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三、解答题(共52分)
9.(12分)(2025·姑苏区二模)如图,在四边形ABCD中,AB=AC,∠D=90°,BE⊥AC于点F,交CD于点E,连接EA,EA平分∠DEF.
(1)求证:AF=AD;
(2)若BF=7,DE=3,求CE的长.
9.(12分)(2025·姑苏区二模)如图,在四边形ABCD中,AB=AC,∠D=90°,BE⊥AC于点F,交CD于点E,连接EA,EA平分∠DEF.
(1)求证:AF=AD;
(2)若BF=7,DE=3,求CE的长.
答案
9.(1)证明:
∵∠D=90°,
∴AD⊥DE.
∵EA平分∠DEF,AF⊥EF,
∴AF=AD.
(2)解:在Rt△ABF和Rt△ACD中,$\begin{cases} AB=AC,\\ AF=AD, \end{cases}$
∴Rt△ABF≌Rt△ACD(HL),
∴BF=CD=7.
∵DE=3,
∴CE=CD-DE=7-3=4.
∵∠D=90°,
∴AD⊥DE.
∵EA平分∠DEF,AF⊥EF,
∴AF=AD.
(2)解:在Rt△ABF和Rt△ACD中,$\begin{cases} AB=AC,\\ AF=AD, \end{cases}$
∴Rt△ABF≌Rt△ACD(HL),
∴BF=CD=7.
∵DE=3,
∴CE=CD-DE=7-3=4.
解析
【分析】
(1) 要证AF=AD，首先观察已知条件：EA平分∠DEF，∠D=90°即AD⊥DE，BE⊥AC即AF⊥EF，正好符合角平分线的性质定理，可直接推出两条垂线段相等。
(2) 求CE的长，已知DE的长度，只需求出CD的长度即可通过线段差计算CE。结合已知AB=AC和(1)中得到的AF=AD，可通过HL判定两个直角三角形全等，得到BF=CD，代入数值即可算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ D=90°$，
∴ $AD⊥ DE$，
∵ $EA$平分$∠ DEF$，$AF⊥ EF$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$AF=AD$。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ABF$和$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$\begin{cases} AB=AC\\ AF=AD \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ ACD$（HL），
∴ $BF=CD$，
∵ $BF=7$，
∴ $CD=7$，
又
∵ $DE=3$，
∴ $CE=CD-DE=7-3=4$。
【答案】
(1) 证明成立，$AF=AD$；
(2) $CE$的长为$\boxed{4}$。
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是熟练掌握角平分线性质和直角三角形全等的判定方法，通过性质和全等实现线段关系的转化，思路清晰连贯，对几何基础概念的运用要求较高。
【难度系数】
0.7
(1) 要证AF=AD，首先观察已知条件：EA平分∠DEF，∠D=90°即AD⊥DE，BE⊥AC即AF⊥EF，正好符合角平分线的性质定理，可直接推出两条垂线段相等。
(2) 求CE的长，已知DE的长度，只需求出CD的长度即可通过线段差计算CE。结合已知AB=AC和(1)中得到的AF=AD，可通过HL判定两个直角三角形全等，得到BF=CD，代入数值即可算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ D=90°$，
∴ $AD⊥ DE$，
∵ $EA$平分$∠ DEF$，$AF⊥ EF$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$AF=AD$。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ABF$和$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$\begin{cases} AB=AC\\ AF=AD \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ ACD$（HL），
∴ $BF=CD$，
∵ $BF=7$，
∴ $CD=7$，
又
∵ $DE=3$，
∴ $CE=CD-DE=7-3=4$。
【答案】
(1) 证明成立，$AF=AD$；
(2) $CE$的长为$\boxed{4}$。
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是熟练掌握角平分线性质和直角三角形全等的判定方法，通过性质和全等实现线段关系的转化，思路清晰连贯，对几何基础概念的运用要求较高。
【难度系数】
0.7
10.(12分)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$平分$∠ CAB$,$DE⊥ AB$于点$E$,点$F$在$AC$上,$BE=FC$.求证:$BD=DF$.
答案
10.证明:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
∴DC=DE.
在△DCF和△DEB中,$\begin{cases} DC=DE,\\ ∠C=∠BED,\\ FC=BE, \end{cases}$
∴△DCF≌△DEB(SAS),
∴BD=DF.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
∴DC=DE.
在△DCF和△DEB中,$\begin{cases} DC=DE,\\ ∠C=∠BED,\\ FC=BE, \end{cases}$
∴△DCF≌△DEB(SAS),
∴BD=DF.
解析
【分析】
要证明BD=DF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先根据已知的角平分线和垂直条件，利用角平分线的性质可得DC=DE；观察可知BD、DF分别在△DEB和△DCF中，已知BE=FC，且∠C和∠BED均为直角，恰好满足全等三角形的SAS判定条件，证明两个三角形全等后即可得到对应边相等。
【解析】
证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE。
在△DCF和△DEB中，
$\begin{cases} DC=DE,\\ ∠C=∠BED,\\ FC=BE, \end{cases}$
∴△DCF≌△DEB（SAS），
∴BD=DF。
【答案】
BD=DF
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是利用角平分线的性质得到相等的线段，结合已知条件证明三角形全等，掌握相关性质和判定定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要证明BD=DF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先根据已知的角平分线和垂直条件，利用角平分线的性质可得DC=DE；观察可知BD、DF分别在△DEB和△DCF中，已知BE=FC，且∠C和∠BED均为直角，恰好满足全等三角形的SAS判定条件，证明两个三角形全等后即可得到对应边相等。
【解析】
证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE。
在△DCF和△DEB中，
$\begin{cases} DC=DE,\\ ∠C=∠BED,\\ FC=BE, \end{cases}$
∴△DCF≌△DEB（SAS），
∴BD=DF。
【答案】
BD=DF
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是利用角平分线的性质得到相等的线段，结合已知条件证明三角形全等，掌握相关性质和判定定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
11.(14分)如图，CD是∠ACE的平分线，DP垂直平分AB于点P，DF⊥AC于点F，DE⊥BC交BC的延长线于点E.
(1)求证:AF=BE;
(2)若BC=6 cm，AC=10 cm，求CE的长.
(1)求证:AF=BE;
(2)若BC=6 cm，AC=10 cm，求CE的长.
答案
11.(1)证明:如答图,连接AD,BD.
∵PD垂直平分AB,
∴AD=BD.
∵DE⊥BC,DF⊥AC,CD平分∠ACE,
∴∠AFD=∠BED=90°,DE=DF.
在Rt△ADF和Rt△BDE中,$\begin{cases} AD=BD,\\ DF=DE, \end{cases}$
∴Rt△ADF≌Rt△BDE(HL),
∴AF=BE.
(2)解:在Rt△CDF和Rt△CDE中,$\begin{cases} CD=CD,\\ DF=DE, \end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△CDE(HL),
∴CF=CE.
设CF=CE=x cm,
则BE=BC+CE=(6+x)cm,AF=AC-CF=(10-x)cm.
∵AF=BE,
∴10-x=6+x,
∴x=2,
∴CE=2 cm.
解析
【分析】
(1) 要证AF=BE，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知AF在Rt△ADF中，BE在Rt△BDE中，因此先构造辅助线连接AD、BD。首先根据垂直平分线的性质，可得AD=BD；再根据角平分线的性质，可得DF=DE，此时两个直角三角形满足斜边和直角边对应相等，可通过HL证明全等，从而得到AF=BE。
(2) 求CE的长度时，先证明Rt△CDF和Rt△CDE全等，可得CE=CF，设CE为x，将AF、BE分别用含x的代数式表示，再利用(1)中AF=BE的等量关系列方程，即可求解CE的长度。
【解析】
(1) 证明：如答图，连接AD、BD。
∵PD垂直平分AB，
∴AD=BD。
∵DE⊥BC，DF⊥AC，CD平分∠ACE，
∴∠AFD=∠BED=90°，DE=DF。
在Rt△ADF和Rt△BDE中，$\begin{cases} AD=BD,\\ DF=DE, \end{cases}$
∴Rt△ADF≌Rt△BDE(HL)，
∴AF=BE。
(2) 解：在Rt△CDF和Rt△CDE中，$\begin{cases} CD=CD,\\ DF=DE, \end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△CDE(HL)，
∴CF=CE。
设CF=CE=x cm，
则BE=BC+CE=(6+x)cm，AF=AC-CF=(10-x)cm。
∵AF=BE，
∴10-x=6+x，
解得x=2，
即CE=2 cm。
【答案】
(1) 证明成立，AF=BE得证；
(2) CE的长为2 cm。
【知识点】
垂直平分线性质、角平分线性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，考查了常用辅助线的构造方法，将特殊线的性质与全等三角形的判定结合，同时渗透了方程思想在几何计算中的应用，是巩固几何基础的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证AF=BE，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知AF在Rt△ADF中，BE在Rt△BDE中，因此先构造辅助线连接AD、BD。首先根据垂直平分线的性质，可得AD=BD；再根据角平分线的性质，可得DF=DE，此时两个直角三角形满足斜边和直角边对应相等，可通过HL证明全等，从而得到AF=BE。
(2) 求CE的长度时，先证明Rt△CDF和Rt△CDE全等，可得CE=CF，设CE为x，将AF、BE分别用含x的代数式表示，再利用(1)中AF=BE的等量关系列方程，即可求解CE的长度。
【解析】
(1) 证明：如答图，连接AD、BD。
∵PD垂直平分AB，
∴AD=BD。
∵DE⊥BC，DF⊥AC，CD平分∠ACE，
∴∠AFD=∠BED=90°，DE=DF。
在Rt△ADF和Rt△BDE中，$\begin{cases} AD=BD,\\ DF=DE, \end{cases}$
∴Rt△ADF≌Rt△BDE(HL)，
∴AF=BE。
(2) 解：在Rt△CDF和Rt△CDE中，$\begin{cases} CD=CD,\\ DF=DE, \end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△CDE(HL)，
∴CF=CE。
设CF=CE=x cm，
则BE=BC+CE=(6+x)cm，AF=AC-CF=(10-x)cm。
∵AF=BE，
∴10-x=6+x，
解得x=2，
即CE=2 cm。
【答案】
(1) 证明成立，AF=BE得证；
(2) CE的长为2 cm。
【知识点】
垂直平分线性质、角平分线性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，考查了常用辅助线的构造方法，将特殊线的性质与全等三角形的判定结合，同时渗透了方程思想在几何计算中的应用，是巩固几何基础的典型习题。
【难度系数】
0.7
12.(14分)如图,在四边形ABDC中,∠D=∠B=90°,O为BD的中点,且AO平分∠BAC.
求证:(1)CO平分∠ACD;
(2)OA⊥OC;
(3)AB+CD=AC.
求证:(1)CO平分∠ACD;
(2)OA⊥OC;
(3)AB+CD=AC.
答案
12.证明:(1)如答图,过点O作OE⊥AC于点E.
∵∠ABD=90°,AO平分∠BAC,
∴OB=OE.
∵O为BD的中点,
∴OB=OD,
∴OE=OD.
又
∵OE⊥AC,∠D=90°,即OD⊥CD.
∴CO平分∠ACD.
(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中,
$\begin{cases} AO=AO,\\ OB=OE, \end{cases}$
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL),
∴∠AOB=∠AOE=$\frac{1}{2}$∠BOE,
同理,∠COD=∠COE=$\frac{1}{2}$∠DOE,
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOE+$\frac{1}{2}$∠DOE=$\frac{1}{2}$×180°=90°,
∴OA⊥OC.
(3)
∵Rt△ABO≌Rt△AEO,
∴AB=AE,
同理可得CD=CE.
∵AC=AE+CE,
∴AB+CD=AC.
解析
【分析】
本题可通过构造辅助线结合角平分线、全等三角形的相关知识证明：
1. 证CO平分∠ACD：利用角平分线的判定，需证明点O到AC和CD的距离相等。过O作OE⊥AC于E，先由AO平分∠BAC、∠B=90°得OB=OE，再结合O是BD中点得OB=OD，推出OE=OD即可得证。
2. 证OA⊥OC：即证∠AOC=90°，通过证明Rt△ABO≌Rt△AEO、Rt△CDO≌Rt△CEO得到对应角相等，可推出∠AOC为平角∠BOD的一半，即90°。
3. 证AB+CD=AC：利用上述全等三角形的性质，得AB=AE、CD=CE，结合AC=AE+CE即可推导出线段和的关系。
【解析】
(1) 如答图，过点O作OE⊥AC于点E。
∵∠ABD=90°，AO平分∠BAC，
∴OB=OE。
∵O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD。
又
∵OE⊥AC，∠D=90°，即OD⊥CD，
∴CO平分∠ACD。
(2) 在Rt△ABO和Rt△AEO中，
$\begin{cases} AO=AO,\\ OB=OE, \end{cases}$
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)，
∴∠AOB=∠AOE=$\frac{1}{2}$∠BOE，
同理，∠COD=∠COE=$\frac{1}{2}$∠DOE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOE+$\frac{1}{2}$∠DOE=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴OA⊥OC。
(3)
∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE。
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析；
(3) 证明见上述解析。
【知识点】
角平分线的性质与判定；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，核心解题思路是作垂线构造全等三角形，将角平分线的相关定理与全等三角形的判定、性质结合应用，需要掌握线段和差问题的常见证明方法。
【难度系数】
0.6
本题可通过构造辅助线结合角平分线、全等三角形的相关知识证明：
1. 证CO平分∠ACD：利用角平分线的判定，需证明点O到AC和CD的距离相等。过O作OE⊥AC于E，先由AO平分∠BAC、∠B=90°得OB=OE，再结合O是BD中点得OB=OD，推出OE=OD即可得证。
2. 证OA⊥OC：即证∠AOC=90°，通过证明Rt△ABO≌Rt△AEO、Rt△CDO≌Rt△CEO得到对应角相等，可推出∠AOC为平角∠BOD的一半，即90°。
3. 证AB+CD=AC：利用上述全等三角形的性质，得AB=AE、CD=CE，结合AC=AE+CE即可推导出线段和的关系。
【解析】
(1) 如答图，过点O作OE⊥AC于点E。
∵∠ABD=90°，AO平分∠BAC，
∴OB=OE。
∵O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD。
又
∵OE⊥AC，∠D=90°，即OD⊥CD，
∴CO平分∠ACD。
(2) 在Rt△ABO和Rt△AEO中，
$\begin{cases} AO=AO,\\ OB=OE, \end{cases}$
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)，
∴∠AOB=∠AOE=$\frac{1}{2}$∠BOE，
同理，∠COD=∠COE=$\frac{1}{2}$∠DOE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOE+$\frac{1}{2}$∠DOE=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴OA⊥OC。
(3)
∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE。
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析；
(3) 证明见上述解析。
【知识点】
角平分线的性质与判定；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，核心解题思路是作垂线构造全等三角形，将角平分线的相关定理与全等三角形的判定、性质结合应用，需要掌握线段和差问题的常见证明方法。
【难度系数】
0.6
