7. 如图，D为BC上一点，且AB=AC=BD，则图中∠1与∠2的关系是 （）

A.$∠1=2∠2$
B.$∠1+∠2=180°$
C.$∠1+3∠2=180°$
D.$3∠1-∠2=180°$

7.D

【分析】
解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质找到相等的角，再结合三角形外角性质和内角和定理，将相关角用∠1和∠2表示，最后整理等式即可得到二者的关系。首先由AB=BD得出△ABD的底角相等，再由AB=AC得出△ABC的底角相等，接着利用外角性质建立∠1、∠2和∠C的关系，最后代入△ABD的内角和公式推导即可。
【解析】
解：
∵AB=BD，
∴△ABD是等腰三角形，$∠ BAD=∠ 1$。
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，$∠ B=∠ C$。
∵$∠ 1$是△ADC的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ 1=∠ 2+∠ C$，即$∠ C=∠ 1-∠ 2$，因此$∠ B=∠ 1-∠ 2$。
在△ABD中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ B+∠ BAD+∠ 1=180°$
将$∠ BAD=∠ 1$、$∠ B=∠ 1-∠ 2$代入上式：
$(∠ 1-∠ 2)+∠ 1+∠ 1=180°$
整理得：$3∠ 1-∠ 2=180°$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质和三角形角相关定理的综合应用题，解题关键是准确识别等腰三角形对应的等角，灵活运用外角、内角和定理建立不同角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7

8.若等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为$45°$,则这个等腰三角形的顶角的度数为.

8.$45°$或$135°$

【分析】
解决本题需分类讨论等腰三角形的类型：首先等腰三角形按角可分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形，两种情况下腰上的高位置不同（分别在三角形内部、外部），再结合直角三角形两锐角互余的性质即可求出顶角的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，$BD⊥ AC$于点$D$，由题意得$∠ ABD=45°$。
$\because BD⊥ AC$，$\therefore ∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ A + ∠ ABD = 90°$，
$\therefore ∠ A = 90° - 45° = 45°$，即顶角为$45°$。
② 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，顶角$∠ BAC$为钝角，$BD⊥ AC$，交$CA$的延长线于点$D$，由题意得$∠ ABD=45°$。
$\because BD⊥ CD$，$\therefore ∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD + ∠ ABD = 90°$，
$\therefore ∠ BAD = 90° - 45° = 45°$，
$\therefore ∠ BAC = 180° - ∠ BAD = 180° - 45° = 135°$，即顶角为$135°$。
综上，这个等腰三角形的顶角度数为$45°$或$135°$。
【答案】
$45°$或$135°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略高在三角形外部的情况漏解，解题时要明确等腰三角形腰上的高位置不唯一，需结合三角形的形状分类讨论。
【难度系数】
0.6

9. 如图,在$△ ABC$中,$AB$,$AC$的垂直平分线分别交$BC$于$D$,$E$两点,并且相交于点$F$,若$∠ DAE=30°$,则$∠ DFE$的度数是________.

9.$75°$

【分析】
解题思路如下：1. 首先利用线段垂直平分线的性质，得到AD=BD、AE=CE，结合等边对等角推出∠B=∠BAD，∠C=∠CAE；2. 结合三角形内角和定理与已知∠DAE=30°，先求出∠BAC的度数；3. 再根据垂直平分线的定义得到DF⊥AB、EF⊥AC，利用四边形内角和为360°，即可求出∠DFE的度数。
【解析】
解：
∵DF是AB的垂直平分线，EF是AC的垂直平分线
∴AD=BD，AE=CE，DF⊥AB，EF⊥AC
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，设AB与DF交于点M，AC与EF交于点N，则∠AMF=∠ANF=90°
在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°
又
∵∠BAC = ∠BAD + ∠DAE + ∠CAE = ∠B + 30° + ∠C
代入内角和公式得：∠BAC + (∠BAC - 30°) = 180°
解得∠BAC = 105°
在四边形AMFN中，内角和为360°
∴∠DFE = ∠MFN = 360° - ∠AMF - ∠ANF - ∠BAC = 360° - 90° - 90° - 105° = 75°
【答案】
75°
【知识点】
垂直平分线的性质，三角形内角和，四边形内角和
【点评】
本题侧重考查线段垂直平分线性质和多边形内角和的综合运用，解题时要注意通过等边对等角实现角的等量转换，找到待求角和已知角的关联即可快速求解。
【难度系数】
0.65

10.如图，∠MAN是一钢架，且∠MAN=18°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管BC,CD,DE,……添加的钢管长度都与AB相等，则最多能添加根这样的钢管.

10.4

【分析】
解题时首先明确添加的钢管长度均与AB相等，因此每根新添加的钢管都会和之前的线段构成等腰三角形。我们可以利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的规律，依次计算每个等腰三角形的底角度数，当底角度数≥90°时，无法再构成符合内角和要求的等腰三角形，此时统计已添加的钢管数量即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，添加的钢管长度均与AB相等，即$AB=BC=CD=DE=EF=\dots$
1. 在$△ ABC$中，$AB=BC$，根据等腰三角形两底角相等，得$∠ BCA=∠ A=18°$，
根据三角形外角性质，$∠ CBD=∠ A+∠ BCA=18°+18°=36°$；
2. 在$△ BCD$中，$BC=CD$，得$∠ CDB=∠ CBD=36°$，
则$∠ DCE=∠ A+∠ CDB=18°+36°=54°$；
3. 在$△ CDE$中，$CD=DE$，得$∠ DEC=∠ DCE=54°$，
则$∠ EDF=∠ A+∠ DEC=18°+54°=72°$；
4. 在$△ DEF$中，$DE=EF$，得$∠ EFD=∠ EDF=72°$，
则$∠ FEM=∠ A+∠ EFD=18°+72°=90°$。
若继续添加钢管$FG=EF$，则$△ EFG$的底角为$90°$，两个底角和已达$180°$，不符合三角形内角和定理，无法构成三角形。
因此可添加的钢管为BC、CD、DE、EF，共4根。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是规律探究类的几何题，核心是结合等腰三角形性质和三角形内外角关系找到底角的变化规律，解题时要注意区分原有边和添加的钢管，避免计数错误，同时要牢记三角形内角和为180°，底角不能大于等于90°的限制。
【难度系数】
0.6

11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$是$BC$的中点,$BE\bot AC$于点$E$.
求证:$∠ BAC=2∠ EBC$.

11.证明:$∵AB=AC$,D是BC的中点,
$∴AD⊥BC,∠BAC=2∠DAC,∠ADC=90°.$
$∵BE⊥AC,∴∠BEC=90°,$
$∴∠DAC=∠EBC,∴∠BAC=2∠EBC.$

【分析】
要证明∠BAC=2∠EBC，可先从已知条件入手：首先△ABC是等腰三角形（AB=AC），且D是BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD垂直BC，且AD平分顶角∠BAC，即∠BAC=2∠DAC，此时只需证明∠DAC=∠EBC即可。再结合BE⊥AC的条件，可知△ADC和△BEC都是直角三角形，两个三角形有公共锐角∠C，根据同角的余角相等，可推出∠DAC=∠EBC，最后等量代换即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAC=2∠DAC，∠ADC=90°。
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC，
∴∠BAC=2∠EBC。
【答案】
证明:$\because AB=AC$,D是BC的中点,
$\therefore AD\bot BC,∠BAC=2∠DAC,∠ADC=90°.$
$\because BE\bot AC,\therefore ∠BEC=90°,$
$\therefore ∠DAC=∠EBC,\therefore ∠BAC=2∠EBC.$
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.同角的余角相等
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查等腰三角形性质和直角三角形角的关系的应用，解题的关键是利用三线合一将二倍角关系转化为单角的等量证明，掌握相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

12.问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.答案:∠DAC=45°.
思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由;
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.

12.解:(1)$∠DAC$的度数不会改变.理由如下:
$∵EA=EC,∴∠EAC=∠C,$
$∴∠AED=2∠C.$
$∵BA=BD,∴∠BAD=∠BDA.$
$∵∠BAE=90°,∴∠B=90°-∠AED=90°-2∠C,$
$∴∠BAD=\frac{1}{2}(180°-∠B)=\frac{1}{2}[180°-(90°-2∠C)]=45°+∠C,$
$∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C,$
$∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°-∠C+∠C=45°.$
(2)设$∠ABC=m°$,则$∠AEB=180°-n°-m°.$
$∵BA=BD,$
则$∠BAD=\frac{1}{2}(180°-m°)=90°-\frac{1}{2}m°,$
$∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+\frac{1}{2}m°.$
$∵EA=EC,∴∠CAE=∠C,$
$∴∠CAE=\frac{1}{2}∠AEB=90°-\frac{1}{2}n°-\frac{1}{2}m°,$
$∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+\frac{1}{2}m°+90°-\frac{1}{2}n°-\frac{1}{2}m°=\frac{1}{2}n°.$

【分析】
本题围绕等腰三角形的角度计算展开，解题思路清晰明确：
(1)判断∠DAC度数是否改变时，首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角性质、内角和定理，将涉及的∠B、∠BAD、∠DAE等角均用∠C表示，最后将∠DAC拆分为∠DAE与∠CAE的和，代入表达式后可发现未知角∠C被消去，得到固定值，即可判断度数不变。
(2)将∠BAE改为n°后，沿用第一问的推导逻辑，设∠B为m°，分别用n°和m°表示出∠DAE和∠CAE，再求和得到∠DAC的表达式，化简后中间量m°会抵消，即可求出∠DAC的度数。
【解析】
(1)∠DAC的度数不会改变，理由如下：
∵EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
根据三角形外角的性质，∠AED=∠EAC+∠C=2∠C。
∵BA=BD，
∴∠BAD=∠BDA。
∵∠BAE=90°，在△ABE中，∠B=90°-∠AED=90°-2∠C，
在△ABD中，$∠ BAD=\frac{1}{2}(180°-∠ B)=\frac{1}{2}[180°-(90°-2∠ C)]=45°+∠ C$，
∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C，
∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°-∠C+∠C=45°，为固定值，故∠DAC的度数不会改变。
(2)设∠ABC=m°，在△ABE中，根据三角形内角和定理，∠AEB=180°-n°-m°。
∵BA=BD，
∴在△ABD中，$∠ BAD=\frac{1}{2}(180°-m°)=90°-\frac{1}{2}m°$，
∴$∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=n°-(90°-\frac{1}{2}m°)=n°-90°+\frac{1}{2}m°$。
∵EA=EC，
∴∠CAE=∠C，
根据三角形外角的性质，∠AEB=∠CAE+∠C=2∠CAE，
∴$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ AEB=\frac{1}{2}(180°-n°-m°)=90°-\frac{1}{2}n°-\frac{1}{2}m°$，
∴$∠ DAC=∠ DAE+∠ CAE=n°-90°+\frac{1}{2}m°+90°-\frac{1}{2}n°-\frac{1}{2}m°=\frac{1}{2}n°$。
【答案】
(1)∠DAC的度数不会改变，为45°；
(2)∠DAC的度数为$\frac{1}{2}n°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型习题，核心是利用等边对等角完成角的等量转化，通过合理拆分所求角、代入代换消去中间未知量得到结果，有效考察角度转化能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6