三角形的第三个内角度数为：
$180° - 60° - 40° = 80°$
∵∠3与这个内角是对顶角，根据对顶角相等的性质，
∴$∠3=80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，核心考察平行线性质和三角形内角和定理的结合应用，只要能准确梳理角之间的等量关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.8

练习4.如图3，AB//CD，∠A=135°，∠C=∠E，则∠C的度数为。

67.5°

【分析】
解题时先观察图形特征，已知AB//CD，要求∠C的度数，可结合平行线性质与三角形外角性质推导：首先设CD与AE交于点O，根据平行线的同位角相等性质，能得到和∠A相等的角，该角恰好是△COE的外角；再利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，结合题目给出的∠C=∠E的等量关系，代入计算即可求出∠C的度数。
【解析】
解：设CD与AE相交于点O。
∵AB//CD，
∴∠DOE=∠A=135°（两直线平行，同位角相等）。
∵∠DOE是△COE的外角，
∴∠DOE=∠C+∠E（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
又
∵∠C=∠E，
∴∠C+∠C=135°，即2∠C=135°，
解得∠C=67.5°。
【答案】
67.5°
【知识点】
平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，核心考查平行线性质和三角形外角性质的结合运用，解题关键是准确找到平行线截得的等角，以及该角与待求角所在三角形的外角关系，掌握基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

练习5.如图4,在$△ ABC$中,$∠ A=40°$,求$∠ B+∠ C+∠ ADE+∠ AED$的度数.

解:在$△ ADE$中,$∠ ADE+∠ AED+∠ A=180°$,
在$△ ABC$中,$∠ B+∠ C+∠ A=180°$,
$\therefore ∠ B+∠ C+∠ ADE+∠ AED=360°-80°=280°.$

【分析】
我们已知三角形内角和为180°，观察图形可发现待求的四个角分别属于△ABC和△ADE两个三角形，且两个三角形有公共角∠A=40°。解题时可先分别在两个三角形中利用内角和定理，表示出∠B+∠C和∠ADE+∠AED的度数，再将两个式子相加，代入∠A的度数即可求出最终结果。
【解析】
在△ADE中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ ADE + ∠ AED + ∠ A = 180°$，即$∠ ADE + ∠ AED = 180° - ∠ A$
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ B + ∠ C + ∠ A = 180°$，即$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A$
将上述两个等式相加，得：
$∠ B + ∠ C + ∠ ADE + ∠ AED = (180° - ∠ A) + (180° - ∠ A) = 360° - 2∠ A$
代入$∠ A=40°$，得：
原式$=360° - 2×40° = 360° - 80° = 280°$
【答案】
$280°$
【知识点】
三角形内角和定理、角度和差运算
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题，解题关键是识别出待求角度分属两个含公共角∠A的三角形，通过整体代入计算即可，解题时注意不要漏算2倍的∠A，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

练习6.如图，AB//CD，∠BAE=∠DCE=45°.填空：
∵AB//CD，
∴∠1+45°+∠2+45°=，
∴∠1+∠2=，
∴∠E=.

$180°\quad 90°\quad 90°$

【分析】
解题先从已知AB//CD出发，首先回忆平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得∠BAC与∠DCA的和为180°；再观察角的拆分：∠BAC=∠2+45°，∠DCA=∠1+45°，代入即可得到第一个空的结果；接着对第一个式子移项计算，就能求出∠1+∠2的和；最后在△ACE中，利用三角形内角和为180°，减去∠1与∠2的和，即可求出∠E的度数。
【解析】
∵AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得$∠ BAC + ∠ DCA = 180°$，
又
∵$∠ BAC = ∠ 2 + ∠ BAE = ∠ 2 + 45°$，$∠ DCA = ∠ 1 + ∠ DCE = ∠ 1 + 45°$，
∴$∠ 1 + 45° + ∠ 2 + 45° = 180°$；
对上述式子整理得：$∠ 1 + ∠ 2 + 90° = 180°$，
∴$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 90° = 90°$；
在△ACE中，根据“三角形内角和为$180°$”，得$∠ E + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，
∴$∠ E = 180° - (∠ 1 + ∠ 2) = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
$180°$；$90°$；$90°$
【知识点】
平行线的性质、三角形内角和定理、角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质与三角形内角和定理的基础综合应用题，难度不大，解题的关键是准确识别角的拆分关系，结合对应几何性质逐步推导即可，是几何入门的常见题型。
【难度系数】
0.85

【例2】(教材P16T1变式)求下列各图中x的值.

解:$x+x+72°=180°,\therefore x=54°.$
$x-36°+x+36°+x=180°,\therefore x=60°.$
$x+3x+5x=180°,x=20°.$

【分析】
解题的核心依据是三角形内角和定理，即任意三角形的三个内角之和为180°。我们只需将每个三角形的三个内角度数相加，令其和等于180°，列出关于x的一元一次方程，再解方程即可求出x的值。
【解析】
第一个三角形：三个内角分别为$x$、$x$、$72°$，根据三角形内角和定理列方程：
$x + x + 72° = 180°$
化简得$2x = 108°$，解得$x=54°$。
第二个三角形：三个内角分别为$x-36°$、$x+36°$、$x$，根据三角形内角和定理列方程：
$x-36° + x+36° +x = 180°$
化简得$3x=180°$，解得$x=60°$。
第三个三角形：三个内角分别为$x$、$3x$、$5x$，根据三角形内角和定理列方程：
$x + 3x + 5x = 180°$
化简得$9x=180°$，解得$x=20°$。
【答案】
三个图中x的值依次为$54°$、$60°$、$20°$
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程求解
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，将几何问题转化为代数方程问题求解，体现了数形结合的思想，需要熟练掌握三角形内角和定理的应用。
【难度系数】
0.9