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1.已知$△ ABC$中两个内角的度数,则能判定$△ ABC$为等腰三角形的是 （
A.$∠ A=50°,∠ B=60°$
B.$∠ A=30°,∠ B=75°$
C.$∠ A=20°,∠ B=100°$
D.$∠ A=40°,∠ B=60°$
B
）A.$∠ A=50°,∠ B=60°$
B.$∠ A=30°,∠ B=75°$
C.$∠ A=20°,∠ B=100°$
D.$∠ A=40°,∠ B=60°$
答案
1.B
解析
【分析】
要判定△ABC是等腰三角形，只需验证三角形中有两个内角相等即可。已知三角形的两个内角度数，我们可以先利用三角形内角和为180°计算出第三个内角的度数，再检查三个内角中是否存在相等的两个角，即可完成判断。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐一计算各选项的第三个内角度数，再判断是否为等腰三角形：
A选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°，三个内角分别为50°、60°、70°，没有相等的内角，不是等腰三角形；
B选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-75°=75°，可得∠B=∠C=75°，有两个相等的内角，是等腰三角形；
C选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-20°-100°=60°，三个内角分别为20°、100°、60°，没有相等的内角，不是等腰三角形；
D选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-60°=80°，三个内角分别为40°、60°、80°，没有相等的内角，不是等腰三角形。
综上，符合条件的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理、等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握三角形内角和性质与等腰三角形的判定规则，计算过程细心即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要判定△ABC是等腰三角形，只需验证三角形中有两个内角相等即可。已知三角形的两个内角度数，我们可以先利用三角形内角和为180°计算出第三个内角的度数，再检查三个内角中是否存在相等的两个角，即可完成判断。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐一计算各选项的第三个内角度数，再判断是否为等腰三角形：
A选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°，三个内角分别为50°、60°、70°，没有相等的内角，不是等腰三角形；
B选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-75°=75°，可得∠B=∠C=75°，有两个相等的内角，是等腰三角形；
C选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-20°-100°=60°，三个内角分别为20°、100°、60°，没有相等的内角，不是等腰三角形；
D选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-60°=80°，三个内角分别为40°、60°、80°，没有相等的内角，不是等腰三角形。
综上，符合条件的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理、等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握三角形内角和性质与等腰三角形的判定规则，计算过程细心即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$,$CE$平分$∠ ACB$交$BD$于点$E$,图中等腰三角形的个数是 （
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用已知等腰△ABC的性质，计算出两个底角的度数；再结合角平分线的定义，得出所有被平分后的小角的度数；最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，逐一枚举满足两个内角相等的三角形，注意不要漏数、多数，最终统计等腰三角形的总个数。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠A=36°$，
∴△ABC是等腰三角形，$∠ ABC=∠ ACB=(180°-36°)÷2=72°$。
∵BD平分$∠ABC$，CE平分$∠ACB$，
∴$∠ ABD=∠ DBC=36°$，$∠ ACE=∠ BCE=36°$。
① 对△ABD：$∠ A=∠ ABD=36°$，
∴$AD=BD$，△ABD是等腰三角形；
② 对△BDC：$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ ACB=180°-36°-72°=72°$，
∴$∠ BDC=∠ ACB=72°$，
∴$BD=BC$，△BDC是等腰三角形；
③ 对△BCE：$∠ EBC=∠ BCE=36°$，
∴$BE=CE$，△BCE是等腰三角形；
④ 对△CDE：$∠ DEC=180°-∠ BDC-∠ ACE=180°-72°-36°=72°$，
∴$∠ DEC=∠ EDC=72°$，
∴$CE=CD$，△CDE是等腰三角形；
⑤ △ABC本身是等腰三角形。
综上，共有5个等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题重点考查等腰三角形的性质与判定的综合应用，需要熟练运用等边对等角、等角对等边的规律，通过计算各内角度数来逐个判定等腰三角形，解题时要注意有序枚举，避免遗漏。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用已知等腰△ABC的性质，计算出两个底角的度数；再结合角平分线的定义，得出所有被平分后的小角的度数；最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，逐一枚举满足两个内角相等的三角形，注意不要漏数、多数，最终统计等腰三角形的总个数。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠A=36°$，
∴△ABC是等腰三角形，$∠ ABC=∠ ACB=(180°-36°)÷2=72°$。
∵BD平分$∠ABC$，CE平分$∠ACB$，
∴$∠ ABD=∠ DBC=36°$，$∠ ACE=∠ BCE=36°$。
① 对△ABD：$∠ A=∠ ABD=36°$，
∴$AD=BD$，△ABD是等腰三角形；
② 对△BDC：$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ ACB=180°-36°-72°=72°$，
∴$∠ BDC=∠ ACB=72°$，
∴$BD=BC$，△BDC是等腰三角形；
③ 对△BCE：$∠ EBC=∠ BCE=36°$，
∴$BE=CE$，△BCE是等腰三角形；
④ 对△CDE：$∠ DEC=180°-∠ BDC-∠ ACE=180°-72°-36°=72°$，
∴$∠ DEC=∠ EDC=72°$，
∴$CE=CD$，△CDE是等腰三角形；
⑤ △ABC本身是等腰三角形。
综上，共有5个等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题重点考查等腰三角形的性质与判定的综合应用，需要熟练运用等边对等角、等角对等边的规律，通过计算各内角度数来逐个判定等腰三角形，解题时要注意有序枚举，避免遗漏。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$，$DE// AB$，交$BC$于点$E$，$BE=2$，则$DE$的长是________.
答案
3.2
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据BD是∠ABC的角平分线，得到一组相等的角；再结合DE平行AB的条件，利用平行线的性质得到另一组相等的角，通过角的等量代换可推出△BDE中两个底角相等，再根据等腰三角形的判定得到DE与BE的等量关系，代入BE的长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠DBC，
∵DE//AB，
∴∠ABD = ∠BDE（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBC = ∠BDE，
∴DE = BE（等角对等边），
又
∵BE=2，
∴DE=2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是通过角的等量代换推导得到等腰三角形，从而将待求线段长度转化为已知线段长度，考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先根据BD是∠ABC的角平分线，得到一组相等的角；再结合DE平行AB的条件，利用平行线的性质得到另一组相等的角，通过角的等量代换可推出△BDE中两个底角相等，再根据等腰三角形的判定得到DE与BE的等量关系，代入BE的长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠DBC，
∵DE//AB，
∴∠ABD = ∠BDE（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBC = ∠BDE，
∴DE = BE（等角对等边），
又
∵BE=2，
∴DE=2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是通过角的等量代换推导得到等腰三角形，从而将待求线段长度转化为已知线段长度，考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$∠ BAC=100°$，$∠ B=40°$，$∠ D=20°$，$AB=3$，则$CD=$______.
答案
4.3
解析
【分析】
解题时先从已知角度的△ABC入手，利用三角形内角和定理计算∠ACB的度数，通过等角对等边得到AC与AB的长度关系；再利用三角形外角的性质计算∠CAD的度数，再次通过等角对等边得到CD与AC的长度关系，最终求出CD的长度。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 100° - 40° = 40°$
可得$∠ ACB = ∠ B = 40°$，根据等角对等边，得$AC = AB = 3$。
2.
∵$∠ ACB$是△ACD的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ ACB = ∠ D + ∠ CAD$
代入$∠ ACB=40°$，$∠ D=20°$，得：
$∠ CAD = 40° - 20° = 20°$
∴$∠ CAD = ∠ D = 20°$，根据等角对等边，得$CD = AC = 3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题型，解题核心是通过角度推导得到相等的角，再利用等角对等边的性质转化边的关系，解题时要注意观察图形中角的位置关系，正确运用外角性质。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知角度的△ABC入手，利用三角形内角和定理计算∠ACB的度数，通过等角对等边得到AC与AB的长度关系；再利用三角形外角的性质计算∠CAD的度数，再次通过等角对等边得到CD与AC的长度关系，最终求出CD的长度。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 100° - 40° = 40°$
可得$∠ ACB = ∠ B = 40°$，根据等角对等边，得$AC = AB = 3$。
2.
∵$∠ ACB$是△ACD的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ ACB = ∠ D + ∠ CAD$
代入$∠ ACB=40°$，$∠ D=20°$，得：
$∠ CAD = 40° - 20° = 20°$
∴$∠ CAD = ∠ D = 20°$，根据等角对等边，得$CD = AC = 3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题型，解题核心是通过角度推导得到相等的角，再利用等角对等边的性质转化边的关系，解题时要注意观察图形中角的位置关系，正确运用外角性质。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$BC=5\ \mathrm{cm}$,$BP$,$CP$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线,且$PD// AB$,$PE// AC$,则$△ PDE$的周长是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
5.5
解析
【分析】
遇到角平分线和平行线同时出现的情况，首先可通过角平分线得到等角，再结合平行线的内错角相等推导得到等腰三角形，进而得到相等的线段。我们可以先证明△PBD和△PEC都是等腰三角形，将△PDE的三边通过等量代换转化为BC边上的线段和，即可求出周长。
【解析】
∵ BP是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABP = ∠PBD，
又
∵ PD//AB，
∴ ∠ABP = ∠BPD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠PBD = ∠BPD，
∴ BD = PD（等角对等边）。
同理，
∵ CP是∠ACB的平分线，
∴ ∠ACP = ∠PCE，
又
∵ PE//AC，
∴ ∠ACP = ∠CPE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠PCE = ∠CPE，
∴ PE = CE（等角对等边）。
△PDE的周长 = PD + DE + PE，
将PD=BD、PE=CE代入得：
周长 = BD + DE + CE = BC = 5 cm。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是掌握“角平分线+平行线”可推出等腰三角形的常见模型，通过线段等量转化即可快速求解，无需复杂计算。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线和平行线同时出现的情况，首先可通过角平分线得到等角，再结合平行线的内错角相等推导得到等腰三角形，进而得到相等的线段。我们可以先证明△PBD和△PEC都是等腰三角形，将△PDE的三边通过等量代换转化为BC边上的线段和，即可求出周长。
【解析】
∵ BP是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABP = ∠PBD，
又
∵ PD//AB，
∴ ∠ABP = ∠BPD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠PBD = ∠BPD，
∴ BD = PD（等角对等边）。
同理，
∵ CP是∠ACB的平分线，
∴ ∠ACP = ∠PCE，
又
∵ PE//AC，
∴ ∠ACP = ∠CPE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠PCE = ∠CPE，
∴ PE = CE（等角对等边）。
△PDE的周长 = PD + DE + PE，
将PD=BD、PE=CE代入得：
周长 = BD + DE + CE = BC = 5 cm。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是掌握“角平分线+平行线”可推出等腰三角形的常见模型，通过线段等量转化即可快速求解，无需复杂计算。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$AE$ 是 $△ ABC$ 外角的平分线，且 $AE // BC$. 求证：$△ ABC$ 是等腰三角形.
答案
6. 证明:
∵AE//BC,
∴∠DAE=∠B,∠EAC=∠C.
∵AE是△ABC外角的平分线,
∴∠DAE=∠EAC,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
∵AE//BC,
∴∠DAE=∠B,∠EAC=∠C.
∵AE是△ABC外角的平分线,
∴∠DAE=∠EAC,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的判定思路，核心是证明该三角形有两个内角相等，即目标证∠B=∠C。首先结合已知AE//BC，可利用平行线的性质得到角的相等关系：同位角∠DAE=∠B，内错角∠EAC=∠C；再根据AE是外角平分线，可得∠DAE=∠EAC，通过等量代换即可推出∠B=∠C，最后依据等角对等边就能判定△ABC是等腰三角形。
【解析】
证明：
∵AE//BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C。
∵AE是△ABC外角的平分线，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形。
【答案】
证明过程见上述解析，可证得△ABC是等腰三角形。
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础类几何证明题，重点考查角的等量关系转化能力，解题关键是通过平行线、角平分线的性质建立不同角之间的相等联系，再结合等腰三角形的判定定理完成证明，这类基础角关系推导是后续复杂几何证明的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的判定思路，核心是证明该三角形有两个内角相等，即目标证∠B=∠C。首先结合已知AE//BC，可利用平行线的性质得到角的相等关系：同位角∠DAE=∠B，内错角∠EAC=∠C；再根据AE是外角平分线，可得∠DAE=∠EAC，通过等量代换即可推出∠B=∠C，最后依据等角对等边就能判定△ABC是等腰三角形。
【解析】
证明：
∵AE//BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C。
∵AE是△ABC外角的平分线，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形。
【答案】
证明过程见上述解析，可证得△ABC是等腰三角形。
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础类几何证明题，重点考查角的等量关系转化能力，解题关键是通过平行线、角平分线的性质建立不同角之间的相等联系，再结合等腰三角形的判定定理完成证明，这类基础角关系推导是后续复杂几何证明的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD\bot BC$,点$E$在$CA$的延长线上,$EF// AD$.求证:$AE=AF$.
答案
7. 证明:
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC.
∵EF//AD,
∴∠BAD=∠AFE,∠DAC=∠E,
∴∠E=∠AFE,
∴AE=AF.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC.
∵EF//AD,
∴∠BAD=∠AFE,∠DAC=∠E,
∴∠E=∠AFE,
∴AE=AF.
解析
【分析】
首先从已知条件出发，已知△ABC是等腰三角形（AB=AC）且AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，可先推出AD是∠BAC的角平分线，即∠BAD=∠DAC；再结合EF//AD的条件，利用平行线的内错角相等、同位角相等的性质，实现角的等量代换，推导出∠E=∠AFE；最后根据等角对等边的等腰三角形判定定理，即可证得AE=AF。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ 等腰三角形ABC中，AD平分∠BAC，即∠BAD=∠DAC。
∵ EF//AD，
∴ 由两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠AFE；由两直线平行，同位角相等可得∠DAC=∠E。
通过等量代换得∠E=∠AFE，
∴ △AEF为等腰三角形，即AE=AF。
【答案】
证明:
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC.
∵EF//AD,
∴∠BAD=∠AFE,∠DAC=∠E,
∴∠E=∠AFE,
∴AE=AF.
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，解题关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质得到等角，再通过平行线的性质完成角的等量转化，最终用等角对等边完成证明，这类题型是等腰三角形相关知识点的典型基础考法。
【难度系数】
0.8
首先从已知条件出发，已知△ABC是等腰三角形（AB=AC）且AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，可先推出AD是∠BAC的角平分线，即∠BAD=∠DAC；再结合EF//AD的条件，利用平行线的内错角相等、同位角相等的性质，实现角的等量代换，推导出∠E=∠AFE；最后根据等角对等边的等腰三角形判定定理，即可证得AE=AF。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ 等腰三角形ABC中，AD平分∠BAC，即∠BAD=∠DAC。
∵ EF//AD，
∴ 由两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠AFE；由两直线平行，同位角相等可得∠DAC=∠E。
通过等量代换得∠E=∠AFE，
∴ △AEF为等腰三角形，即AE=AF。
【答案】
证明:
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC.
∵EF//AD,
∴∠BAD=∠AFE,∠DAC=∠E,
∴∠E=∠AFE,
∴AE=AF.
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，解题关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质得到等角，再通过平行线的性质完成角的等量转化，最终用等角对等边完成证明，这类题型是等腰三角形相关知识点的典型基础考法。
【难度系数】
0.8
