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1.(2025·扬州)在如图的房屋人字梁架中，$AB=AC$，点$D$在$BC$上，下列条件不能说明$AD⊥ BC$的是 （
A.$∠ ADB=∠ ADC$
B.$∠ B=∠ C$
C.$BD=CD$
D.$AD$平分$∠ BAC$
B
）A.$∠ ADB=∠ ADC$
B.$∠ B=∠ C$
C.$BD=CD$
D.$AD$平分$∠ BAC$
答案
1.B
解析
【分析】
首先明确已知条件：$△ ABC$中$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，需要判断哪个选项无法推出$AD⊥ BC$。解题时结合等腰三角形三线合一的性质、垂直的判定方法逐一分析选项：若选项给出的条件可通过三线合一或平角性质推出$∠ ADB=90°$，则能说明$AD⊥ BC$；若条件是等腰三角形本身就具备的固有性质，无法额外推导$AD$与$BC$的位置关系，则符合要求。
【解析】
已知$AB=AC$，因此$△ ABC$为等腰三角形，$∠ B=∠ C$是其固有性质：
选项A：$∠ ADB+∠ ADC=180°$，若$∠ ADB=∠ ADC$，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$，可证$AD⊥ BC$，不符合题意；
选项B：$∠ B=∠ C$是等腰$△ ABC$本身就满足的性质，添加该条件无法推出$AD$与$BC$的垂直关系，符合题意；
选项C：若$BD=CD$，即$AD$是等腰$△ ABC$底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可证$AD⊥ BC$，不符合题意；
选项D：若$AD$平分$∠ BAC$，即$AD$是等腰$△ ABC$的顶角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可证$AD⊥ BC$，不符合题意。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，三线合一，垂直判定
【点评】
本题侧重考查等腰三角形相关性质的基础应用，解题核心是准确理解三线合一的内涵，同时注意区分等腰三角形固有性质和额外添加的推导条件，避免混淆。
【难度系数】
0.85
首先明确已知条件：$△ ABC$中$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，需要判断哪个选项无法推出$AD⊥ BC$。解题时结合等腰三角形三线合一的性质、垂直的判定方法逐一分析选项：若选项给出的条件可通过三线合一或平角性质推出$∠ ADB=90°$，则能说明$AD⊥ BC$；若条件是等腰三角形本身就具备的固有性质，无法额外推导$AD$与$BC$的位置关系，则符合要求。
【解析】
已知$AB=AC$，因此$△ ABC$为等腰三角形，$∠ B=∠ C$是其固有性质：
选项A：$∠ ADB+∠ ADC=180°$，若$∠ ADB=∠ ADC$，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$，可证$AD⊥ BC$，不符合题意；
选项B：$∠ B=∠ C$是等腰$△ ABC$本身就满足的性质，添加该条件无法推出$AD$与$BC$的垂直关系，符合题意；
选项C：若$BD=CD$，即$AD$是等腰$△ ABC$底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可证$AD⊥ BC$，不符合题意；
选项D：若$AD$平分$∠ BAC$，即$AD$是等腰$△ ABC$的顶角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可证$AD⊥ BC$，不符合题意。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，三线合一，垂直判定
【点评】
本题侧重考查等腰三角形相关性质的基础应用，解题核心是准确理解三线合一的内涵，同时注意区分等腰三角形固有性质和额外添加的推导条件，避免混淆。
【难度系数】
0.85
2. 如图，$AB=AC$，$∠ A=40°$，$AB$ 的垂直平分线 $MN$ 交 $AC$ 于点 $D$，则 $∠ DBC=$（
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
B
）A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①已知AB=AC，△ABC为等腰三角形，结合∠A的度数可利用等腰三角形两底角相等的性质求出底角∠ABC的度数；②已知MN是AB的垂直平分线，D在MN上，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠A；③最后所求的∠DBC为∠ABC与∠ABD的差，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠A=40°
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$
∵MN是AB的垂直平分线，点D在MN上
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴∠ABD=∠A=40°
∴$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=70°-40°=30°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练运用等腰三角形和线段垂直平分线的性质找到角的等量关系，再结合三角形内角和计算求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①已知AB=AC，△ABC为等腰三角形，结合∠A的度数可利用等腰三角形两底角相等的性质求出底角∠ABC的度数；②已知MN是AB的垂直平分线，D在MN上，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠A；③最后所求的∠DBC为∠ABC与∠ABD的差，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠A=40°
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$
∵MN是AB的垂直平分线，点D在MN上
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴∠ABD=∠A=40°
∴$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=70°-40°=30°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练运用等腰三角形和线段垂直平分线的性质找到角的等量关系，再结合三角形内角和计算求解。
【难度系数】
0.7
3.(1)已知等腰三角形的一个内角等于$40°$,则它顶角的度数是
40°或100°
;答案
3.(1)40°或100°
解析
【分析】
解答本题首先要明确等腰三角形的内角分为顶角和底角，题干未说明40°的内角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①已知角为顶角；②已知角为底角。再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分别计算顶角度数，最后验证两种情况均符合三角形内角和要求即可。
【解析】
等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为180°，分两种情况计算：
1. 若40°的内角为顶角：此时顶角的度数就是40°，符合三角形内角和定理；
2. 若40°的内角为底角：则顶角的度数为$180° - 40° × 2 = 100°$，也符合三角形内角和定理。
两种情况均成立，因此顶角度数为40°或100°。
【答案】
40°或100°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，易错点是忽略已知内角的两种可能性，造成漏解，解题时要注意分类讨论，得出结果后可验证是否符合三角形的基本性质，避免出错。
【难度系数】
0.7
解答本题首先要明确等腰三角形的内角分为顶角和底角，题干未说明40°的内角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①已知角为顶角；②已知角为底角。再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分别计算顶角度数，最后验证两种情况均符合三角形内角和要求即可。
【解析】
等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为180°，分两种情况计算：
1. 若40°的内角为顶角：此时顶角的度数就是40°，符合三角形内角和定理；
2. 若40°的内角为底角：则顶角的度数为$180° - 40° × 2 = 100°$，也符合三角形内角和定理。
两种情况均成立，因此顶角度数为40°或100°。
【答案】
40°或100°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，易错点是忽略已知内角的两种可能性，造成漏解，解题时要注意分类讨论，得出结果后可验证是否符合三角形的基本性质，避免出错。
【难度系数】
0.7
(2)(2025·建邺区二模)若等腰三角形的一个外角等于$80°$,则它的底角为
40
°.答案
(2)40
解析
【分析】
解题时首先根据外角与相邻内角互补的性质，求出和外角对应的内角度数为100°。接下来结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分情况讨论：因为三角形内最多只能有1个钝角，所以100°的钝角只能是等腰三角形的顶角，不可能是底角（若为底角，两个底角和为200°，超出内角和限制），最后用内角和减去顶角再除以2即可得到底角的度数。
【解析】
解：
∵等腰三角形的一个外角为$80°$，
∴与该外角相邻的内角度数为$180°-80°=100°$。
分两种情况讨论：
① 若$100°$是等腰三角形的顶角，
根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为$180°$，
则底角度数为$\frac{180°-100°}{2}=40°$；
② 若$100°$是等腰三角形的底角，
则两个底角的和为$100°×2=200°＞180°$，不符合三角形内角和定理，该情况舍去。
综上，该等腰三角形的底角为$40°$。
【答案】
40
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、邻补角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题核心是要结合三角形内角和的限制对已知角的位置进行分类讨论，注意排除不符合实际的情况，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据外角与相邻内角互补的性质，求出和外角对应的内角度数为100°。接下来结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分情况讨论：因为三角形内最多只能有1个钝角，所以100°的钝角只能是等腰三角形的顶角，不可能是底角（若为底角，两个底角和为200°，超出内角和限制），最后用内角和减去顶角再除以2即可得到底角的度数。
【解析】
解：
∵等腰三角形的一个外角为$80°$，
∴与该外角相邻的内角度数为$180°-80°=100°$。
分两种情况讨论：
① 若$100°$是等腰三角形的顶角，
根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为$180°$，
则底角度数为$\frac{180°-100°}{2}=40°$；
② 若$100°$是等腰三角形的底角，
则两个底角的和为$100°×2=200°＞180°$，不符合三角形内角和定理，该情况舍去。
综上，该等腰三角形的底角为$40°$。
【答案】
40
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、邻补角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题核心是要结合三角形内角和的限制对已知角的位置进行分类讨论，注意排除不符合实际的情况，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
4.(2025·武进区一模)如图，$AB// CD$，$∠ C=40°$，$OC=OE$，则$∠ A=$ ______°.
答案
4.80
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰边条件入手，先利用等腰三角形两底角相等的性质求出∠E的度数，再结合三角形外角的性质求出∠DOE的度数，最后根据平行线同位角相等的性质，即可推导出∠A的度数。
【解析】
1. 因为OC=OE，所以△OCE是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得$∠ E=∠ C=40°$。
2. $∠ DOE$是$△ OCE$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ DOE=∠ C+∠ E=40°+40°=80°$。
3. 已知$AB// CD$，AE为截线，$∠ A$与$∠ DOE$是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ A=∠ DOE=80°$。
【答案】
80
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，综合了多个基础几何性质，解题的关键是梳理清楚各角之间的等量关系，结合已知条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等腰边条件入手，先利用等腰三角形两底角相等的性质求出∠E的度数，再结合三角形外角的性质求出∠DOE的度数，最后根据平行线同位角相等的性质，即可推导出∠A的度数。
【解析】
1. 因为OC=OE，所以△OCE是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得$∠ E=∠ C=40°$。
2. $∠ DOE$是$△ OCE$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ DOE=∠ C+∠ E=40°+40°=80°$。
3. 已知$AB// CD$，AE为截线，$∠ A$与$∠ DOE$是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ A=∠ DOE=80°$。
【答案】
80
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，综合了多个基础几何性质，解题的关键是梳理清楚各角之间的等量关系，结合已知条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$在$AC$上,且$BD=BC=AD$.求$∠ C$的度数.
答案
5.解:设$∠A=x.∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=x.$
$∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x.$
$∵AB=AC,∴∠ABC=∠BCD=2x,∴∠DBC=x,$
$∴x+2x+2x=180°,∴x=36°,∴∠C=72°.$
$∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x.$
$∵AB=AC,∴∠ABC=∠BCD=2x,∴∠DBC=x,$
$∴x+2x+2x=180°,∴x=36°,∴∠C=72°.$
解析
【分析】
题目中存在多个等腰三角形，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质推导各角的数量关系，再结合三角形外角性质和内角和定理求解。解题时先设最小的∠A为未知数，将其余相关角都用该未知数表示，最后根据△ABC的内角和为180°列方程计算即可。
【解析】
解：设$∠ A=x$。
$\because AD=BD$，根据等腰三角形等边对等角的性质，$\therefore ∠ ABD=∠ A=x$。
$\because ∠ BDC$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，$\therefore ∠ BDC=∠ ABD+∠ A=2x$。
又$\because BD=BC$，$\therefore ∠ BCD=∠ BDC=2x$，即$∠ C=2x$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C=2x$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，代入得：
$x+2x+2x=180°$
解得$x=36°$，
$\therefore ∠ C=2x=2×36°=72°$。
【答案】
$∠ C=72°$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型习题，解题关键是灵活运用等边对等角的性质，通过设未知数建立角度之间的数量关系，结合内角和定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
题目中存在多个等腰三角形，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质推导各角的数量关系，再结合三角形外角性质和内角和定理求解。解题时先设最小的∠A为未知数，将其余相关角都用该未知数表示，最后根据△ABC的内角和为180°列方程计算即可。
【解析】
解：设$∠ A=x$。
$\because AD=BD$，根据等腰三角形等边对等角的性质，$\therefore ∠ ABD=∠ A=x$。
$\because ∠ BDC$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，$\therefore ∠ BDC=∠ ABD+∠ A=2x$。
又$\because BD=BC$，$\therefore ∠ BCD=∠ BDC=2x$，即$∠ C=2x$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C=2x$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，代入得：
$x+2x+2x=180°$
解得$x=36°$，
$\therefore ∠ C=2x=2×36°=72°$。
【答案】
$∠ C=72°$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型习题，解题关键是灵活运用等边对等角的性质，通过设未知数建立角度之间的数量关系，结合内角和定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$AB=AC$，$AD=AE$. 求证：$BD=CE$（用两种方法）.
答案
6.证明:方法一:如答图,过点A作$AF⊥BC$于点F.
$∵AB=AC$(已知),
$∴BF=CF$(三线合一).
又$∵AD=AE$(已知),
$∴DF=EF$(三线合一),
$∴BF-DF=CF-EF$,即$BD=CE$(等式的性质).
方法二:$∵AD=AE,∴∠ADC=∠AED.$
$∵AB=AC,∴∠ABD=∠ACE.$
$∵∠ADC=∠ABD+∠BAD,∠AEB=∠ACE+∠CAE,$
$∴∠BAD=∠CAE.$
在$△ABD$和$△ACE$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.$
解析
【分析】
本题要证明两条线段相等，结合已知条件给出的两组相等的边（AB=AC、AD=AE），可从两个方向推导：
思路1：利用等腰三角形“三线合一”的性质。△ABC和△ADE均为等腰三角形，且底边共线在BC上，过A作BC的垂线，根据三线合一可得该垂线同时平分BC和DE，再通过线段的差运算即可推出BD=CE。
思路2：利用全等三角形的性质证明。先根据等腰三角形“等边对等角”得到对应底角相等，结合三角形外角性质推导得到△ABD和△ACE的夹角∠BAD=∠CAE，结合已知的两组等边，用SAS判定两个三角形全等，根据全等对应边相等即可得到BD=CE。
【解析】
方法一：
过点A作$AF⊥BC$于点F。
∵$AB=AC$（已知），
∴$BF=CF$（等腰三角形三线合一，底边上的高平分底边）。
又
∵$AD=AE$（已知），
∴$DF=EF$（等腰三角形三线合一，底边上的高平分底边），
根据等式的性质可得：$BF-DF=CF-EF$，即$BD=CE$。
方法二：
∵$AD=AE$，
∴$∠ADC=∠AED$（等腰三角形等边对等角）。
∵$AB=AC$，
∴$∠ABD=∠ACE$（等腰三角形等边对等角）。
根据三角形外角的性质：$∠ADC=∠ABD+∠BAD$，$∠AEB=∠ACE+∠CAE$，
∴$∠BAD=∠CAE$。
在$△ABD$和$△ACE$中：
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴$△ABD≌△ACE(SAS)$，
∴$BD=CE$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
证明:方法一:如答图,过点A作$AF⊥BC$于点F.
$∵AB=AC$(已知),
$∴BF=CF$(三线合一).
又$∵AD=AE$(已知),
$∴DF=EF$(三线合一),
$∴BF-DF=CF-EF$,即$BD=CE$(等式的性质).
方法二:$∵AD=AE,∴∠ADC=∠AED.$
$∵AB=AC,∴∠ABD=∠ACE.$
$∵∠ADC=∠ABD+∠BAD,∠AEB=∠ACE+∠CAE,$
$∴∠BAD=∠CAE.$
在$△ABD$和$△ACE$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.$
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础证明题，两种解题思路分别从等腰自身性质和全等证明两个维度切入，能够帮助学生灵活掌握等腰三角形三线合一、等边对等角的性质，以及全等三角形的证明逻辑，是几何证明的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
本题要证明两条线段相等，结合已知条件给出的两组相等的边（AB=AC、AD=AE），可从两个方向推导：
思路1：利用等腰三角形“三线合一”的性质。△ABC和△ADE均为等腰三角形，且底边共线在BC上，过A作BC的垂线，根据三线合一可得该垂线同时平分BC和DE，再通过线段的差运算即可推出BD=CE。
思路2：利用全等三角形的性质证明。先根据等腰三角形“等边对等角”得到对应底角相等，结合三角形外角性质推导得到△ABD和△ACE的夹角∠BAD=∠CAE，结合已知的两组等边，用SAS判定两个三角形全等，根据全等对应边相等即可得到BD=CE。
【解析】
方法一：
过点A作$AF⊥BC$于点F。
∵$AB=AC$（已知），
∴$BF=CF$（等腰三角形三线合一，底边上的高平分底边）。
又
∵$AD=AE$（已知），
∴$DF=EF$（等腰三角形三线合一，底边上的高平分底边），
根据等式的性质可得：$BF-DF=CF-EF$，即$BD=CE$。
方法二：
∵$AD=AE$，
∴$∠ADC=∠AED$（等腰三角形等边对等角）。
∵$AB=AC$，
∴$∠ABD=∠ACE$（等腰三角形等边对等角）。
根据三角形外角的性质：$∠ADC=∠ABD+∠BAD$，$∠AEB=∠ACE+∠CAE$，
∴$∠BAD=∠CAE$。
在$△ABD$和$△ACE$中：
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴$△ABD≌△ACE(SAS)$，
∴$BD=CE$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
证明:方法一:如答图,过点A作$AF⊥BC$于点F.
$∵AB=AC$(已知),
$∴BF=CF$(三线合一).
又$∵AD=AE$(已知),
$∴DF=EF$(三线合一),
$∴BF-DF=CF-EF$,即$BD=CE$(等式的性质).
方法二:$∵AD=AE,∴∠ADC=∠AED.$
$∵AB=AC,∴∠ABD=∠ACE.$
$∵∠ADC=∠ABD+∠BAD,∠AEB=∠ACE+∠CAE,$
$∴∠BAD=∠CAE.$
在$△ABD$和$△ACE$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.$
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础证明题，两种解题思路分别从等腰自身性质和全等证明两个维度切入，能够帮助学生灵活掌握等腰三角形三线合一、等边对等角的性质，以及全等三角形的证明逻辑，是几何证明的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
