1. 下列结论错误的是（）

A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.等弧所对的圆心角相等

1. C

【分析】本题考查圆的相关基本性质，需逐一分析每个选项的正确性，重点关注圆心角与弧相等关系的前提条件，判断出错误结论。
【解析】逐个分析选项：
1. 选项A：圆沿任意直径所在直线对折后两边重合，是轴对称图形；绕圆心旋转180°后与自身重合，是中心对称图形，结论正确。
2. 选项B：弧的度数定义为该弧所对的圆心角的度数，结论正确。
3. 选项C：相等的圆心角所对的弧相等，该结论的成立前提是“在同圆或等圆中”，题目未说明该前提，结论错误。
4. 选项D：等弧是指同圆或等圆中能完全重合的弧，因此等弧所对的圆心角相等，结论正确。
综上，错误的结论是C。
【答案】C
【知识点】圆的基本性质、圆心角与弧的关系
【点评】本题为圆的基础概念题，易错点是忽略“同圆或等圆”这一关键前提，需牢记相关定理的适用条件，避免因遗漏前提导致判断错误。
【难度系数】0.6

2. 如图,点 $A,B,C,D$ 在 $\odot O$ 上,且 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$. 若$∠ BOD=84°$,则$∠ ACO$的度数为（）

A.$42°$
B.$44°$
C.$46°$
D.$48°$

2. D

【分析】
要计算∠ACO的度数，需结合圆的性质和等腰三角形的性质：首先根据“等弧所对的圆心角相等”，由已知等弧关系求出对应圆心角∠AOC的度数；再利用同圆半径相等得到OA=OC，确定△AOC为等腰三角形，最后结合三角形内角和定理计算∠ACO。
【解析】
∵ 在⊙O中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据等弧所对的圆心角相等，
∴ ∠AOC = ∠BOD = 84°。
又
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA = OC，即△AOC是等腰三角形，
∴ ∠ACO = ∠OAC。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ACO = $\frac{180° - ∠AOC}{2}$ = $\frac{180° - 84°}{2}$ = 48°。
【答案】
D
【知识点】
弧与圆心角的关系，等腰三角形性质，三角形内角和
【点评】
本题考查圆的基础性质与等腰三角形的角度计算，核心是利用等弧对等圆心角的性质求出关键角，再结合等腰三角形内角性质求解，属于基础题，侧重对圆的基本知识点的应用。
【难度系数】
0.6

3. 如图, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ A=25°$, 以点 $C$ 为圆心, $BC$ 为半径的圆交 $AB$ 于点 $D$, 交 $AC$ 于点 $E$, 则 $\overset{\frown}{BD}$ 的度数为（）

A.$50°$
B.$40°$
C.$55°$
D.$60°$

3. A

【分析】
要计算$\overset{\frown}{BD}$的度数，需先求出它所对的圆心角$∠ BCD$的度数。首先在$Rt△ ABC$中，利用直角三角形内角和求出$∠ B$的度数；再根据圆的半径相等得到$CB=CD$，推出$△ CBD$为等腰三角形，进而求出$∠ BCD$的度数，而弧的度数等于其对应圆心角的度数，即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=25°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ B=180° - 90° - 25°=65°$。
因为$CB$和$CD$都是$\odot C$的半径，所以$CB=CD$，即$△ CBD$是等腰三角形，因此$∠ CDB=∠ B=65°$。
在$△ CBD$中，再次利用三角形内角和，可得：
$∠ BCD=180° - ∠ B - ∠ CDB=180° - 65° - 65°=50°$。
由于弧的度数等于它所对圆心角的度数，所以$\overset{\frown}{BD}$的度数为$50°$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，圆心角与弧的度数关系，直角三角形内角和
【点评】
本题结合直角三角形、等腰三角形和圆的基本性质，考查弧的度数计算，核心是利用半径相等构造等腰三角形求圆心角，属于基础几何题，难度不大。
【难度系数】
0.6

4. 如图,在$\odot O$中,满足$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$,则下列对弦$AB$与弦$CD$大小关系表述正确的是（）

A.$AB＞2CD$
B.$AB＜2CD$
C.$AB=2CD$
D.无法确定

4. B

【分析】
要比较弦AB与2CD的大小，已知弧AB是弧CD的2倍，我们可以通过取弧AB的中点，将弧AB拆分为两段与弧CD相等的弧，利用“等弧对等弦”得到对应弦的长度，再结合三角形三边关系判断AB和2CD的大小。具体思路：先构造辅助线将弧的倍数关系转化为等弧，得到等弦后，把这两条等弦和AB放入同一个三角形，利用三角形两边之和大于第三边的性质推导结论。
【解析】
解：取$\overset{\frown}{AB}$的中点E，连接AE、BE。
∵E是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$。
又
∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$。
根据“等弧对等弦”，可得$AE=BE=CD$。
在$△ ABE$中，由三角形三边关系：两边之和大于第三边，得$AE + BE ＞ AB$。
将$AE=BE=CD$代入，得$CD + CD ＞ AB$，即$2CD ＞ AB$，也就是$AB ＜ 2CD$。
【答案】
B
【知识点】
圆的弧弦关系、三角形三边关系
【点评】
本题通过构造辅助线转化弧的关系，结合圆的性质和三角形三边关系比较弦长，是圆中弦长比较的典型题型，关键在于将弧的倍数关系转化为可利用的弦的关系。
【难度系数】
0.5

5. 如图,已知 A B 是 $\odot O$ 的直径,且 $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=$
$\overset{\frown}{DE}$. 若 $∠ COD=35°$,则 $∠ AOE=$.

5. $75°$

【分析】
本题考查同圆中弧与圆心角的关系，解题思路：①利用“同圆中相等的弧所对的圆心角相等”，由已知弧相等推出对应圆心角相等；②结合AB是直径，可知∠AOB为平角（180°），通过平角的度数减去三个相等圆心角的和，即可求出∠AOE的度数。
【解析】
在$\odot O$中，因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，根据“同圆中相等的弧所对的圆心角相等”，可得$∠ BOC=∠ COD=∠ DOE=35°$。
又因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ AOB=180°$，即$∠ AOE + ∠ DOE + ∠ COD + ∠ BOC=180°$。
代入数值计算：$∠ AOE=180° - 35° -35° -35°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
圆心角与弧的关系，平角的定义
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用同圆中弧与圆心角的对应关系，结合直径对应的平角进行计算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

6. 一条弦把圆周分成两段弧. 若这两段弧的弧长之比为 $1:3$, 则劣弧度数为.

6. $90°$

【分析】要计算劣弧的度数，需明确：同圆中弧长之比等于对应弧的度数之比，且整个圆周的度数为360°。已知两段弧的弧长比为1:3，即度数比也为1:3，先确定总份数，再根据劣弧的占比计算其度数。
【解析】同圆中，弧长之比等于对应弧的度数之比，因此两段弧的度数比为1:3。整个圆周的度数为360°，总份数为1+3=4，劣弧占1份，故劣弧的度数为：$360°×\frac{1}{1+3}=90°$。
【答案】$90°$
【知识点】弧的度数，同圆弧长与度数的关系
【点评】本题是弧度数计算的基础题，核心考查同圆中弧长与度数的关系，结合圆周总度数为360°的常识即可解答，难度较低。
【难度系数】0.8

7.《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆. 对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具. 生活中，车轮通常的形状是圆形. 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是（填写所有正确选项的序号）.

①圆是轴对称图形；
②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等；
③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上.

7. ②③

【分析】要判断圆形车轮能保证车辆平稳行驶的原因，需明确车辆平稳的核心是车轮滚动时，车轴（即圆心）到地面的距离保持不变，不会上下波动。逐一分析选项：①圆是轴对称图形，这是圆的对称性质，与滚动时圆心高度是否变化无关，不能说明平稳；②圆的圆心到圆周上任意一点的距离是半径，半径相等，滚动时圆心到地面的距离始终等于半径，保持不变，能保证平稳；③圆沿直线滚动时，圆心的运动轨迹是平行于地面的直线，圆心高度不变，车辆不会上下颠簸，符合要求。
【解析】车辆平稳行驶的关键是车轮滚动时车轴（圆心）的高度恒定。①圆的轴对称性仅体现图形的对称特征，与滚动时圆心高度无关，无法说明平稳；②圆的半径处处相等，即圆心到圆周任意点的距离相等，车轮滚动时，圆心到地面的距离始终等于半径，保持不变，避免上下颠簸；③圆沿直线滚动时，圆心的运动轨迹是平行于地面的直线，圆心高度不变，车辆行驶平稳。因此正确选项为②③。
【答案】②③
【知识点】圆的半径性质、圆的滚动特性
【点评】本题结合生活中车轮的实例，考查圆的性质的实际应用，将数学知识与生活现象结合，帮助学生理解圆的特征在实际中的作用，难度适中，属于基础题。
【难度系数】0.6

8. (2024 南京市鼓楼区期中) 如图, OA, OB是$\odot O$ 的半径, 且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$, 弦 CM, CN 分别经过 OA, OB 的中点 D, E.
(1) 求证:$CD=CE$;
(2) 求证:$CM=CN$.

8. 证明:(1) 如图,连接 OC. 因为 OA,OB,OC 是 $\odot O$ 的半径, $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$, 所以 $∠ AOC=∠ BOC$. 因为 D,E 分别是 OA,OB 的中点,$OA=OB$,所以 $OD=OE$. 在 $△ OCD$ 和 $△ OCE$ 中,$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠ COD=∠ COE, \\ OC=OC, \end{cases}$所以 $△ OCD≌△ OCE$(SAS),所以 $CD=CE$.
(2) 如图,连接 OM,ON. 因为 $△ OCD≌△ OCE$, 所以 $∠ MCO = ∠ NCO$. 因为 $OM=OC=ON$, 所以 $∠ OMC = ∠ OCM$, $∠ ONC=∠ OCN$,所以 $∠ OMC=∠ ONC$, 所以 $△ OCM ≌ △ OCN$ (AAS), 所以 $CM=CN$.

【分析】
要证明线段相等，通常可通过证明包含线段的三角形全等实现。第(1)问需证$CD=CE$，观察图形可知$CD$在$△ OCD$中，$CE$在$△ OCE$中，只需证明这两个三角形全等：根据“等弧对等圆心角”，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$得$∠ AOC=∠ BOC$；结合$OA=OB$，$D、E$是中点得$OD=OE$，加上公共边$OC$，用SAS可证全等，进而得$CD=CE$。第(2)问需证$CM=CN$，同理构造$△ OCM$和$△ OCN$，由(1)的全等得$∠ MCO=∠ NCO$，结合半径相等得$∠ OMC=∠ ONC$，用AAS证全等，即可得$CM=CN$。
【解析】
证明：(1) 连接$OC$。
$\because OA、OB、OC$是$\odot O$的半径，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$（等弧所对的圆心角相等）。
$\because D、E$分别是$OA、OB$的中点，$OA=OB$，
$\therefore OD=\frac{1}{2}OA$，$OE=\frac{1}{2}OB$，故$OD=OE$。
在$△ OCD$和$△ OCE$中，
$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠ COD=∠ COE, \\ OC=OC, \end{cases}$
$\therefore △ OCD≌△ OCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore CD=CE$。
(2) 连接$OM、ON$。
由(1)知$△ OCD≌△ OCE$，
$\therefore ∠ MCO=∠ NCO$。
$\because OM、OC、ON$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OM=OC=ON$，
$\therefore ∠ OMC=∠ OCM$，$∠ ONC=∠ OCN$，
$\therefore ∠ OMC=∠ ONC$。
在$△ OCM$和$△ OCN$中，
$\begin{cases} ∠ OMC=∠ ONC, \\ ∠ MCO=∠ NCO, \\ OC=OC, \end{cases}$
$\therefore △ OCM≌△ OCN(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CM=CN$。
【答案】
8. 证明:(1) 如图,连接 OC. 因为 OA,OB,OC 是 $\odot O$ 的半径, $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$, 所以 $∠ AOC=∠ BOC$. 因为 D,E 分别是 OA,OB 的中点,$OA=OB$,所以 $OD=OE$. 在 $△ OCD$ 和 $△ OCE$ 中,$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠ COD=∠ COE, \\ OC=OC, \end{cases}$所以 $△ OCD≌△ OCE$(SAS),所以 $CD=CE$.
(2) 如图,连接 OM,ON. 因为 $△ OCD≌△ OCE$, 所以 $∠ MCO = ∠ NCO$. 因为 $OM=OC=ON$, 所以 $∠ OMC = ∠ OCM$, $∠ ONC=∠ OCN$,所以 $∠ OMC=∠ ONC$, 所以 $△ OCM ≌ △ OCN$ (AAS), 所以 $CM=CN$.

【知识点】
圆心角与弧的关系；全等三角形的判定；圆的半径性质
【点评】
本题是圆与全等三角形结合的基础证明题，核心考查“等弧对等圆心角”的性质和全等三角形的判定定理，解题关键是合理构造全等三角形，掌握几何证明的逻辑推导，属于常规的几何证明题型。
【难度系数】
0.5