7. (2024·济宁中考) 如图，$△ ABC$ 内接于 $\odot O$，$D$ 是 $BC$ 上一点，$AD = AC$. $E$ 是 $\odot O$ 外一点，$∠ BAE = ∠ CAD$，$∠ ADE = ∠ ACB$，连接 $BE$.
(1) 若 $AB = 8$，求 $AE$ 的长；
(2) 求证：$EB$ 是 $\odot O$ 的切线.

(1)
∵ ∠BAE = ∠CAD,
∴ ∠DAE = ∠CAB. 又
∵ AD = AC,∠ADE = ∠ACB,
∴ △DAE≌△CAB(ASA),
∴ AE = AB = 8.
(2)如图,连接 OA,OB,由(1)得 AE = AB,AD = AC,
∴ ∠ABE = ∠AEB,∠ADC = ∠ACD.
∵ ∠BAE = ∠CAD,
∴ ∠ABE = ∠AEB = ∠ADC = ∠ACB.
∵ OA = OB,
∴ ∠OBA = ∠OAB = $\frac{1}{2}$(180° - ∠AOB) = 90° - $\frac{1}{2}$∠AOB. 又
∵ ∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB,
∴ ∠OBA = 90° - ∠ACB,
∴ ∠OBE = ∠OBA + ∠ABE = 90° - ∠ACB + ∠ACB = 90°.
∵ OB 是半径,
∴ EB 是⊙O 的切线.

【分析】
第(1)问：要计算AE的长度，需通过角的等量转换构造全等三角形。已知∠BAE=∠CAD，两边同时加∠BAD可得∠DAE=∠CAB，结合AD=AC、∠ADE=∠ACB，可利用ASA判定△DAE≌△CAB，进而得到AE=AB，代入AB=8即可得解。
第(2)问：要证明EB是⊙O的切线，需证明OB⊥EB，因此连接OA、OB，利用(1)中全等三角形的性质得到角相等，结合圆周角定理和等腰三角形OA=OB的性质，推导得出∠OBE=90°，从而完成切线的判定。
【解析】
(1)
∵ ∠BAE = ∠CAD，
∴ ∠BAE + ∠BAD = ∠CAD + ∠BAD，即∠DAE = ∠CAB。
在△DAE和△CAB中：
$\{\begin{array}{l}∠DAE = ∠CAB, \\AD = AC, \\∠ADE = ∠ACB,\end{array} $
∴ △DAE ≌ △CAB（ASA），
∴ AE = AB = 8。
(2) 如图，连接OA、OB，
由(1)知△DAE≌△CAB，
∴ ∠ABE = ∠AEB，∠ADC = ∠ACD。
又
∵ ∠BAE = ∠CAD，AD=AC，
∴ ∠ABE = ∠ADC = ∠ACB。
∵ OA=OB，
∴ ∠OBA = ∠OAB = $\frac{1}{2}(180° - ∠AOB) = 90° - \frac{1}{2}∠AOB$。
根据圆周角定理，同弧AB所对的圆周角∠ACB等于圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = $\frac{1}{2}∠AOB$，
∴ ∠OBA = 90° - ∠ACB。
∴ ∠OBE = ∠OBA + ∠ABE = (90° - ∠ACB) + ∠ACB = 90°。
∵ OB是⊙O的半径，且EB⊥OB，
∴ EB是⊙O的切线。
【答案】
(1) AE的长为8；
(2) EB是⊙O的切线。
【知识点】
全等三角形判定，切线的判定，圆周角定理
【点评】
本题综合考查几何知识，需通过角转换构造全等三角形，结合圆的性质完成切线证明，对几何推理能力要求适中。
【难度系数】
0.5

8. (兰州中考) 如图, $△ ABC$ 内接于 $\odot O$, $AB$ 是$\odot O$ 的直径, $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$, $DE ⊥ AC$ 于点 $E$, $DE$ 交$BF$ 于点 $F$, 交 $AB$ 于点 $G$, $∠ BOD = 2∠ F$, 连接 $BD$.
(1) 求证: $BF$ 是 $\odot O$ 的切线;
(2) 判断 $△ DGB$ 的形状, 并说明理由;
(3) 当 $BD=2$ 时, 求 $FG$ 的长.

(1)连接 CO,
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,
∴ ∠BOC = ∠BOD = 2∠BAC.
∵ ∠BOD = 2∠F,
∴ ∠F = ∠BAC.
∵ DE ⊥ AC,
∴ ∠AEG = 90°.
∵ ∠AGE = ∠FGB,
∴ ∠FBG = ∠AEG = 90°,即 AB ⊥ BF.又 AB 是⊙O 的直径,
∴ BF 是⊙O 的切线.
(2)△DGB 是等腰三角形.理由:
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,AB 是⊙O 的直径,
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}$,BC ⊥ AC,
∴ ∠ABD = ∠ABC.
∵ DE ⊥ AC,BC ⊥ AC,
∴ EF//BC,
∴ ∠AGE = ∠ABC.又
∵ ∠AGE = ∠FGB,
∴ ∠FGB = ∠ABD,
∴ DG = BD,
∴ △DGB是等腰三角形.
(3)
∵ ∠FGB = ∠ABD,AB ⊥ BF,设∠FGB = ∠ABD = α,则∠DBF = ∠F = 90° - α,
∴ DB = DF,
∴ FG = 2DG = 2DB = 4.

【分析】
本题为圆的综合题，分三小问逐步推导：
(1) 要证BF是⊙O的切线，需利用切线判定定理（垂直于半径外端），先由弧相等得圆心角关系，结合已知∠BOD=2∠F推出∠F=∠BAC，再通过DE⊥AC的直角及对顶角相等，证明AB⊥BF，即可得证；
(2) 判断△DGB形状，需找角相等：由弧相等得∠ABD=∠ABC，结合DE⊥AC、BC⊥AC（直径所对圆周角为直角）得EF//BC，进而推出∠FGB=∠ABD，故DG=BD，得等腰三角形；
(3) 求FG的长，利用角的关系得DB=DF，结合△DGB是等腰三角形（DG=DB），推出FG=2DB，代入BD=2得结果。
【解析】
(1) 证明：连接CO，
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，根据弧与圆心角的关系，得∠BOC=∠BOD=2∠BAC，
又已知∠BOD=2∠F，
∴ ∠F=∠BAC，
∵ DE⊥AC，
∴ ∠AEG=90°，
∵ ∠AGE与∠FGB是对顶角，
∴ ∠AGE=∠FGB，
在△AEG中，∠EAG + ∠AGE=90°，
∴ ∠FBG=∠F + ∠FGB=∠BAC + ∠AGE=90°，即AB⊥BF，
又AB是⊙O的直径，
∴ BF是⊙O的切线。
(2) △DGB是等腰三角形，理由如下：
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，AB是⊙O的直径，
∴ ∠ABD=∠ABC，且AB为直径，故∠ACB=90°，即BC⊥AC，
又DE⊥AC，
∴ EF//BC，
∴ ∠AGE=∠ABC，
∵ ∠AGE=∠FGB，
∴ ∠FGB=∠ABD，即∠DGB=∠DBG，
∴ DG=BD，故△DGB是等腰三角形。
(3) 解：设∠FGB=∠ABD=α，
∵ AB⊥BF，
∴ 在Rt△FBG中，∠F=90°-α，
又∠DBF=90°-α，
∴ ∠DBF=∠F，故DB=DF，
∵ △DGB是等腰三角形，
∴ DG=DB，
∴ FG=DF + DG？不，结合角的关系得FG=2DG=2DB，代入BD=2，得FG=4。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) △DGB是等腰三角形；
(3) FG=4。
【知识点】
圆的切线判定、弧与圆心角的关系、等腰三角形的判定
【点评】
本题是圆的综合题，融合切线判定、等腰三角形性质及圆的核心性质，考查学生逻辑推理能力，需逐步推导角的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5

9. (2025·昆明模拟)如图,$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,$AF$是$∠ BAC$的平分线,分别交$BC$于点$G$,交$\odot O$于点$D$,$BD$平分$∠ CBF$,延长$DO$交$\odot O$于点$E$,过点$E$作$EM ⊥ AB$,垂足为点$M$.
(1)若$∠ CBD=32°$,求$∠ CAD$的度数.
(2)求证:$BF$是$\odot O$的切线.
(3)以下与线段$AB$,$AC$,$AM$有关的三个结论:
$\dfrac{AB-AC}{AM}＜2$,$\dfrac{AB-AC}{AM}=2$,$\dfrac{AB-AC}{AM}＞2$,你认为哪个正确? 请说明理由.

(1)
∵ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$,∠CBD = 32°,
∴ ∠CAD = ∠CBD = 32°.
(2)连接 BO,CO,如图①所示,
∵ AF 是∠BAC 的平分线,BD 平分∠CBF,
∴ ∠CBD = ∠FBD,∠BAD = ∠CAD.
∵ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ ∠CAD = ∠CBD,
∴ ∠BAD = ∠CAD = ∠DBC = ∠FBD,设∠BAD = ∠CAD = ∠DBC = ∠FBD = θ,
∴ ∠BAC = 2∠BAD = 2θ,
∴ ∠BOC = 2∠BAC = 4θ.
∵ OB = OC,
∴ ∠OBC = ∠OCB = $\frac{1}{2}$(180° - 4θ) = 90° - 2θ,
∴ ∠OBF = ∠OBC + ∠DBC + ∠FBD = 90° - 2θ + θ + θ = 90°,
∴ OB ⊥ BF.
∵ OB 是⊙O 的半径,
∴ BF 是⊙O 的切线.
(3)$\dfrac{AB-AC}{AM}=2$结论正确,理由如下:
连接 BE,CE,AE,在 BM 上截取 QM = AM,连接 EQ,设 ED 与 BC 交于 H,如图②所示,
∵ EM ⊥ AB,QM = AM,
∴ EM 是 AQ 的垂直平分线,
∴ AE = QE,
∴ ∠AQE = ∠QAE.
∵ AF 是∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAD = ∠CAD,
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ OD ⊥ BC,
∴ BH = CH,
∴ BE = CE,
∴ ∠ECB = ∠EBC.
∵ ∠EAB = ∠ECB,
∴ ∠EAB = ∠EBC = ∠ECB = ∠EQA.
∵ ∠AEQ = 180° - ∠EQA - ∠EAQ,∠BEC = 180° - ∠EBC - ∠ECB,
∴ ∠BEC = ∠AEQ,
∴ ∠BEC - ∠CEQ = ∠AEQ - ∠CEQ,即 ∠BEQ = ∠CEA,在△BEQ 和△CEA 中,
$\begin{cases} BE = CE, \\ ∠BEQ = ∠CEA, \\ QE = AE, \end{cases}$
∴ △BEQ≌△CEA(SAS),
∴ BQ = AC.
∵ BQ = AB - AQ = AB - 2AM,
∴ AC = AB - 2AM,
∴ AB - AC = 2AM,
∴ $\dfrac{AB-AC}{AM}=2$.

【分析】
本题为圆的综合题，分三小问逐步突破：
1. 第(1)问：利用同弧所对圆周角相等的性质，直接推导∠CAD与已知∠CBD的关系，即可求解；
2. 第(2)问：要证BF是⊙O的切线，需证半径OB⊥BF，通过角平分线性质、圆周角与圆心角的关系，结合等腰三角形内角和推导∠OBF=90°，完成证明；
3. 第(3)问：需构造辅助线（在BM上截取QM=AM），利用垂直平分线性质、圆周角相等证明三角形全等，结合线段和差关系推导AB、AC与AM的数量关系，得出结论。
【解析】
(1)
∵ ∠CBD与∠CAD都是弧CD所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠CAD = ∠CBD = 32°。
(2) 连接BO、CO，如图①所示：
∵ AF是∠BAC的平分线，BD平分∠CBF，
∴ ∠BAD = ∠CAD，∠CBD = ∠FBD。
又
∵ ∠CAD与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CAD = ∠CBD，
∴ ∠BAD = ∠CAD = ∠DBC = ∠FBD，设该角为θ，则∠BAC = 2θ。
根据圆周角定理，圆心角∠BOC = 2∠BAC = 4θ，
∵ OB=OC，△BOC为等腰三角形，
∴ ∠OBC = $\frac{1}{2}(180° - 4θ) = 90° - 2θ$，
∴ ∠OBF = ∠OBC + ∠DBC + ∠FBD = (90° - 2θ) + θ + θ = 90°，
即OB⊥BF，又OB是⊙O的半径，故BF是⊙O的切线。
(3) 结论：$\dfrac{AB-AC}{AM}=2$，理由如下：
连接BE、CE、AE，在BM上截取QM=AM，连接EQ，如图②所示：
∵ EM⊥AB，QM=AM，
∴ EM是线段AQ的垂直平分线，故AE=QE，
∴ ∠AQE = ∠QAE。
∵ AF平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD，根据圆周角定理，弧BD=弧CD，
∴ OD⊥BC，故BH=CH，BE=CE，
∴ ∠ECB=∠EBC，又∠EAB=∠ECB（同弧EB所对圆周角），
∴ ∠EAB=∠EBC=∠ECB=∠EQA。
∵ ∠AEQ = 180° - ∠EQA - ∠EAQ，∠BEC = 180° - ∠EBC - ∠ECB，
∴ ∠BEC = ∠AEQ，故∠BEQ = ∠CEA。
在△BEQ和△CEA中：
$\begin{cases} BE = CE \\ ∠BEQ = ∠CEA \\ QE = AE \end{cases}$
∴ △BEQ≌△CEA（SAS），故BQ=AC。
又
∵ AB = BQ + AQ，AQ = AM + QM = 2AM，
∴ AB = AC + 2AM，即AB - AC = 2AM，
∴ $\dfrac{AB-AC}{AM}=2$。
【答案】
(1) 32°；
(2) 证明见上述解析；
(3) $\dfrac{AB-AC}{AM}=2$，理由见上述解析；
[插图]
【知识点】
圆周角定理、切线的判定、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合题，综合考查圆的核心性质、切线判定、全等三角形等知识点，解题关键在于合理构造辅助线，利用角与弧的对应关系推导边的数量，对学生几何综合能力要求较高，是典型的模拟压轴题。
【难度系数】
0.4