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9. (1)已知在平面直角坐标系内,半径为2的圆的圆心坐标为$(3,-4)$,当该圆向上平移$m(m＞0)$个单位长度时,若要此圆与$x$轴没有交点,则$m$的取值范围是_____.
(2)已知在平面直角坐标系内,以点$P(-3,4)$为圆心,$r$为半径画圆,$\odot P$与坐标轴恰好有三个交点,那么$r$的取值是_____.
(2)已知在平面直角坐标系内,以点$P(-3,4)$为圆心,$r$为半径画圆,$\odot P$与坐标轴恰好有三个交点,那么$r$的取值是_____.
答案
9. (1)0＜m＜2 或 m＞6 解析:不妨设圆心为 A(3,-4),如图①
,作 AC⊥x 轴于 C,交 ⊙A 于 B.易知 AB=2,AC=4,∴ BC=2,
∴ 当 ⊙A 向上平移 2 个单位长度或 6 个单位长度时,⊙A 与 x 轴相切,
∴ 若要此圆与 x 轴没有交点,则 m 的取值范围是 0＜m＜2 或 m＞6.
(2)4 或 5 解析:
∵ ⊙P 与坐标轴恰好有三个交点,
∴ ⊙P 与 x 轴相切(如图②)或 ⊙P 过原点(如图③)
.当 ⊙P 与 x 轴相切时,r=4;当 ⊙P 过原点时,r=OP=√(3²+4²)=5,∴ r=4 或 5.
解析
【分析】
本题考查圆与坐标轴的位置关系，核心是利用圆心到坐标轴的距离与半径的大小关系判断交点个数，需结合平移性质和分类讨论思想解题：
(1) 先确定平移后圆心的坐标，计算其到x轴的距离，根据“圆与x轴无交点”即圆心到x轴的距离大于半径，列不等式求解，同时注意m＞0的条件；
(2) “圆与坐标轴恰好有三个交点”存在两种情况：圆与x轴相切，或圆经过原点，分别计算对应半径即可。
【解析】
(1) 原圆心坐标为$(3,-4)$，向上平移$m(m＞0)$个单位后，新圆心坐标为$(3, -4 + m)$。
圆与x轴无交点，等价于圆心到x轴的距离大于半径。圆心到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即$|m - 4|$，半径为2，因此：
$|m - 4| ＞ 2$
解不等式：
当$m - 4 ＞ 2$时，$m ＞ 6$；
当$m - 4 ＜ -2$时，$m ＜ 2$。
结合$m＞0$，得$0 ＜ m ＜ 2$或$m ＞ 6$。
(2) 圆心$P(-3,4)$，到x轴的距离为4，到原点的距离$OP=\sqrt{(-3)^2 + 4^2}=5$。
$\odot P$与坐标轴恰好有三个交点，分两种情况：
① 当$\odot P$与x轴相切时，圆心到x轴的距离等于半径，即$r=4$，此时$\odot P$与x轴1个交点，与y轴有2个交点，总交点数为3，符合条件；
② 当$\odot P$经过原点时，$r=OP=5$，此时$\odot P$与x轴、y轴各有2个交点，原点为公共交点，总交点数为3，符合条件。
因此$r=4$或$5$。
【答案】
(1)0＜m＜2 或 m＞6；(2)4 或 5
【知识点】
圆与坐标轴的位置关系、平移的性质
【点评】
本题需结合圆与坐标轴交点的判定条件，通过分类讨论避免漏解，考查学生对圆的位置关系的理解和应用能力。
【难度系数】
0.3
本题考查圆与坐标轴的位置关系，核心是利用圆心到坐标轴的距离与半径的大小关系判断交点个数，需结合平移性质和分类讨论思想解题：
(1) 先确定平移后圆心的坐标，计算其到x轴的距离，根据“圆与x轴无交点”即圆心到x轴的距离大于半径，列不等式求解，同时注意m＞0的条件；
(2) “圆与坐标轴恰好有三个交点”存在两种情况：圆与x轴相切，或圆经过原点，分别计算对应半径即可。
【解析】
(1) 原圆心坐标为$(3,-4)$，向上平移$m(m＞0)$个单位后，新圆心坐标为$(3, -4 + m)$。
圆与x轴无交点，等价于圆心到x轴的距离大于半径。圆心到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即$|m - 4|$，半径为2，因此：
$|m - 4| ＞ 2$
解不等式：
当$m - 4 ＞ 2$时，$m ＞ 6$；
当$m - 4 ＜ -2$时，$m ＜ 2$。
结合$m＞0$，得$0 ＜ m ＜ 2$或$m ＞ 6$。
(2) 圆心$P(-3,4)$，到x轴的距离为4，到原点的距离$OP=\sqrt{(-3)^2 + 4^2}=5$。
$\odot P$与坐标轴恰好有三个交点，分两种情况：
① 当$\odot P$与x轴相切时，圆心到x轴的距离等于半径，即$r=4$，此时$\odot P$与x轴1个交点，与y轴有2个交点，总交点数为3，符合条件；
② 当$\odot P$经过原点时，$r=OP=5$，此时$\odot P$与x轴、y轴各有2个交点，原点为公共交点，总交点数为3，符合条件。
因此$r=4$或$5$。
【答案】
(1)0＜m＜2 或 m＞6；(2)4 或 5
【知识点】
圆与坐标轴的位置关系、平移的性质
【点评】
本题需结合圆与坐标轴交点的判定条件，通过分类讨论避免漏解，考查学生对圆的位置关系的理解和应用能力。
【难度系数】
0.3
10. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°, AC=3, BC=4$, 以 $C$ 为圆心, $r$ 为半径作 $\odot C$.
(1) 若 $\odot C$ 与斜边 $AB$ 相切, 则 $r$ 的值为
(2)若 $\odot C$ 与斜边 $AB$ 有两个公共点, 则 $r$ 的取值范围是
(3)若 $\odot C$ 与斜边 $AB$ 有且只有一个公共点,则 $r$ 的取值范围是
(1) 若 $\odot C$ 与斜边 $AB$ 相切, 则 $r$ 的值为
2.4
;(2)若 $\odot C$ 与斜边 $AB$ 有两个公共点, 则 $r$ 的取值范围是
2.4＜r≤3
;(3)若 $\odot C$ 与斜边 $AB$ 有且只有一个公共点,则 $r$ 的取值范围是
r=2.4 或 3＜r≤4
.答案
10. (1)2.4 解析:作 AB 边上的高 CH,由勾股定理可得 AB=5,
∴ △ABC 的面积 = 1/2 AC·BC = 1/2 AB·CH,
∴ 3×4=5CH,
∴ CH=2.4,
∴ 当 ⊙C 与斜边 AB 相切时,r=2.4.
(2)2.4＜r≤3 解析:
∵ ⊙C 与斜边 AB 有两个公共点,
∴ r 应大于圆与 AB 相切时的半径长,同时小于或等于圆经过点 A 时的半径长,由(1)可知,r 的取值范围是 2.4＜r≤3.
(3)r=2.4 或 3＜r≤4 解析:当斜边 AB 与圆相切时,圆与斜边 AB 只有一个公共点,由(1)可知,此时 r=2.4.
当斜边 AB 与圆相交时,圆与斜边 AB 也可以只有一个交点,如图,此时 3＜r≤4.综上所述,r=2.4 或 3＜r≤4.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再通过三角形面积法得到圆心C到斜边AB的距离，这是判断圆与线段AB相切的关键。接下来，结合圆与直线的位置关系（圆心到直线的距离d与半径r的关系），以及线段AB端点A、B到C的距离，分情况讨论r的取值：相切时r等于圆心到AB的距离；两个公共点时需满足r大于相切距离且不超过A到C的距离；只有一个公共点时包括相切和A在圆内、B在圆外的相交情况。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：
AB = √(AC² + BC²) = √(3² + 4²) = 5。
过点C作CH⊥AB于H，根据三角形面积公式：
S△ABC = (1/2)AC·BC = (1/2)AB·CH，
代入数值：(1/2)×3×4 = (1/2)×5×CH，
解得CH = 2.4，即圆心C到斜边AB的距离为2.4。
(1) 当⊙C与斜边AB相切时，半径r等于圆心到AB的距离，故r=CH=2.4；
(2) 当⊙C与斜边AB有两个公共点时，需满足r ＞ 相切时的距离（2.4），且r ≤ AC=3（r=3时A在圆上，线段AB与圆交于A和另一点；r＞3时A在圆内，线段AB仅一个交点），故r的取值范围是2.4 ＜ r ≤ 3；
(3) 当⊙C与斜边AB有且只有一个公共点时，分两种情况：①相切时r=2.4；②当3 ＜ r ≤4时，A在圆内、B在圆上或圆外，线段AB与圆仅一个交点，故r的取值为r=2.4或3 ＜ r ≤4。
【答案】
(1)2.4；(2)2.4＜r≤3；(3)r=2.4或3＜r≤4
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题结合直角三角形考查圆与线段的位置关系，核心是利用圆心到直线的距离判断相切，需注意区分直线与线段的交点差异，结合端点到圆心的距离分析，避免漏解，是几何位置关系的典型应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再通过三角形面积法得到圆心C到斜边AB的距离，这是判断圆与线段AB相切的关键。接下来，结合圆与直线的位置关系（圆心到直线的距离d与半径r的关系），以及线段AB端点A、B到C的距离，分情况讨论r的取值：相切时r等于圆心到AB的距离；两个公共点时需满足r大于相切距离且不超过A到C的距离；只有一个公共点时包括相切和A在圆内、B在圆外的相交情况。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：
AB = √(AC² + BC²) = √(3² + 4²) = 5。
过点C作CH⊥AB于H，根据三角形面积公式：
S△ABC = (1/2)AC·BC = (1/2)AB·CH，
代入数值：(1/2)×3×4 = (1/2)×5×CH，
解得CH = 2.4，即圆心C到斜边AB的距离为2.4。
(1) 当⊙C与斜边AB相切时，半径r等于圆心到AB的距离，故r=CH=2.4；
(2) 当⊙C与斜边AB有两个公共点时，需满足r ＞ 相切时的距离（2.4），且r ≤ AC=3（r=3时A在圆上，线段AB与圆交于A和另一点；r＞3时A在圆内，线段AB仅一个交点），故r的取值范围是2.4 ＜ r ≤ 3；
(3) 当⊙C与斜边AB有且只有一个公共点时，分两种情况：①相切时r=2.4；②当3 ＜ r ≤4时，A在圆内、B在圆上或圆外，线段AB与圆仅一个交点，故r的取值为r=2.4或3 ＜ r ≤4。
【答案】
(1)2.4；(2)2.4＜r≤3；(3)r=2.4或3＜r≤4
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题结合直角三角形考查圆与线段的位置关系，核心是利用圆心到直线的距离判断相切，需注意区分直线与线段的交点差异，结合端点到圆心的距离分析，避免漏解，是几何位置关系的典型应用。
【难度系数】
0.5
11. 如图,$P$为正比例函数$y=\dfrac{3}{2}x$图象上的一个动点,$\odot P$的半径为$3$,设点$P$的坐标为$(x,y)$.
(1)求$\odot P$与直线$x=2$相切时点$P$的坐标;
(2)请直接写出$\odot P$与直线$x=2$相交、相离时$y$的取值范围.
(1)求$\odot P$与直线$x=2$相切时点$P$的坐标;
(2)请直接写出$\odot P$与直线$x=2$相交、相离时$y$的取值范围.
答案
11. (1)过点 P 作直线 x=2 的垂线,垂足为 A.当点 P 在直线 x=2 右侧时,AP=x-2=3,得 x=5,
∴ 点 P 的坐标为(5,15/2);当点 P 在直线 x=2 左侧时,PA=2-x=3,得 x=-1,
∴ 点 P 的坐标为(-1,-3/2).综上所述,⊙P 与直线 x=2 相切时,点 P 的坐标为(5,15/2)或(-1,-3/2).
(2)相交时:-3/2＜y＜15/2,相离时:y＜-3/2 或 y＞15/2.
解析:当-1＜x＜5 时,⊙P 与直线 x=2 相交,此时 y 的取值范围为-3/2＜y＜15/2;当 x＜-1 或 x＞5 时,⊙P 与直线 x=2 相离,此时 y 的取值范围为 y＜-3/2 或 y＞15/2.
∴ 点 P 的坐标为(5,15/2);当点 P 在直线 x=2 左侧时,PA=2-x=3,得 x=-1,
∴ 点 P 的坐标为(-1,-3/2).综上所述,⊙P 与直线 x=2 相切时,点 P 的坐标为(5,15/2)或(-1,-3/2).
(2)相交时:-3/2＜y＜15/2,相离时:y＜-3/2 或 y＞15/2.
解析:当-1＜x＜5 时,⊙P 与直线 x=2 相交,此时 y 的取值范围为-3/2＜y＜15/2;当 x＜-1 或 x＞5 时,⊙P 与直线 x=2 相离,此时 y 的取值范围为 y＜-3/2 或 y＞15/2.
解析
【分析】
要解决该问题，需利用直线与圆的位置关系：圆心到直线的距离等于半径时相切，小于半径时相交，大于半径时相离。已知点$P$在正比例函数$y=\frac{3}{2}x$上，圆心$P(x,y)$到直线$x=2$的距离为横坐标差的绝对值$|x-2|$，结合半径为3，分情况讨论距离与半径的关系，再代入函数解析式求解坐标或$y$的范围。
【解析】
(1) 过点$P(x,y)$作直线$x=2$的垂线，垂足为$A$，则圆心$P$到直线$x=2$的距离为$|x-2|$。
当$\odot P$与直线$x=2$相切时，距离等于半径3，即$|x-2|=3$：
若点$P$在直线$x=2$右侧，则$x-2=3$，解得$x=5$，代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=\frac{15}{2}$，故$P(5,\frac{15}{2})$；
若点$P$在直线$x=2$左侧，则$2-x=3$，解得$x=-1$，代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=-\frac{3}{2}$，故$P(-1,-\frac{3}{2})$。
(2) 当$\odot P$与直线$x=2$相交时，距离小于半径3，即$|x-2|＜3$，解得$-1＜x＜5$。代入$y=\frac{3}{2}x$，得$-\frac{3}{2}＜y＜\frac{15}{2}$；
当$\odot P$与直线$x=2$相离时，距离大于半径3，即$|x-2|＞3$，解得$x＞5$或$x＜-1$。代入$y=\frac{3}{2}x$，得$y＞\frac{15}{2}$或$y＜-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $(5,\frac{15}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$；(2) 相交时$-\frac{3}{2}＜y＜\frac{15}{2}$，相离时$y＜-\frac{3}{2}$或$y＞\frac{15}{2}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；一次函数应用；坐标与图形性质
【点评】
本题结合一次函数考查直线与圆的位置关系，核心是利用圆心到直线的距离与半径的数量关系，分情况讨论求解，需掌握距离计算方法，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需利用直线与圆的位置关系：圆心到直线的距离等于半径时相切，小于半径时相交，大于半径时相离。已知点$P$在正比例函数$y=\frac{3}{2}x$上，圆心$P(x,y)$到直线$x=2$的距离为横坐标差的绝对值$|x-2|$，结合半径为3，分情况讨论距离与半径的关系，再代入函数解析式求解坐标或$y$的范围。
【解析】
(1) 过点$P(x,y)$作直线$x=2$的垂线，垂足为$A$，则圆心$P$到直线$x=2$的距离为$|x-2|$。
当$\odot P$与直线$x=2$相切时，距离等于半径3，即$|x-2|=3$：
若点$P$在直线$x=2$右侧，则$x-2=3$，解得$x=5$，代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=\frac{15}{2}$，故$P(5,\frac{15}{2})$；
若点$P$在直线$x=2$左侧，则$2-x=3$，解得$x=-1$，代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=-\frac{3}{2}$，故$P(-1,-\frac{3}{2})$。
(2) 当$\odot P$与直线$x=2$相交时，距离小于半径3，即$|x-2|＜3$，解得$-1＜x＜5$。代入$y=\frac{3}{2}x$，得$-\frac{3}{2}＜y＜\frac{15}{2}$；
当$\odot P$与直线$x=2$相离时，距离大于半径3，即$|x-2|＞3$，解得$x＞5$或$x＜-1$。代入$y=\frac{3}{2}x$，得$y＞\frac{15}{2}$或$y＜-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $(5,\frac{15}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$；(2) 相交时$-\frac{3}{2}＜y＜\frac{15}{2}$，相离时$y＜-\frac{3}{2}$或$y＞\frac{15}{2}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；一次函数应用；坐标与图形性质
【点评】
本题结合一次函数考查直线与圆的位置关系，核心是利用圆心到直线的距离与半径的数量关系，分情况讨论求解，需掌握距离计算方法，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
12. 新考法 我们知道,求两个函数图象的交点坐标时,可以联立两个图象的表达式组成方程组,方程组的解就是其交点的坐标.已知圆心在$P(a,b)$,半径为$r$的圆的表达式可以写作:$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=$$r^{2}$.若$\odot O$的圆心在坐标原点,半径为2,且$\odot O$与直线$y=2x+m$有且只有一个交点,则$m$的值为
±2√5
.答案
12. ±2√5 解析:
∵ ⊙O 的圆心在坐标原点,半径为 2,
∴ 表达式可写作 x²+y²=4,联立 x²+y²=4 与 y=2x+m,消去 y 得 x²+(2x+m)²=4,即 5x²+4mx+m²-4=0.
∵ ⊙O 与直线 y=2x+m 有且只有一个交点,
∴ 关于 x 的一元二次方程 5x²+4mx+m²-4=0 有两个相同的根,即 b²-4ac=16m²-20(m²-4)=0,得 m²=20,即 m=±2√5.
∵ ⊙O 的圆心在坐标原点,半径为 2,
∴ 表达式可写作 x²+y²=4,联立 x²+y²=4 与 y=2x+m,消去 y 得 x²+(2x+m)²=4,即 5x²+4mx+m²-4=0.
∵ ⊙O 与直线 y=2x+m 有且只有一个交点,
∴ 关于 x 的一元二次方程 5x²+4mx+m²-4=0 有两个相同的根,即 b²-4ac=16m²-20(m²-4)=0,得 m²=20,即 m=±2√5.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程，再利用“函数图象交点可通过联立方程求解”的思路，将直线与圆的表达式联立，消元得到一元二次方程；由于直线与圆有且只有一个交点，说明直线与圆相切，对应一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，据此建立关于$m$的方程，求解即可得到结果。
【解析】
1. 确定$\odot O$的表达式：
因为$\odot O$的圆心在原点$(0,0)$，半径为2，根据圆的标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，可得$\odot O$的方程为$x^2+y^2=4$。
2. 联立直线与圆的方程：
将直线$y=2x+m$代入圆的方程$x^2+y^2=4$，消去$y$得：
$x^2+(2x+m)^2=4$，展开整理得：$5x^2 + 4mx + m^2 - 4 = 0$。
3. 利用直线与圆相切的性质：
因为$\odot O$与直线$y=2x+m$有且只有一个交点，说明直线与圆相切，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$。
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$，$\Delta=B^2-4AC$，这里$A=5$，$B=4m$，$C=m^2-4$，则：
$\Delta=(4m)^2 - 4×5×(m^2 - 4)=16m^2 - 20(m^2 - 4)= -4m^2 + 80$。
令$\Delta=0$，即$-4m^2 +80=0$，解得$m^2=20$，因此$m=±\sqrt{20}=±2\sqrt{5}$。
【答案】
±2√5
【知识点】
圆的标准方程、直线与圆相切、判别式的应用
【点评】
本题结合新考法，将函数交点的思路与圆的位置关系结合，考察学生对圆的方程、直线与圆位置关系的理解，以及判别式的应用能力，需要掌握联立方程判断交点个数的方法，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程，再利用“函数图象交点可通过联立方程求解”的思路，将直线与圆的表达式联立，消元得到一元二次方程；由于直线与圆有且只有一个交点，说明直线与圆相切，对应一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，据此建立关于$m$的方程，求解即可得到结果。
【解析】
1. 确定$\odot O$的表达式：
因为$\odot O$的圆心在原点$(0,0)$，半径为2，根据圆的标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，可得$\odot O$的方程为$x^2+y^2=4$。
2. 联立直线与圆的方程：
将直线$y=2x+m$代入圆的方程$x^2+y^2=4$，消去$y$得：
$x^2+(2x+m)^2=4$，展开整理得：$5x^2 + 4mx + m^2 - 4 = 0$。
3. 利用直线与圆相切的性质：
因为$\odot O$与直线$y=2x+m$有且只有一个交点，说明直线与圆相切，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$。
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$，$\Delta=B^2-4AC$，这里$A=5$，$B=4m$，$C=m^2-4$，则：
$\Delta=(4m)^2 - 4×5×(m^2 - 4)=16m^2 - 20(m^2 - 4)= -4m^2 + 80$。
令$\Delta=0$，即$-4m^2 +80=0$，解得$m^2=20$，因此$m=±\sqrt{20}=±2\sqrt{5}$。
【答案】
±2√5
【知识点】
圆的标准方程、直线与圆相切、判别式的应用
【点评】
本题结合新考法，将函数交点的思路与圆的位置关系结合，考察学生对圆的方程、直线与圆位置关系的理解，以及判别式的应用能力，需要掌握联立方程判断交点个数的方法，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.6
13. (2025·苏州校级月考) 如图①, 在矩形$ABCD$中, 边长$AB=a$,$AD=b$, 其中$a,b$($a＜b$)分别是方程$x^{2}-7x+12=0$的两个根, 连接$BD$. 点$O$从点$C$出发, 沿$CB$向点$B$运动(到达点$B$停止运动), 速度为每秒1个单位长度, 设运动时间为$t$秒. 在运动过程中, 以$O$为圆心,$OC$的长为半径作半圆, 交射线$CB$于点$Q$.
(1)$BD=$
(2) 如图②, 当$t$为多少时, 点$O$运动到$∠ BDC$的平分线上? 此时, 半圆$O$与$BD$有怎样的位置关系? 并加以说明.
(3) 如图③, 当半圆$O$与$△ ABD$的边有两个交点时, 求$t$的取值范围.
(1)$BD=$
5
.(2) 如图②, 当$t$为多少时, 点$O$运动到$∠ BDC$的平分线上? 此时, 半圆$O$与$BD$有怎样的位置关系? 并加以说明.
(3) 如图③, 当半圆$O$与$△ ABD$的边有两个交点时, 求$t$的取值范围.
答案
13. (1)5 解析:由 x²-7x+12=0,即(x-3)(x-4)=0,解得 x₁=3,x₂=4.
∵ 边长 AB=a,AD=b,其中 a,b(a＜b)分别是方程 x²-7x+12=0 的两个根,
∴ AB=3,AD=4.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠BAD=90°,在 Rt△ABD 中,AB=3,AD=4,
∴ BD=√(AB²+AD²)=√(3²+4²)=5.
(2)如图①
,过点 O 作 OE⊥BD,垂足为点 E,连接 OD,∵ OD 是 ∠BDC 的平分线,又
∵ 在矩形 ABCD 中,∠BCD=90°,AB=CD=3,AD=BC=4,
∴ OC⊥CD,
∴ OE=OC,
∴ BD 是半圆 O 的切线,即 BD 与半圆 O 相切.又 S△DO + S△CDO = S△BDC,
∴ 1/2 BD·OE + 1/2 CD·OC = 1/2 BC·CD,
∴ 5OE+3OC=12,即 8OC=12,
∴ OC=3/2,
∴ t=3/2 ÷1=3/2.
综上所述,当 t 为 3/2 时,点 O 运动到 ∠BDC 的平分线上,此时,半圆 O 与 BD 相切.
(3)如图②
,当半圆 O 与 BD 相切时,此时半圆 O 与 △ABD 的边有 1 个交点,即为切点,设切点为 H,连接 OH,由(2)可得 t=3/2;如图③,当点 Q 与点 B 重合时,此时半圆 O 与 △ABD 的边有 2 个交点,此时 BC 为半圆 O 的直径,OC=1/2 BC=2,
∴ t=2÷1=2,
∴ 当 3/2 ＜ t ≤ 2 时,半圆 O 与 BD 有 2 个交点,即半圆 O 与 △ABD 的边有 2 个交点;
如图④
,此时半圆 O 与 BD 有 1 个交点,与 AB 有 1 个交点;如图⑤,当半圆 O 与 AD 相切时,此时半圆 O 与 △ABD 的边有 3 个交点,设 AD 与半圆 O 的切点为 M,连接 OM,
∵ OM=OC=AB=3,
∴ t=3÷1=3,
∴ 当 2＜t＜3 时,半圆 O 与 BD 有 1 个交点,与 AB 有 1 个交点,即半圆 O 与 △ABD 的边有 2 个交点;
如图⑥
,当半圆 O 经过点 A 时,此时半圆 O 与 △ABD 的边有 3 个交点,连接 OA,设 OA=OC=x,由勾股定理得 3²+(4-x)²=x²,解得 x=25/8,∴ OC=25/8,
∴ t=25/8 ÷1=25/8.
如图⑦,当点 O 与点 B 重合时,此时点 O 停止运动,
∴ OC=BC=4,
∴ t=4÷1=4,
∴ 当 25/8 ＜ t ≤4 时,半圆 O 与 BD 有 1 个交点,与 AD 有 1 个交点,即半圆 O 与 △ABD 的边有 2 个交点.
综上所述,当半圆 O 与 △ABD 的边有两个交点时,3/2 ＜ t ＜3 或 25/8 ＜ t ≤4.
解析
【分析】
首先通过解方程得到矩形的边长，利用矩形性质和勾股定理求出BD；第(2)问利用角平分线的性质结合三角形面积公式求出OC，进而得到t的值，再根据圆心到直线的距离与半径的关系判断半圆与BD的位置；第(3)问需分类讨论半圆与△ABD各边的交点情况，结合圆的切线、交点重合等条件确定t的取值范围。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -7x +12=0$，因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$。因为$a＜b$，所以$AB=3$，$AD=4$。在矩形$ABCD$中，$∠ BAD=90°$，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
(2) 如图①，过点$O$作$OE⊥ BD$于$E$，连接$OD$。因为$OD$是$∠ BDC$的平分线，$OC⊥ CD$，$OE⊥ BD$，根据角平分线性质得$OE=OC$。又$S_{△ BDC}=S_{△ DOB}+S_{△ DOC}$，即$\frac{1}{2}× BC× CD=\frac{1}{2}× BD× OE+\frac{1}{2}× CD× OC$，代入$BC=4$，$CD=3$，$BD=5$，$OE=OC$，得$6=4OC$，解得$OC=\frac{3}{2}$，故$t=\frac{3}{2}÷1=\frac{3}{2}$。此时圆心$O$到$BD$的距离等于半径，所以半圆$O$与$BD$相切。
(3) 分情况讨论：
① 当半圆与$BD$相切时，$t=\frac{3}{2}$，此时交点数为1；
② 当点$Q$与$B$重合时，$OC=2$，$t=2$，此时交点数为2，故$\frac{3}{2}＜t≤2$时，交点数为2；
③ 当半圆与$AD$相切时，$OC=3$，$t=3$，此时交点数为3，故$2＜t＜3$时，交点数为2；
④ 当半圆经过点$A$时，设$OC=x$，由$3^2+(4-x)^2=x^2$解得$x=\frac{25}{8}$，$t=\frac{25}{8}$，此时交点数为3，故$\frac{25}{8}＜t≤4$时，交点数为2。
综上，$t$的取值范围是$\frac{3}{2}＜t＜3$或$\frac{25}{8}＜t≤4$。
【答案】
(1)$5$；(2)当$t=\frac{3}{2}$时，点$O$在$∠ BDC$的平分线上，此时半圆$O$与$BD$相切；(3)$\frac{3}{2}＜t＜3$或$\frac{25}{8}＜t≤4$
【知识点】
矩形性质、勾股定理、切线判定、圆与直线的位置关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程、矩形、角平分线、圆的切线等知识，需分类讨论半圆与三角形边的交点情况，对几何分析能力要求较高。
【难度系数】
0.5
首先通过解方程得到矩形的边长，利用矩形性质和勾股定理求出BD；第(2)问利用角平分线的性质结合三角形面积公式求出OC，进而得到t的值，再根据圆心到直线的距离与半径的关系判断半圆与BD的位置；第(3)问需分类讨论半圆与△ABD各边的交点情况，结合圆的切线、交点重合等条件确定t的取值范围。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -7x +12=0$，因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$。因为$a＜b$，所以$AB=3$，$AD=4$。在矩形$ABCD$中，$∠ BAD=90°$，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
(2) 如图①，过点$O$作$OE⊥ BD$于$E$，连接$OD$。因为$OD$是$∠ BDC$的平分线，$OC⊥ CD$，$OE⊥ BD$，根据角平分线性质得$OE=OC$。又$S_{△ BDC}=S_{△ DOB}+S_{△ DOC}$，即$\frac{1}{2}× BC× CD=\frac{1}{2}× BD× OE+\frac{1}{2}× CD× OC$，代入$BC=4$，$CD=3$，$BD=5$，$OE=OC$，得$6=4OC$，解得$OC=\frac{3}{2}$，故$t=\frac{3}{2}÷1=\frac{3}{2}$。此时圆心$O$到$BD$的距离等于半径，所以半圆$O$与$BD$相切。
(3) 分情况讨论：
① 当半圆与$BD$相切时，$t=\frac{3}{2}$，此时交点数为1；
② 当点$Q$与$B$重合时，$OC=2$，$t=2$，此时交点数为2，故$\frac{3}{2}＜t≤2$时，交点数为2；
③ 当半圆与$AD$相切时，$OC=3$，$t=3$，此时交点数为3，故$2＜t＜3$时，交点数为2；
④ 当半圆经过点$A$时，设$OC=x$，由$3^2+(4-x)^2=x^2$解得$x=\frac{25}{8}$，$t=\frac{25}{8}$，此时交点数为3，故$\frac{25}{8}＜t≤4$时，交点数为2。
综上，$t$的取值范围是$\frac{3}{2}＜t＜3$或$\frac{25}{8}＜t≤4$。
【答案】
(1)$5$；(2)当$t=\frac{3}{2}$时，点$O$在$∠ BDC$的平分线上，此时半圆$O$与$BD$相切；(3)$\frac{3}{2}＜t＜3$或$\frac{25}{8}＜t≤4$
【知识点】
矩形性质、勾股定理、切线判定、圆与直线的位置关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程、矩形、角平分线、圆的切线等知识，需分类讨论半圆与三角形边的交点情况，对几何分析能力要求较高。
【难度系数】
0.5
