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【典例1】如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$。
(1)画出$BC$，$AC$边上高$AE$，$BD$；
(2)若$AC=2BC$，求$\frac{BD}{AE}$的值。
(1)画出$BC$，$AC$边上高$AE$，$BD$；
(2)若$AC=2BC$，求$\frac{BD}{AE}$的值。
答案
(1)如图所示
；(2)$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE=\frac{1}{2}AC· BD,AE=2BD,$
$\therefore \frac{BD}{AE}=\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
(1) 第一问按照三角形高的定义思考：从三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是该边上的高。因此作BC边上的高，需过点A向BC作垂线，垂足为E，线段AE即为所求；作AC边上的高，需过点B向AC作垂线，垂足为D，线段BD即为所求。
(2) 第二问求两条高的比值，可利用等积法推导：同一个三角形的面积可以用不同的底和对应高的乘积的一半来表示，由此建立包含AE、BD的等式，再结合已知AC=2BC的条件，消去公共项后就能求出两条高的比值。
【解析】
(1) 根据三角形高的定义，画出AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，作图结果如图所示：
(2) 解：
∵AE是BC边上的高，BD是AC边上的高
∴$△ ABC$的面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BD$
∴$\frac{1}{2}BC· AE=\frac{1}{2}AC· BD$，约去$\frac{1}{2}$可得$BC· AE=AC· BD$
把$AC=2BC$代入上式得：$BC· AE=2BC· BD$
∵BC是三角形的边长，$BC≠0$，两边同时除以BC得$AE=2BD$
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{BD}{2BD}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) 如图所示；
(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
三角形的高线，三角形面积公式，等积法
【点评】
本题属于基础题型，作图部分需要准确掌握三角形高的定义，计算部分核心是理解等积法的应用，通过同一个三角形面积的不同表达形式建立线段等量关系，是几何中求解线段比值、线段长度的常用技巧。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问按照三角形高的定义思考：从三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是该边上的高。因此作BC边上的高，需过点A向BC作垂线，垂足为E，线段AE即为所求；作AC边上的高，需过点B向AC作垂线，垂足为D，线段BD即为所求。
(2) 第二问求两条高的比值，可利用等积法推导：同一个三角形的面积可以用不同的底和对应高的乘积的一半来表示，由此建立包含AE、BD的等式，再结合已知AC=2BC的条件，消去公共项后就能求出两条高的比值。
【解析】
(1) 根据三角形高的定义，画出AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，作图结果如图所示：
(2) 解：
∵AE是BC边上的高，BD是AC边上的高
∴$△ ABC$的面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BD$
∴$\frac{1}{2}BC· AE=\frac{1}{2}AC· BD$，约去$\frac{1}{2}$可得$BC· AE=AC· BD$
把$AC=2BC$代入上式得：$BC· AE=2BC· BD$
∵BC是三角形的边长，$BC≠0$，两边同时除以BC得$AE=2BD$
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{BD}{2BD}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) 如图所示
；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
三角形的高线，三角形面积公式，等积法
【点评】
本题属于基础题型，作图部分需要准确掌握三角形高的定义，计算部分核心是理解等积法的应用，通过同一个三角形面积的不同表达形式建立线段等量关系，是几何中求解线段比值、线段长度的常用技巧。
【难度系数】
0.8
【典例2】如图，在△ABC中，AB=AC，AC边上的高BD=4，P为BC上一点，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，求PE+PF的值。
答案
连接AP，
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ PAC},$
$\therefore \frac{1}{2}AB· PF+\frac{1}{2}AC· PE=\frac{1}{2}AC· BD,$
$\because AB=AC,BD=4,$
$\therefore PE+PF=4.$
解析
【分析】
本题给出等腰△ABC及腰上的高BD，以及底边上点P到两腰的两条垂线段PE、PF，要求PE+PF的长度。遇到涉及多条垂线段、求线段和的问题时，可采用面积法求解：首先连接AP，将△ABC分割为△ABP和△ACP两个小三角形，根据“两个小三角形的面积之和等于大△ABC的面积”列等式，再结合AB=AC的等腰性质，即可消去等式中的边长项，直接得到PE+PF与BD的等量关系，代入BD的数值即可求解。
【解析】
连接AP，
∵ $ S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ PAC} $，
根据三角形面积公式可得：$ \frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}AB·PF+\frac{1}{2}AC·PE $，
又
∵ $ AB=AC $，$ BD=4 $，
将等式两边同时除以$ \frac{1}{2}AC $，可得：$ PE+PF=BD=4 $。
【答案】
PE+PF的值为4。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形面积计算，面积法的应用
【点评】
本题是面积法的典型应用，通过将大三角形拆分为两个小三角形，利用面积和相等建立等量关系，结合等腰三角形两腰相等的性质简化运算，这种思路常用于解决等腰三角形中底边上的点到两腰垂线段和的相关问题。
【难度系数】
0.7
本题给出等腰△ABC及腰上的高BD，以及底边上点P到两腰的两条垂线段PE、PF，要求PE+PF的长度。遇到涉及多条垂线段、求线段和的问题时，可采用面积法求解：首先连接AP，将△ABC分割为△ABP和△ACP两个小三角形，根据“两个小三角形的面积之和等于大△ABC的面积”列等式，再结合AB=AC的等腰性质，即可消去等式中的边长项，直接得到PE+PF与BD的等量关系，代入BD的数值即可求解。
【解析】
连接AP，
∵ $ S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ PAC} $，
根据三角形面积公式可得：$ \frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}AB·PF+\frac{1}{2}AC·PE $，
又
∵ $ AB=AC $，$ BD=4 $，
将等式两边同时除以$ \frac{1}{2}AC $，可得：$ PE+PF=BD=4 $。
【答案】
PE+PF的值为4。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形面积计算，面积法的应用
【点评】
本题是面积法的典型应用，通过将大三角形拆分为两个小三角形，利用面积和相等建立等量关系，结合等腰三角形两腰相等的性质简化运算，这种思路常用于解决等腰三角形中底边上的点到两腰垂线段和的相关问题。
【难度系数】
0.7
变式.如图1,在△ABC中,CA=CB=4,S△ABC=6,点D在AB上,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足为E,F,则DE+DF=
3
.答案
提示:连接CD，
$S_{△ ACB}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×4× DE+\frac{1}{2}×4× DF=6,$
$\therefore DE+DF=3.$
解析
【分析】
本题已知等腰△ABC的腰长和总面积，要求两条垂线段的长度和，可采用面积分割法求解：通过连接CD，将△ABC拆分为△ACD和△BCD两个小三角形，两个小三角形的底分别等于等腰三角形的腰AC、BC（长度均为4），对应高恰好是DE、DF，根据“大三角形面积等于两个小三角形面积之和”的关系，代入面积公式即可求出DE+DF的数值。
【解析】
解：连接CD，
由面积关系可得：$S_{△ ACB}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}$，
根据三角形面积公式，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× DE$，$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC× DF$，
已知$AC=BC=4$，$S_{△ ABC}=6$，代入得：
$\frac{1}{2}×4× DE + \frac{1}{2}×4× DF =6$
化简得$2(DE+DF)=6$，
解得$DE+DF=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形面积计算，面积分割法，等腰三角形性质
【点评】
本题是面积法求线段和的典型题型，解题核心是通过添加辅助线将整体面积拆分为多个小三角形面积之和，结合已知的等长线段建立等式即可快速求解，该思路在等腰、等边三角形相关线段和问题中通用性较强，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题已知等腰△ABC的腰长和总面积，要求两条垂线段的长度和，可采用面积分割法求解：通过连接CD，将△ABC拆分为△ACD和△BCD两个小三角形，两个小三角形的底分别等于等腰三角形的腰AC、BC（长度均为4），对应高恰好是DE、DF，根据“大三角形面积等于两个小三角形面积之和”的关系，代入面积公式即可求出DE+DF的数值。
【解析】
解：连接CD，
由面积关系可得：$S_{△ ACB}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}$，
根据三角形面积公式，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× DE$，$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC× DF$，
已知$AC=BC=4$，$S_{△ ABC}=6$，代入得：
$\frac{1}{2}×4× DE + \frac{1}{2}×4× DF =6$
化简得$2(DE+DF)=6$，
解得$DE+DF=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形面积计算，面积分割法，等腰三角形性质
【点评】
本题是面积法求线段和的典型题型，解题核心是通过添加辅助线将整体面积拆分为多个小三角形面积之和，结合已知的等长线段建立等式即可快速求解，该思路在等腰、等边三角形相关线段和问题中通用性较强，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
【典例3】如图，长方形ABCD面积为96，E为AD的中点，△BCF面积为20，则图中阴影部分的面积为
14
。答案
提示:连接DF,$\therefore S_{△ CDF}=\frac{1}{2}×96=48,\therefore S_{△ ADF}=48-20=28,$
$\therefore S_{△ AEF}=\frac{1}{2}S_{△ ADF}=14.$
解析
【分析】
要求阴影部分△AEF的面积，已知E是AD中点，可知△AEF与△DEF同底AF，高相等，因此阴影面积是△ADF面积的一半，所以解题核心是先求出△ADF的面积。我们可以通过连接辅助线DF，利用长方形内三角形的面积关系推导：△CDF与长方形ABCD同底CD，高等于长方形的宽BC，因此△CDF的面积是长方形面积的一半；再结合已知△BCF的面积，即可求出△ADF的面积，最终得到阴影部分的面积。
【解析】
解：连接DF，
1. 长方形ABCD的面积为96，△CDF以CD为底，高与长方形的边BC长度相等，因此：
$S_{△ CDF}=\frac{1}{2}S_{长方形ABCD}=\frac{1}{2}×96=48$
2. $△ ADF$的底为AF，高为AD；$△ BCF$的底为BF，高为BC=AD，因此$S_{△ ADF}+S_{△ BCF}=\frac{1}{2}× AD×(AF+BF)=\frac{1}{2}S_{长方形ABCD}=48$，已知$S_{△ BCF}=20$，因此：
$S_{△ ADF}=48-20=28$
3. 因为E为AD的中点，$△ AEF$与$△ ADF$同底AF，高的比为$AE:AD=1:2$，因此：
$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}S_{△ ADF}=\frac{1}{2}×28=14$
【答案】
【知识点】
三角形面积计算，等积变换，长方形面积性质
【点评】
本题主要考查利用三角形与长方形的面积关系、等积变换求解阴影面积，解题的关键是找到未知三角形与已知面积图形之间的数量关系，通过合理转化求出目标图形的面积，需要熟练掌握同底（等高）三角形面积的比例性质。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分△AEF的面积，已知E是AD中点，可知△AEF与△DEF同底AF，高相等，因此阴影面积是△ADF面积的一半，所以解题核心是先求出△ADF的面积。我们可以通过连接辅助线DF，利用长方形内三角形的面积关系推导：△CDF与长方形ABCD同底CD，高等于长方形的宽BC，因此△CDF的面积是长方形面积的一半；再结合已知△BCF的面积，即可求出△ADF的面积，最终得到阴影部分的面积。
【解析】
解：连接DF，
1. 长方形ABCD的面积为96，△CDF以CD为底，高与长方形的边BC长度相等，因此：
$S_{△ CDF}=\frac{1}{2}S_{长方形ABCD}=\frac{1}{2}×96=48$
2. $△ ADF$的底为AF，高为AD；$△ BCF$的底为BF，高为BC=AD，因此$S_{△ ADF}+S_{△ BCF}=\frac{1}{2}× AD×(AF+BF)=\frac{1}{2}S_{长方形ABCD}=48$，已知$S_{△ BCF}=20$，因此：
$S_{△ ADF}=48-20=28$
3. 因为E为AD的中点，$△ AEF$与$△ ADF$同底AF，高的比为$AE:AD=1:2$，因此：
$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}S_{△ ADF}=\frac{1}{2}×28=14$
【答案】
【知识点】
三角形面积计算，等积变换，长方形面积性质
【点评】
本题主要考查利用三角形与长方形的面积关系、等积变换求解阴影面积，解题的关键是找到未知三角形与已知面积图形之间的数量关系，通过合理转化求出目标图形的面积，需要熟练掌握同底（等高）三角形面积的比例性质。
【难度系数】
0.6
变式.(2026·武汉)如图3,长方形ABCD面积为6,点E在DC的延长线上,连接BE,P为BE中点,则$S_{△ ABP}$的面积为(
A.6
B.3
C.1.5
D.2
C
)A.6
B.3
C.1.5
D.2
答案
提示:$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}=3,$
$\because BP=PE,\therefore S_{△ ABP}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=1.5.$
$\because BP=PE,\therefore S_{△ ABP}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=1.5.$
解析
【分析】
解题时可分两步推导：第一步先分析△ABE与长方形ABCD的面积关系，△ABE的底为长方形的边AB，因为E在DC延长线上，AB与DE平行，平行线间距离处处相等，因此△ABE以AB为底时的高等于长方形的宽AD，可得△ABE面积是长方形面积的一半；第二步结合P是BE中点的条件，△ABP和△AEP以BP、PE为底时高相同，等底同高的三角形面积相等，因此△ABP面积是△ABE面积的一半，两步计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，面积为6
∴$S_{长方形ABCD}=AB×AD=6$
∵点E在DC延长线上，$AB// DC$，
∴△ABE以AB为底时，对应的高等于AD的长度
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AB×AD=\frac{1}{2}×6=3$
∵P为BE的中点，即$BP=PE$
△ABP和△AEP同高（从A向BE作的高为公共高），底相等
∴$S_{△ABP}=\frac{1}{2}S_{△ABE}=\frac{1}{2}×3=1.5$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
三角形面积计算，等底同高三角形面积性质，长方形面积公式
【点评】
本题是三角形面积的常规考法，解题核心是利用平行线间距离相等、中点带来的等底条件转化面积关系，熟练掌握面积法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步推导：第一步先分析△ABE与长方形ABCD的面积关系，△ABE的底为长方形的边AB，因为E在DC延长线上，AB与DE平行，平行线间距离处处相等，因此△ABE以AB为底时的高等于长方形的宽AD，可得△ABE面积是长方形面积的一半；第二步结合P是BE中点的条件，△ABP和△AEP以BP、PE为底时高相同，等底同高的三角形面积相等，因此△ABP面积是△ABE面积的一半，两步计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，面积为6
∴$S_{长方形ABCD}=AB×AD=6$
∵点E在DC延长线上，$AB// DC$，
∴△ABE以AB为底时，对应的高等于AD的长度
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AB×AD=\frac{1}{2}×6=3$
∵P为BE的中点，即$BP=PE$
△ABP和△AEP同高（从A向BE作的高为公共高），底相等
∴$S_{△ABP}=\frac{1}{2}S_{△ABE}=\frac{1}{2}×3=1.5$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
三角形面积计算，等底同高三角形面积性质，长方形面积公式
【点评】
本题是三角形面积的常规考法，解题核心是利用平行线间距离相等、中点带来的等底条件转化面积关系，熟练掌握面积法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
