1. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，$∠ C =$$67.5°$，以 $AB$ 为直径的半圆与 $BC,AC$ 分别相交于点 $D,E$，则 $\overset{\frown}{AE}$ 的度数为（）


A.$40°$
B.$50°$
C.$90°$
D.$100°$

1. C

【分析】要解决这道题，首先利用等腰三角形的性质求出△ABC的顶角∠BAC的度数；再结合半圆的半径相等，得到△OAE是等腰三角形，通过三角形内角和求出圆心角∠AOE的度数；最后根据“弧的度数等于其所对圆心角的度数”，即可得到$\overset{\frown}{AE}$的度数。
【解析】
1. 在△ABC中，因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，故∠B=∠C=67.5°。根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 67.5°×2 = 45°。
2. 设AB的中点为O（即半圆的圆心），则OA和OE都是半圆的半径，所以OA=OE，因此△OAE是等腰三角形，∠OAE=∠BAC=45°。
根据等腰三角形内角和，∠AOE = 180° - ∠OAE - ∠OEA = 180° - 45°×2 = 90°。
3. 由于弧的度数等于它所对圆心角的度数，所以$\overset{\frown}{AE}$的度数为90°。
【答案】C
【知识点】等腰三角形性质、圆的弧与圆心角关系、三角形内角和
【点评】本题结合等腰三角形与圆的基本性质，考查学生对等腰三角形内角计算、圆的圆心角与弧的度数关系的掌握，解题关键是先求出顶角∠BAC，再利用半径相等构造等腰三角形求圆心角。
【难度系数】0.5

2. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$BC,CD,DA$是$\odot O$的弦,且$BC=CD=DA$,则$∠ BCD$的度数为 （）


A.$105°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$150°$

2. B

【分析】要解决本题，首先利用直径的性质确定上半圆的弧和为180°，再根据“同圆中相等的弦所对的弧相等”得到三段弧相等，算出每段弧的度数；最后根据圆周角定理，∠BCD所对的弧是不包含点C的弧BAD，通过该弧度数的一半求出∠BCD的度数。
【解析】
1. 因为AB是⊙O的直径，所以弧AD + 弧DC + 弧CB = 180°（直径将圆分为两个半圆，半圆的度数为180°）。
2. 在同圆中，相等的弦所对的弧相等，已知BC=CD=DA，因此弧AD = 弧DC = 弧CB。
3. 由此可得，每段弧的度数为180°÷3 = 60°，即弧AD=弧DC=弧CB=60°。
4. ∠BCD是圆周角，它所对的弧是不包含点C的弧BAD，弧BAD的度数为弧AB（180°）加上弧AD（60°），即180°+60°=240°。
5. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，所以∠BCD = 240°÷2 = 120°。
【答案】B
【知识点】圆周角定理、圆的弦与弧的关系
【点评】本题结合直径、弦与弧的关系、圆周角定理进行考查，核心是通过弦相等转化为弧相等，再利用圆周角定理计算角度，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5

3. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=AC=4$，$AB ⊥ AC$，$O$是对角线的交点.若$\odot O$过$A,C$两点，则图中阴影部分的面积为.

3. 4

【分析】要解决本题，首先利用平行四边形对角线互相平分的性质确定O是AC中点，得到AO的长度；再结合AB⊥AC的条件，通过割补法将不规则的阴影部分转化为规则的直角三角形面积，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，O是对角线的交点，
∴ O为AC的中点，即 $ AO = \frac{1}{2}AC $。
已知 $ AC = 4 $，
∴ $ AO = \frac{1}{2} × 4 = 2 $。
又 $ AB ⊥ AC $，$ AB = 4 $，
观察图形可知，右侧阴影扇形与左侧空白部分面积相等，因此阴影部分的总面积等于 $ △ ABO $ 的面积。
根据三角形面积公式：
$ S_{△ ABO} = \frac{1}{2} × AB × AO = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4 $，
即阴影部分面积为4。
【答案】4
【知识点】平行四边形性质、三角形面积、图形割补
【点评】本题通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积，考查几何图形的面积转化能力，结合平行四边形性质即可求解，难度适中。
【难度系数】0.5

4. 如图,在$\odot O$中,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$,$D,E$在圆上,$AC=2,AD=6,AE=8,AB=10$,则$\overset{\frown}{AD}$ $\overset{\frown}{CE}$（填“$＞$”“$＜$”或“$=$”）.

4. $＜$
提示:连接 CE. 在 $△ ACE$ 中, 因为 $AC=2$, $AE=8$, 所以 $AE-AC＜CE＜AE+AC$, 即 $6＜CE＜10$. 因为 $AD=6$, 所以 $AD＜CE$, 所以 $\overset{\frown}{AD}＜\overset{\frown}{CE}$.

【分析】在同圆中，弧的大小与所对弦的长度相关，弦越长，对应的弧（不超过半圆时）越长。要比较$\overset{\frown}{AD}$和$\overset{\frown}{CE}$，需先比较弦$AD$与弦$CE$的长度，已知$AC$、$AE$的长度，可通过三角形三边关系确定$CE$的取值范围，再结合$AD$的长度比较，进而得出弧的大小关系。
【解析】连接$CE$。在$△ ACE$中，根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，因此$AE - AC ＜ CE ＜ AE + AC$。将$AC=2$，$AE=8$代入，得$8 - 2 ＜ CE ＜ 8 + 2$，即$6 ＜ CE ＜ 10$。已知$AD=6$，所以$AD ＜ CE$。因为在$\odot O$中，弦越长，其所对的上半圆弧越长，故$\overset{\frown}{AD} ＜ \overset{\frown}{CE}$。
【答案】$＜$
【知识点】圆的弧与弦的关系、三角形三边关系
【点评】本题考查同圆中弧长与弦长的对应关系，结合三角形三边关系即可求解，属于基础题型，关键是掌握“同圆中弦越长，对应弧越长”的性质。
【难度系数】0.6

5. 如图,半圆$O$的半径为1,$C$是半圆$O$上一点,且$∠ AOC=45°$,$D$是$\overset{\frown}{BC}$上的一动点,则四边形$AODC$的面积$S$最大时,$\overset{\frown}{CD}$的度数为.

5. $90°$
提示:如图,过点 D 作 $DE⊥ CO$ 于点 E. 因为 $△ AOC$ 面积确定,所以要使四边形 AODC 的面积最大,则要使 $△ COD$ 的面积最大. 以 CO 为底,DE 为高,要使 $△ COD$ 的面积最大,则 DE 最长. 因为 $DE⊥ CO$, 所以 $DE≤ DO$, 即当 $∠ COD=90°$ 时,DE 最长,$S_{△ COD}$ 最大,此时 $\overset{\frown}{CD}$ 的度数为 $90°$.

【分析】要解决四边形AODC面积最大时弧CD的度数，首先将不规则四边形面积拆分为固定的△AOC面积和变化的△COD面积之和，因此只需让△COD的面积最大即可。△COD中OC、OD均为半圆半径，长度固定，利用三角形面积公式结合三角函数的最值，可找到使△COD面积最大的圆心角，进而得到弧CD的度数。
【解析】
1. 四边形AODC的面积 $ S = S_{△ AOC} + S_{△ COD} $。
2. 已知半圆O的半径为1，$ ∠ AOC = 45° $，因此 $ S_{△ AOC} $ 是定值，要使 $ S $ 最大，需使 $ S_{△ COD} $ 最大。
3. 在 $ △ COD $ 中，$ OC = OD = 1 $（均为圆的半径），根据三角形面积公式：
$ S_{△ COD} = \frac{1}{2} · OC · OD · \sin∠ COD = \frac{1}{2} × 1 × 1 × \sin∠ COD = \frac{1}{2}\sin∠ COD $。
4. 因为 $ \sin∠ COD $ 的最大值为1，当 $ ∠ COD = 90° $ 时，$ \sin∠ COD = 1 $，此时 $ S_{△ COD} $ 取得最大值。
5. 弧的度数等于其所对圆心角的度数，因此 $ \overset{\frown}{CD} $ 的度数为 $ 90° $。
【答案】$ 90° $
【知识点】圆心角与弧的度数关系、三角形面积公式、三角函数最值
【点评】本题结合圆的性质考查面积最值问题，核心是将不规则四边形面积转化为两个三角形面积之和，利用定值与变量的关系简化问题，通过三角函数最值找到最优解，是圆与几何最值结合的典型题型。
【难度系数】0.5

6. 如图,$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角$∠ AOB=90°$,半径为 8,C 是 OB 的中点,D 是$\overset{\frown}{AB}$上一点,CD 绕点 C 逆时针旋转$90°$得到 CE,连接AE,则 AE 长的最小值是.

6. $4\sqrt{10}-8$
提示:如图,连接 OD,以 OC 为边向下作正方形 OCTH,连接 AT,ET. 因为 $OA=OB=8$, $OC=CB=CT=OH=HT=4$, 所以 $AH=AO+OH=12$. 由勾股定理,得 $AT=\sqrt{AH^2+HT^2}=4\sqrt{10}$. 因为 $∠ ECD=∠ OCT=90°$, 所以 $∠ ECD+∠ OCE=∠ OCT+∠ OCE$, 即 $∠ OCD=∠ TCE$. 易证$△ OCD≌△ TCE$(SAS),所以 $ET=OD=8$. 因为 $AE≥ AT-ET=4\sqrt{10}-8$, 所以 AE 长的最小值为 $4\sqrt{10}-8$.

【分析】要解决AE的最小值问题，需利用旋转的性质构造全等三角形，将动态线段转化为定长线段，再结合“两点之间线段最短”求解。通过构造正方形得到全等关系，确定ET为定长，找到定点T后，当A、E、T共线时AE最小，等于AT与ET的差。
【解析】连接OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT、ET。
1. 由题意，OA=OB=8，C是OB中点，故OC=CB=4，因此CT=OH=HT=4，AH=AO+OH=8+4=12。
2. 在Rt△AHT中，由勾股定理得：$AT=\sqrt{AH^2+HT^2}=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$。
3. 因为CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，所以CD=CE，∠DCE=90°；又∠OCT=90°，故∠OCD=∠OCE+90°，∠TCE=∠OCE+90°，即∠OCD=∠TCE。
4. 在△OCD和△TCE中：$\{\begin{array}{l}OC=TC\\∠OCD=∠TCE\\CD=CE\end{array} $，所以△OCD≌△TCE（SAS），因此ET=OD=8。
5. 根据两点之间线段最短，$AE≥AT-ET$，当E在线段AT上时，AE取得最小值，最小值为$4\sqrt{10}-8$。
【答案】$4\sqrt{10}-8$
【知识点】旋转性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】本题通过旋转构造全等三角形，将动态线段转化为定长，结合两点之间线段最短求最值，是几何最值的经典题型，关键在于辅助线的构造。
【难度系数】0.4

7. 如图,C,D 是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,弦 AB 分别交 OC,OD 于点 E,F. 求证:$AE=BF=CD$.

7. 证明:如图,连接 AC,BD,设 $∠ AOB=n°$. 在 $\odot O$ 中,因为 C,D 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的三等分点,所以 $AC = CD = BD$, $∠ AOC = \frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}× n°=(\frac{n}{3})°$. 因为 $OA=OB$, 所以 $∠ OAB = ∠ OBA = (\frac{180-n}{2})°$. 因为 $∠ AOC=(\frac{n}{3})°$, 所以 $∠ AEC = ∠ OAB + ∠ AOC=(\frac{n}{3}+\frac{180-n}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$. 因为 $OA=OC$, $∠ AOC=(\frac{n}{3})°$, 所以 $∠ ACE = (\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$, 所以 $∠ ACE = ∠ AEC$, 所以 $AC=AE$. 同理可得 $BD=BF$. 因为 $AC=CD=BD$, 所以 $AE=BF=CD$.

【分析】要证明$AE=BF=CD$，首先利用圆中等弧对等弦的性质，由C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，可得$AC=CD=BD$；接下来只需证明$AE=AC$、$BF=BD$即可。通过三角形外角性质和等腰三角形的角度计算，证明$△ ACE$中$∠ ACE=∠ AEC$，从而得$AC=AE$，同理得$BD=BF$，最终完成证明。
【解析】证明：连接$AC$、$BD$。
∵ $C$，$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，根据同圆中等弧对等弦，得$AC=CD=BD$，且$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}∠ AOB$。
∵ $OA=OB$，$\therefore △ OAB$是等腰三角形，$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-∠ AOB}{2}$。
∵ $∠ AEC$是$△ AOE$的外角，根据三角形外角性质，$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC$，
代入$∠ OAB=\frac{180°-∠ AOB}{2}$，$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB$，
得$∠ AEC=\frac{180°-∠ AOB}{2}+\frac{1}{3}∠ AOB=90°-\frac{∠ AOB}{6}$。
又
∵ $OA=OC$，$\therefore △ OAC$是等腰三角形，$∠ ACE=∠ OCA=\frac{180°-∠ AOC}{2}$，
代入$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB$，得$∠ ACE=\frac{180°-\frac{1}{3}∠ AOB}{2}=90°-\frac{∠ AOB}{6}$。
∴ $∠ ACE=∠ AEC$，根据等角对等边，得$AC=AE$。
同理可证$BD=BF$。
∵ $AC=CD=BD$，$\therefore AE=BF=CD$。
【答案】7. 证明:如图,连接 AC,BD,设 $∠ AOB=n°$. 在 $\odot O$ 中,因为 C,D 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的三等分点,所以 $AC = CD = BD$, $∠ AOC = \frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}× n°=(\frac{n}{3})°$. 因为 $OA=OB$, 所以 $∠ OAB = ∠ OBA = (\frac{180-n}{2})°$. 因为 $∠ AOC=(\frac{n}{3})°$, 所以 $∠ AEC = ∠ OAB + ∠ AOC=(\frac{n}{3}+\frac{180-n}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$. 因为 $OA=OC$, $∠ AOC=(\frac{n}{3})°$, 所以 $∠ ACE = (\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$, 所以 $∠ ACE = ∠ AEC$, 所以 $AC=AE$. 同理可得 $BD=BF$. 因为 $AC=CD=BD$, 所以 $AE=BF=CD$.
【知识点】圆的弧弦关系、等腰三角形性质、三角形外角定理
【点评】本题综合运用圆的基本性质与等腰三角形的判定，核心是通过弧与弦的关系得到等弦，再利用角的等量代换证明线段相等，是圆章节的典型证明题，逻辑清晰，注重性质的综合应用。
【难度系数】0.5