1. (2024 长沙市中考)如图,在$\odot O$中,弦$AB$的长为8,圆心$O$到$AB$的距离$OE=4$,则$\odot O$的半径长为（）

A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.5
D.$5\sqrt{2}$

B

【分析】
要计算圆的半径，需结合垂径定理和勾股定理：首先根据垂径定理，垂直于弦的半径会平分弦，由此得到弦的一半长度；再连接半径构造直角三角形，利用勾股定理即可求出半径。
【解析】
连接OA，
∵ OE⊥AB，OE过圆心O，根据垂径定理，OE平分AB，
∴ AE = ½AB = ½×8 = 4。
在Rt△OAE中，OE=4，AE=4，根据勾股定理：
OA = √(AE² + OE²) = √(4² + 4²) = √32 = 4√2，
即⊙O的半径长为4√2。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是利用垂径定理转化弦长，再结合勾股定理求解半径，属于中考常见基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7

2. 如图,一个纵截面为半圆的容器水平放置,然后向其中倒入部分液体,测得数据如图所示(单位:cm),则液面宽度$AB$的长度为
（）

A.8 cm
B.4 cm
C.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$

D

【分析】
要解决该问题，需先确定容器纵截面（半圆）的圆心与半径，再利用圆的弦长公式计算液面AB的长度。步骤如下：
1. 根据图中数据确定半圆的圆心位置和半径：容器总高18cm，圆心到容器底部的距离为10cm，因此半圆半径R=18-10=8cm。
2. 计算圆心到液面AB的垂直距离：液面高度为14cm，故圆心到AB的距离d=14-10=4cm。
3. 利用圆的弦长公式（结合垂径定理与勾股定理）计算AB的长度。
【解析】
设容器纵截面半圆的圆心为O，半径为R。
由图可知，圆心O距离容器底部的高度为10cm，容器顶部（半圆端点）距离底部为18cm，因此半圆半径R=18-10=8cm。
液面AB距离容器底部的高度为14cm，故圆心O到液面AB的垂直距离d=14-10=4cm。
根据垂径定理与勾股定理，弦AB的长度为：
$AB=2\sqrt{R^2 - d^2}=2\sqrt{8^2 - 4^2}=2\sqrt{64-16}=2\sqrt{48}=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆的弦长计算，垂径定理
【点评】
本题结合实际容器纵截面考查圆的弦长求解，核心是确定半圆的圆心和半径，再利用几何定理计算弦长，属于基础几何应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5

3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$P$是半圆$\overset{\frown}{AC}$的中点,连接$BP$交$AC$于点$D$.若半圆的圆心为$O$,点$D,E$关于圆心$O$对称,则图中的两个阴影部分的面积$S_1,S_2$之间的关系是（）

A.$S_1＜S_2$
B.$S_1＞S_2$
C.$S_1=S_2$
D.不确定

C

【分析】要比较$S_1$和$S_2$的大小，需结合图形的对称性、全等三角形的性质进行等积变换。首先，AC是半圆的直径，O为圆心，P是弧AC中点，故$OP⊥AC$；又D、E关于O对称，可得$OD=OE$，进而推出$△ POD$与$△ POE$全等，对应区域面积相等。通过对阴影部分面积的加减转化，即可得出$S_1$与$S_2$的关系。
【解析】因为AC是半圆的直径，O为圆心，P是$\overset{\frown}{AC}$的中点，所以$OP⊥AC$，且$∠ POD=∠ POE=90°$。又因为点D、E关于圆心O对称，所以$OD=OE$。在$△ POD$和$△ POE$中，$\begin{cases} OD=OE \\ ∠ POD=∠ POE \\ PO=PO \end{cases}$，故$△ POD ≌ △ POE$（SAS），因此$S_{△ POD}=S_{△ POE}$。观察阴影部分：$S_1 + S_{△ POD}$等于半圆中$\overset{\frown}{PC}$与线段PD、CD围成的面积，$S_2 + S_{△ POE}$等于半圆中$\overset{\frown}{PA}$与线段PE、AE围成的面积。由于$\overset{\frown}{PC}=\overset{\frown}{PA}$，且$△ POD$与$△ POE$面积相等，所以$S_1 + S_{△ POD}=S_2 + S_{△ POE}$，两边同时减去相等的$S_{△ POD}$和$S_{△ POE}$，可得$S_1=S_2$。
【答案】C
【知识点】圆的对称性、全等三角形判定、面积等积变换
【点评】本题通过利用图形的对称性和全等三角形的等积变换，巧妙将阴影面积的比较转化为等积关系，关键在于发现D、E关于圆心对称带来的全等三角形，简化面积推导，难度适中。
【难度系数】0.5

4. 如图,$AB$是$\odot O$的弦,$AB$的长为$4$,$P$是$\odot O$上的一个动点(不与点$A$,$B$重合).过点$O$分别作$OC ⊥ AP$于点$C$,$OD ⊥ PB$于点$D$,则$CD$的长为.

2

【分析】
要计算CD的长度，先根据OC⊥AP、OD⊥PB的条件，结合垂径定理确定C、D分别为AP、PB的中点；再依据三角形中位线定理，CD是△APB的中位线，其长度等于AB的一半，进而求出CD的长。
【解析】
∵ OC⊥AP，且OC过圆心O，根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），可得AC = PC，即点C是AP的中点。
同理，
∵ OD⊥PB，OD过圆心O，可得PD = BD，即点D是PB的中点。
∴ CD是△APB的中位线，根据三角形中位线定理（三角形的中位线等于第三边的一半），可知CD = ½AB。
已知AB = 4，代入得CD = ½×4 = 2。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理、三角形中位线定理
【点评】
本题结合圆的垂径定理与三角形中位线定理考查，核心是利用垂径定理确定线段中点，再通过中位线定理计算长度，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5

5. 如图,已知 AB 是$\odot O$的直径,弦$CD⊥ AB$于点 H. 若$AB=10,CD=8$,则图中阴影部分的面积为.

20

【分析】
要计算阴影部分面积，需先利用垂径定理得到CD被AB垂直平分，再结合勾股定理求出相关线段长度，最后分解阴影部分为几个三角形，通过三角形面积公式求和。具体步骤：1. 根据垂径定理，由AB垂直CD得CD被AB平分，求出CH、HD的长度；2. 结合圆的半径，用勾股定理算出OH的长度；3. 分别确定三个阴影三角形的底和高，计算各自面积后求和。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，
∴由垂径定理得：CH=HD=½CD=½×8=4，
连接OD，
∵AB=10，
∴⊙O的半径OD=OB=OA=5，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：
OH=√(OD² - HD²)=√(5² - 4²)=3，
∴AH=AO + OH=5 + 3=8，HB=OB - OH=5 - 3=2，
阴影部分面积为三个阴影三角形的面积之和：
S阴影 = S△AOD + S△COH + S△HDB
= ½×AO×HD + ½×CH×OH + ½×HB×HD
= ½×5×4 + ½×4×3 + ½×2×4
= 10 + 6 + 4
= 20。
【答案】
20
【知识点】
垂径定理、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是利用垂径定理和勾股定理求出线段长度，再分解阴影部分为三角形计算面积，思路清晰，属于学生易掌握的题型。
【难度系数】
0.3

6. 如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D.
(1) 求证:$AC=BD$;
(2) 若$AC=3$,大圆和小圆的半径分别为6和4,则 CD 的长是.

(1) 证明:过点O作$OE ⊥ AB$于点E,则$AE=BE$,$CE=DE$,所以$AE-CE=BE-DE$,即$AC=BD$.
(2) $\dfrac{11}{3}$ 提示:连接OC.在$\mathrm{Rt}△ AOE$中,由勾股定理,得$OE^2=AO^2-AE^2$.在$\mathrm{Rt}△ COE$中,由勾股定理,得$OE^2=OC^2-CE^2$.所以$OC^2-CE^2=AO^2-AE^2$,即$4^2-CE^2=6^2-(3+CE)^2$,解得$CE=\dfrac{11}{6}$.所以$CD=2CE=\dfrac{11}{3}$.

【分析】
要解决本题，第(1)问需利用垂径定理证明线段相等：过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到弦被平分，再通过线段差推导AC=BD；第(2)问求CD长度，需结合勾股定理，设未知数列方程求解，利用公共边建立等式关系。
【解析】
(1) 证明：过点O作$OE ⊥ AB$于点E，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得$AE=BE$，$CE=DE$，
因此$AE - CE = BE - DE$，即$AC=BD$。
(2) 解：连接OC，设$CE=x$，则$AE=AC+CE=3+x$，
在$\mathrm{Rt}△AOE$中，由勾股定理得：$OE^2=AO^2 - AE^2=6^2-(3+x)^2$，
在$\mathrm{Rt}△COE$中，由勾股定理得：$OE^2=OC^2 - CE^2=4^2 - x^2$，
因为OE为公共边，所以$OE^2$相等，故：
$4^2 - x^2=6^2-(3+x)^2$，
展开化简：$16 - x^2=36 -9 -6x -x^2$，
解得$x=\dfrac{11}{6}$，
因此$CD=2CE=2×\dfrac{11}{6}=\dfrac{11}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\dfrac{11}{3}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用，辅助线的构造是解题核心，属于几何基础题型，需掌握定理的内容及方程思想的运用。
【难度系数】
0.6

1. 越来越多的传统文化创意产品加入西安大唐不夜城，其中大唐团扇备受游客青睐. 如图是一把大唐团扇的示意图，扇柄所在直线将扇面平分，小西为了使扇子更漂亮和耐用，在扇面$\odot O$中间增加了3根金丝线（虚线），扇子两端增加2根扇骨（$CD$，$EF$），金丝线和扇骨均垂直于直径$AB$且将$AB$均分，已知$CD$的长为10 cm，则扇骨$CD$与$EF$之间的距离为 （）

A.$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.$3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$8\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$

A

【分析】
首先明确AB是圆O的直径，扇骨CD、EF及3根金丝线均垂直于AB且将AB均分，说明AB被这些线分成6等份。设圆O半径为R，利用垂径定理结合CD的长度建立方程，求出R后计算CD与EF的距离。
【解析】
设$\odot O$的半径为$R$。
因为扇骨$CD$、$EF$和3根金丝线垂直于$AB$且将$AB$均分，所以$AB$被分成6等份，每段长度为$\frac{2R}{6}=\frac{R}{3}$。
由图形对称性可知，$CD$和$EF$到圆心$O$的距离相等，均为$2×\frac{R}{3}=\frac{2R}{3}$，因此$CD$与$EF$之间的距离为$\frac{2R}{3}+\frac{2R}{3}=\frac{4R}{3}$。
根据垂径定理，$CD⊥ AB$，则$CD$的一半为$\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$，在由$CD$的一半、$CD$到$O$的距离和半径$R$构成的直角三角形中，由勾股定理得：
$5^2 + (\frac{2R}{3})^2 = R^2$
化简得：$25 + \frac{4R^2}{9}=R^2$，移项得$\frac{5R^2}{9}=25$，解得$R^2=45$，即$R=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
所以$CD$与$EF$之间的距离为$\frac{4R}{3}=\frac{4×3\sqrt{5}}{3}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的对称性
【点评】
本题结合圆的对称性与垂径定理，利用勾股定理求解线段长度，关键是明确AB被均分后的段数，建立线段与半径的关系，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5