1. 下列说法中正确的是（）

A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.圆的切线垂直于半径
C.经过半径的外端的直线是圆的切线
D.圆的切线垂直于经过切点的半径

解析:根据圆的切线的性质定理得圆的切线垂直于经过切点的半径;根据切线的判定定理得经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线.故选D.

【分析】
要解决这道题，需牢记圆的切线的判定定理和性质定理，再逐一分析每个选项的表述是否符合定理要求：先明确切线判定定理是“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，性质定理是“圆的切线垂直于经过切点的半径”；再判断各选项是否遗漏定理中的关键条件，进而确定对错。
【解析】
首先明确两个核心定理：
1. 切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
2. 切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
对各选项分析如下：
A选项：仅提到“垂直于半径的直线”，未说明是否经过半径外端，不符合切线判定定理，错误；
B选项：表述为“圆的切线垂直于半径”，缺少“经过切点”的限定，应为垂直于经过切点的半径，错误；
C选项：仅提到“经过半径的外端的直线”，未说明是否垂直于该半径，不符合切线判定定理，错误；
D选项：完全符合切线的性质定理，正确。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆的切线判定、圆的切线性质
【点评】
本题考查圆的切线相关定理，解题关键是准确掌握定理的完整条件，避免遗漏关键要素，属于基础概念类题目，需熟练记忆定理内容。
【难度系数】
0.6

2. (2026·无锡校级月考)如图,过A,B,C三点作一圆弧,点B与下列格点连线中,能够与该弧所在的圆相切的是 （）


A.$(0,3)$
B.$(1,3)$
C.$(2,3)$
D.$(4,3)$

解析:
∵ 过格点A,B,C作一圆弧,
∴ 由垂径定理可得圆心为O'(2,0),如图所示,由切线性质可知当O'B⊥BF时,BF与圆相切,当△BO'D≌△BFA时,∠O'BF = ∠FBA+∠O'BA = ∠O'BD+∠O'BA = 90°,此时O'B⊥BF,BF与圆相切,AF = O'D = 1,AB = BD = 2,
∴ F坐标为(1,3),同理可得F'(5,1),
∴ 满足条件的格点F的坐标为(5,1)或(1,3).故选B.

【分析】首先，不在同一直线上的三点A、B、C确定一个圆，根据垂径定理，弦的垂直平分线的交点为该圆的圆心。先求弦AB的垂直平分线：A(1,2)、B(3,2)，AB是水平线段，垂直平分线为直线x=2；再求弦BC的垂直平分线：B(3,2)、C(4,1)，中点为(3.5,1.5)，BC斜率为-1，故垂直平分线斜率为1，方程为y=x-2。联立两垂直平分线得圆心O'(2,0)。接下来，根据切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此过B点的切线需与半径O'B垂直，计算该切线经过的格点，即可选出答案。
【解析】1. 确定圆心：由A(1,2)、B(3,2)、C(4,1)，弦AB的垂直平分线为x=2；弦BC的垂直平分线为y=x-2，联立得圆心O'(2,0)，半径O'B=√[(3-2)²+(2-0)²]=√5。2. 求切线：O'B的斜率为(2-0)/(3-2)=2，故过B点的切线斜率为-1/2，切线方程为y-2=-1/2(x-3)，即y=-1/2x + 7/2。3. 验证选项：将各选项格点代入方程，仅(1,3)满足：左边=3，右边=-1/2×1 +7/2=3，成立。因此符合条件的是(1,3)，对应选项B。
【答案】B
【知识点】垂径定理、切线的性质
【点评】本题结合坐标与圆的性质，考查垂径定理和切线性质的应用，核心是先确定圆心，再利用切线与半径垂直的关系求解，需掌握坐标中直线斜率的计算方法。
【难度系数】0.5

3. (2025·山东中考) 如图,在$△ OAB$中,点$A$在$\odot O$上,边$OB$交$\odot O$于点$C$,$AD ⊥ OB$于点$D$.$AC$是$∠ BAD$的平分线.
(1)求证:$AB$为$\odot O$的切线;
(2)若$\odot O$的半径为2,$∠ AOB=45^{ \circ }$,求$CB$的长.

(1)
∵ AD ⊥ OB,
∴ ∠DAC + ∠ACD = 90°.
∵ OA = OC,
∴ ∠OAC= ∠OCA.
∵ AC 是 ∠BAD 的平分线,
∴ ∠DAC = ∠BAC,
∴ ∠BAC+ ∠OAC = ∠DAC+ ∠OCA = 90°,即 AB ⊥ OA.又
∵ OA 为半径,
∴ AB 为⊙O 的切线.
(2)
∵ ∠AOB = 45°,又 AB ⊥ OA,
∴ △OAB 是等腰直角三角形.
∵ ⊙O 的半径为 2,
∴ OA = 2 = OC,
∴ OB = √2 OA = 2√2,
∴ CB = OB - OC = 2√2 - 2.

【分析】
要证明AB是⊙O的切线，需依据切线判定定理，证明AB垂直于半径OA。利用AD⊥OB得到直角，结合OA=OC的等腰性质和AC是角平分线，可推导出∠OAB=90°；求CB的长时，由∠AOB=45°和AB⊥OA可知△OAB是等腰直角三角形，先算出OB的长度，再减去半径OC即可得到CB。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD⊥OB，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠DAC + ∠ACD = 90°。
∵ OA=OC（⊙O的半径），
∴ ∠OAC=∠OCA。
∵ AC是∠BAD的平分线，
∴ ∠DAC=∠BAC。
∴ ∠BAC + ∠OAC = ∠DAC + ∠ACD = 90°，即∠OAB=90°，
∴ AB⊥OA。
又
∵ OA为⊙O的半径，
∴ AB为⊙O的切线。
(2) 解：
∵ ∠AOB=45°，AB⊥OA，
∴ △OAB是等腰直角三角形，
∴ OB=√2 OA。
∵ ⊙O的半径为2，
∴ OA=OC=2，
∴ OB=2√2，
∴ CB=OB - OC=2√2 - 2。
【答案】
(1) AB为⊙O的切线，证明成立；(2) CB的长为2√2 - 2。
【知识点】
切线的判定、等腰直角三角形、圆的半径性质
【点评】
本题综合考查切线的判定和特殊三角形的边长计算，需熟练运用角平分线、等腰三角形的性质，难度中等。
【难度系数】
0.4

4. 新趋势 尺规作图 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB = 90°, AB = 10, BC = 6.$
(1)用直尺和圆规作出$\odot O$,使圆心$O$在$AC$边上,并与其他两边都相切,与边$BC$相切于点$C$;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)通过作图,试证明:$\odot O$与$AB$相切;
(3)求$\odot O$的半径.

(1)如图所示.
(2)过点 O 作 OM ⊥ AB,垂足为 M.
由作图可知,BO 是∠ABC 的平分线,
∵ ∠ACB = 90°,
∴ OC ⊥ BC.
∵ BO 是∠ABC 的平分线,OM ⊥ AB,
∴ OC = OM.
又
∵ OM ⊥ AB,OM 是⊙O 的半径,
∴ ⊙O 与 AB 相切.
(3)在△ABC 中,
∵ ∠ACB = 90°,AB = 10,BC = 6,
∴ AC = √(10²-6²) = 8.
∵ OC ⊥ BC,OM ⊥ AB,OB = OB,OC = OM,
∴ Rt△OMB≌Rt△OCB,
∴ MB = CB = 6,
∴ AM = 4,设⊙O 的半径为 x,则 OA = 8 - x,OM = x,在 Rt△AOM 中,根据勾股定理得x²+4²=(8-x)²,解得 x = 3,
∴ ⊙O 的半径为 3.
一题多解 在△ABC 中,
∵ ∠ACB = 90°,AB = 10,BC = 6,
∴ AC = √(10²-6²) = 8,设⊙O 的半径为 x,S△ABC = S△AOB + S△COB,
∴ 1/2 ×6×8 = 1/2 ×10x + 1/2 ×6x,解得 x = 3,
∴ ⊙O 的半径为 3.

【分析】
本题围绕直角三角形中作满足条件的圆展开，需完成作图、证明相切、求半径三个任务。解题思路：(1) 作圆时，⊙O与BC相切于C，故OC⊥BC，O在AC上，OC为半径；要使⊙O与AB相切，需O到AB的距离等于半径，根据角平分线性质，角平分线上的点到角两边距离相等，因此作∠ABC的平分线交AC于O，以O为圆心、OC为半径作圆即可；(2) 证明相切时，过O作AB的垂线OM，利用角平分线性质得OM=OC，结合切线判定定理完成证明；(3) 求半径时，先由勾股定理算出AC长度，再设半径为x，通过勾股定理或面积法建立方程求解。
【解析】
(1) 作图：作∠ABC的平分线，交AC于点O，以O为圆心、OC长为半径作圆，即为所求⊙O（保留作图痕迹）；
(2) 证明：过点O作OM⊥AB，垂足为M。
∵ ∠ACB=90°，
∴ OC⊥BC。
又
∵ BO是∠ABC的平分线，OM⊥AB，
∴ OC=OM（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ OM是⊙O的半径，且OM⊥AB，
∴ ⊙O与AB相切；
(3) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
由勾股定理得：AC=√(AB²-BC²)=√(10²-6²)=8。
设⊙O的半径为x，则OC=OM=x，OA=8-x。
∵ Rt△OMB≌Rt△OCB（HL，OB公共，OM=OC），
∴ MB=BC=6，
∴ AM=AB-MB=10-6=4。
在Rt△AOM中，由勾股定理得：
x² + 4² = (8-x)²，
展开得x² +16 =64 -16x +x²，
化简得16x=48，解得x=3。
故⊙O的半径为3。
【答案】
(1) 如图所示（对应题目给出的作图结果）；(2) 证明如上；(3) ⊙O的半径为3。
【知识点】
角平分线性质、切线判定、勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查切线相关知识，需掌握角平分线性质、切线判定定理，通过勾股定理或面积法求解半径，一题多解，能有效提升几何综合应用能力。
【难度系数】
0.5

5. 如图,$△ ABC$内接于$\odot O$,过点$A$作直线$DE$,要使得直线$DE$与$\odot O$相切,则$∠ BAE=$（）

A.$∠ B$
B.$∠ BAC$
C.$∠ C$
D.$∠ DAC$

解析:如图,作直径 AF 交⊙O 于点 F,连接 BF.
∵ ∠F,∠C 都是$\overset{\frown}{AB}$所对的角,
∴ ∠C = ∠F.若∠BAE = ∠C, 则∠BAE = ∠F.
∵ AF 为直径,
∴ ∠ABF = 90°,
∴ 在△ABF 中,∠F + ∠BAF = 90°.
∵ ∠F = ∠BAE,
∴ ∠BAE + ∠BAF = 90°,
∴ FA ⊥ DE,可得直线 DE 与⊙O 相切.故选C.

【分析】
要使直线DE与⊙O相切，根据切线的判定定理，需证明过点A的直径AF垂直于DE。因此作直径AF，连接BF，利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠F，再结合直径所对圆周角为直角的性质，推导∠BAE与∠C的关系，进而证明DE是切线，确定∠BAE的度数等于∠C。
【解析】
作直径AF交⊙O于点F，连接BF。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，∠F和∠C都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，故$∠ C = ∠ F$。
2. 若$∠ BAE = ∠ C$，则$∠ BAE = ∠ F$。
3. 因为AF是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得$∠ ABF = 90°$，在$△ ABF$中，$∠ F + ∠ BAF = 90°$。
4. 将$∠ F$替换为$∠ BAE$，可得$∠ BAE + ∠ BAF = 90°$，即$FA ⊥ DE$。
5. 根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可知直线DE与⊙O相切，因此$∠ BAE = ∠ C$，故选C。
【答案】C
【知识点】
圆周角定理、切线的判定定理
【点评】
本题通过构造直径辅助线，结合圆周角性质和切线判定定理求解，考查圆的基本性质与切线判定的综合应用，需掌握辅助线构造方法，属于几何基础题。
【难度系数】
0.5

6. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$BC$交$\odot O$于点$D$,$DE ⊥ AC$于点$E$,要使$DE$是$\odot O$的切线,还需补充一个条件,则下列条件: ①$DE = DO$;②$AB=AC$;③$CD=DB$;④$AC // OD$. 其中,正确的有.(填序号)

解析:当 AB=AC 时,连接 AD.
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ AD ⊥ BC,
∴ CD = BD.
∵ AO = BO,
∴ OD 是△ABC 的中位线,
∴ OD//AC.
∵ DE ⊥ AC,
∴ DE ⊥ OD,
∴ DE 是⊙O 的切线,
∴ ②正确.当 CD = BD 时,
∵ AO = BO,
∴ OD 是△ABC 的中位线,
∴ OD//AC.
∵ DE ⊥ AC,
∴ DE ⊥ OD,
∴ DE 是⊙O 的切线,
∴ ③正确.当 AC//OD 时,
∵ DE ⊥ AC,
∴ DE ⊥ OD,
∴ DE 是⊙O 的切线,
∴ ④正确.当 DE = DO 时,不能得到 DE ⊥ DO,
∴ ①错误.故答案为②③④.

【分析】要判断DE是否为⊙O的切线，需依据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此需证明DE⊥OD。接下来逐一分析每个补充条件能否推出DE⊥OD：
条件①：DE=DO仅能说明△EDO为等腰三角形，无法推出∠EDO=90°，不能证明DE是切线；
条件②：AB=AC时，结合直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质及中位线定理，可推出OD//AC，进而得DE⊥OD；
条件③：CD=DB时，结合中位线定理可推出OD//AC，进而得DE⊥OD；
条件④：AC//OD时，结合DE⊥AC可直接推出DE⊥OD。
【解析】
1. 分析条件①：DE=DO仅能说明△EDO是等腰三角形，无法得到DE⊥OD，因此不能判定DE是⊙O的切线，故①错误；
2. 分析条件②：连接AD，

∵ AB是⊙O的直径，

∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AD⊥BC。
又
∵ AB=AC，

∴ △ABC是等腰三角形，AD是BC边上的中线，即CD=DB。

∵ AO=BO，

∴ OD是△ABC的中位线，

∴ OD//AC（三角形中位线平行于第三边）。

∵ DE⊥AC，

∴ DE⊥OD，
又
∵ OD是⊙O的半径，

∴ DE是⊙O的切线，故②正确；
3. 分析条件③：

∵ CD=DB，AO=BO，

∴ OD是△ABC的中位线，

∴ OD//AC。

∵ DE⊥AC，

∴ DE⊥OD，
又
∵ OD是⊙O的半径，

∴ DE是⊙O的切线，故③正确；
4. 分析条件④：

∵ AC//OD，DE⊥AC，

∴ DE⊥OD，
又
∵ OD是⊙O的半径，

∴ DE是⊙O的切线，故④正确。
【答案】②③④
【知识点】切线的判定定理、圆周角定理、三角形中位线定理
【点评】本题结合圆的性质与三角形中位线定理考查切线的判定，需熟练掌握相关定理并灵活推导，综合性较强，需逐一分析每个条件的逻辑关系。
【难度系数】0.5