1.在$△ ABC$中，$∠ A+∠ B=∠ C$，则$∠ C$的度数为.

$90°$
解:$\because ∠ A+∠ B+∠ C=180°$,
$\therefore 2∠ C=180°,\therefore ∠ C=90°.$

【分析】
本题考查三角形内角和的应用，解题思路如下：第一步，回忆三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和为180°；第二步，结合题目给出的∠A+∠B=∠C的等量关系，将内角和公式中的∠A+∠B替换为∠C，得到只含∠C的等式后求解即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
又$\because ∠ A + ∠ B = ∠ C$，
将$∠ A + ∠ B = ∠ C$代入上式得：$∠ C + ∠ C = 180°$，
即$2∠ C = 180°$，
解得$∠ C = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
三角形内角和定理、等量代换
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题，解题核心是熟练掌握三角形内角和为180°的性质，结合题目给出的角的等量关系代入计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.9

2.在△ABC中，∠B=3∠A，∠C=5∠A，求∠A的度数。

解:设$∠ A=x°$,则 $x+3x+5x=180$,
$x=20,\therefore ∠ A=20°.$

【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形的三个内角之和为180°。题目中给出了∠B、∠C与∠A的倍数关系，因此我们可以采用设未知数列方程的方法求解：将∠A的度数设为未知数，用含该未知数的式子分别表示∠B和∠C的度数，再代入三角形内角和公式列出方程，解方程即可得到∠A的度数。
【解析】
解：设∠A的度数为$x°$，则$∠B=3x°$，$∠C=5x°$。
根据三角形内角和为180°，可得：
$x + 3x + 5x = 180$
合并同类项得：$9x = 180$
解得：$x = 20$
因此$∠A=20°$。
【答案】
$∠A=20°$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题，解题的核心是抓住三个内角的数量关系，结合内角和定理建立方程求解，能有效锻炼学生将几何问题转化为代数方程求解的能力。
【难度系数】
0.8

3.(2026·武汉)如图，平行的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于点G.若∠ABE=155°,∠CDF=160°,则∠EGF的大小是()

A.35°
B.40°
C.45°
D.50°

C

【分析】
本题已知平行光线AB//CD，要求两条折射光线的夹角∠EGF，可通过作辅助线利用平行线的性质求解。解题思路为：过点G作平行于AB的直线，根据平行公理的推论，这条直线也平行于CD，再利用两直线平行同旁内角互补的性质，分别求出夹角被辅助线分成的两个小角的度数，相加即可得到∠EGF的大小。
【解析】
过点G作GH//AB。
∵ AB和CD是平行光线，即AB//CD，
∴ GH//AB//CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∵ AB//GH，
∴ ∠ABE + ∠BGH = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
已知∠ABE=155°，代入得：
∠BGH = 180° - 155° = 25°。
∵ CD//GH，
∴ ∠CDF + ∠DGH = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
已知∠CDF=160°，代入得：
∠DGH = 180° - 160° = 20°。
∴ ∠EGF = ∠BGH + ∠DGH = 25° + 20° = 45°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，解题的核心是通过作辅助线构造平行线模型，将未知角拆分为两个可通过已知条件计算的小角，解题时要熟练掌握平行线的性质定理，灵活运用辅助线转化角度关系。
【难度系数】
0.7

4.(2026·恩施)如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若$DE// CG$，$FG// CD$，根据所标数据，则$∠ A$的度数为()

A.$58°$
B.$64°$
C.$66°$
D.$72°$

A

【分析】
解题时先从已知的平行关系入手，根据平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，先分别求出△ABC中∠B和∠C的度数，再利用三角形内角和为180°的定理，代入计算即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵ DE//CG，且CG是边BC的一部分，即DE//BC
∴ ∠B与120°角为平行线下的同旁内角，满足∠B + 120° = 180°
解得：∠B = 180° - 120° = 60°
∵ FG//CD，且CD是边AC的一部分，即FG//AC
∴ ∠C与118°角为平行线下的同旁内角，满足∠C + 118° = 180°
解得：∠C = 180° - 118° = 62°
在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°
∴ ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 60° - 62° = 58°
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线性质与三角形内角和的综合基础题，解题的核心是准确识别平行关系对应的同旁内角，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

5.(教材P12例2改编)如图，B处在A处南偏西$45°$方向，C处在A处南偏东$15°$方向，C处在B处北偏东$80°$方向，求$∠ ACB$的度数.

解:$∠ CBE=80°$,

$∠ EBA=45°,∠ ABC=35°$,
$\because ∠ BAC=45°+15°=60°$,
$\therefore ∠ ACB=180°-35°-60°=85°.$

【分析】
解题时首先结合方位角的定义确定已知角的度数，再利用“同一平面内南北方向线互相平行”的性质求出∠ABC的度数，随后根据两个方位角的和得到∠BAC的度数，最后利用三角形内角和定理即可计算出∠ACB的度数。
【解析】
1. 由方位角的定义可知：C处在B处北偏东80°，因此$∠ CBE=80°$；B处在A处南偏西$45°$，且南北方向的直线互相平行，内错角相等，因此$∠ EBA=45°$，可得$∠ ABC=∠ CBE-∠ EBA=80°-45°=35°$。
2. 由B处在A处南偏西$45°$，C处在A处南偏东$15°$，可得$∠ BAC=45°+15°=60°$。
3. 根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ACB=180°-∠ ABC-∠ BAC=180°-35°-60°=85°$。
【答案】
解:$∠ CBE=80°$,

$∠ EBA=45°,∠ ABC=35°$,
$\because ∠ BAC=45°+15°=60°$,
$\therefore ∠ ACB=180°-35°-60°=85°.$
【知识点】
方位角的应用、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题将方位角和三角形内角和相结合进行考查，解题的关键是准确理解方位角的含义，结合平行线性质推导三角形内角的度数，是几何基础类的常考题。
【难度系数】
0.7

6.(教材 P17T9 改编)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC,∠ ACB$的平分线$BE,CD$相交于$F$.
(1)若$∠ ABC=42°,∠ A=60°$,求$∠ BFC$的度数;
(2)直接写出$∠ A$与$∠ BFC$的数量关系.

解:(1)在$△ ABC$中，
$∠ BCA=180°-60°-42°=78°$,
$\therefore ∠ BCF=39°,∠ CBF=21°$,
$\therefore$在$△ BCF$中$∠ BFC=120°$;
(2)设$∠ FBC=α,∠ FCB=β$,
$\therefore 2α+2β=180°-∠ A$,
$α+β=180°-∠ BFC$,
$\therefore ∠ BFC=\frac{1}{2}∠ A+90°.$

【分析】
(1) 求∠BFC的度数，需先得到△BFC中另外两个内角∠FBC、∠FCB的度数。首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再结合角平分线的定义计算∠FBC和∠FCB的大小，最后再次运用三角形内角和定理即可求出∠BFC。
(2) 推导∠A与∠BFC的数量关系时，先根据角平分线的性质，用∠FBC、∠FCB表示∠ABC和∠ACB，结合△ABC的内角和得到∠FBC+∠FCB与∠A的关系，再结合△BFC的内角和消去∠FBC、∠FCB，即可得到两者的数量关系。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ ABC=180°-60°-42°=78°$
$\because BE$平分$∠ ABC$，$CD$平分$∠ ACB$
$\therefore ∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×42°=21°$，$∠ BCF=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×78°=39°$
在$△ BFC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BFC=180°-∠ CBF-∠ BCF=180°-21°-39°=120°$
(2) 设$∠ FBC=α$，$∠ FCB=β$
$\because BE$平分$∠ ABC$，$CD$平分$∠ ACB$
$\therefore ∠ ABC=2α$，$∠ ACB=2β$
在$△ ABC$中，$2α+2β+∠ A=180°$，整理得$α+β=\frac{180°-∠ A}{2}$
在$△ BFC$中，$α+β+∠ BFC=180°$，整理得$α+β=180°-∠ BFC$
联立得$180°-∠ BFC=\frac{180°-∠ A}{2}$，化简得$∠ BFC=90°+\frac{1}{2}∠ A$
【答案】
(1) $\boxed{120°}$
(2) $\boxed{∠ BFC=90°+\dfrac{1}{2}∠ A}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线的综合应用题，推导得出的三角形两内角平分线的夹角与顶角的数量关系是常用几何结论，理解推导过程并熟练记忆可提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8

7.(1)如图 ,在△ACB中,∠BCD=∠BDC=α,∠ACE=∠AEC=β,∠DCE=40°,求∠ACB的度数；
(2)如图 ,在△ABC中,点M,N在BC上,∠1=∠2,∠3=∠4,∠B=∠BAC,求∠BAN的度数.

解:(1)在$△ CDE$中,$α+β=140°$,
在$△ ACB$中,$∠ A=180°-2β$,
$∠ B=180°-2α$,
$\therefore ∠ A+∠ B=360°-280°=80°$,
$\therefore ∠ ACB=100°$;
(2)设$∠ 1=∠ 2=α,∠ 3=∠ 4=β$,
$\therefore ∠ B=2α+β$,
$\therefore$在$△ BAN$中,$2α+β+β+α+β=180°$,
$α+β=60°,\therefore ∠ BAN=60°.$

【分析】
(1) 求解第一问时，首先观察到∠DCE在△CDE中，结合三角形内角和为180°可先求出α+β的度数；再根据等腰△ACE、△BCD的内角和，分别用α、β表示出∠A和∠B的度数；最后在△ACB中利用内角和定理，即可计算出∠ACB的度数。
(2) 求解第二问时，先将相等的角设为未知数简化运算，利用角的和差关系表示出∠B的度数；再在△BAN中根据内角和定理列出角度和的等式，化简后可直接得到∠BAN的度数。
【解析】
(1) 在△CDE中，∠DCE=40°，由三角形内角和为180°可得：
$α+β+40°=180°$，即$α+β=140°$。
在△ACE中，$∠ ACE=∠ AEC=β$，因此$∠ A=180°-2β$；
在△BCD中，$∠ BCD=∠ BDC=α$，因此$∠ B=180°-2α$。
则$∠ A+∠ B=(180°-2β)+(180°-2α)=360°-2(α+β)=360°-2×140°=80°$。
在△ACB中，$∠ ACB=180°-(∠ A+∠ B)=180°-80°=100°$。
(2) 设$∠1=∠2=α$，$∠3=∠4=β$，
则$∠ B=2α+β$，$∠ BAN=∠ BAC-∠2=∠ B-α=α+β$。
在△BAN中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ B+∠4+∠ BAN=180°$，代入得：
$2α+β+β+(α+β)=180°$，
整理得$3α+3β=180°$，即$α+β=60°$，因此$∠ BAN=60°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{100°}$；(2) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，角度计算
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，解题核心是灵活运用三角形内角和定理，通过设未知数将分散的角度关系整合，化简后即可得到所求角度，掌握角的和差转换是解题的关键。
【难度系数】
0.6