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8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=60°,∠ C=45°,AD$是边$BC$上的高,$∠ ABC$的平分线交$AD$于点$F$,交$AC$于点$E$,则图中等腰三角形的个数为 （
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8.C
解析
【分析】
要判断图中等腰三角形的个数，依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，我们可以先结合已知的角度、高和角平分线的条件，计算出图中各个三角形的内角度数，逐一验证是否存在两个相等的内角即可。
【解析】
首先计算$△ ABC$的顶角：$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-60°-45°=75°$。
1. 判定$△ ADC$：
∵$AD$是$BC$边上的高，
∴$∠ ADC=90°$，
又$∠ C=45°$，
∴$∠ DAC=180°-90°-45°=45°$，
即$∠ DAC=∠ C$，
∴$AD=DC$，$△ ADC$是等腰三角形。
2. 判定$△ ABF$：
∵$BE$平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ ABC=60°$，
∴$∠ BAD=180°-90°-60°=30°$，
即$∠ BAD=∠ ABE$，
∴$AF=BF$，$△ ABF$是等腰三角形。
3. 判定$△ ABE$：
$∠ BAE=75°$，$∠ ABE=30°$，
∴$∠ AEB=180°-75°-30°=75°$，
即$∠ BAE=∠ AEB$，
∴$AB=BE$，$△ ABE$是等腰三角形。
其余三角形$△ BDF$、$△ BCE$均没有相等的内角，不是等腰三角形。综上共有3个等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和、角平分线的定义
【点评】
本题核心是利用等角对等边判断等腰三角形，需要熟练掌握三角形内角和、角平分线、高的相关性质，通过计算角度逐一验证，避免漏判或误判。
【难度系数】
0.7
要判断图中等腰三角形的个数，依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，我们可以先结合已知的角度、高和角平分线的条件，计算出图中各个三角形的内角度数，逐一验证是否存在两个相等的内角即可。
【解析】
首先计算$△ ABC$的顶角：$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-60°-45°=75°$。
1. 判定$△ ADC$：
∵$AD$是$BC$边上的高，
∴$∠ ADC=90°$，
又$∠ C=45°$，
∴$∠ DAC=180°-90°-45°=45°$，
即$∠ DAC=∠ C$，
∴$AD=DC$，$△ ADC$是等腰三角形。
2. 判定$△ ABF$：
∵$BE$平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ ABC=60°$，
∴$∠ BAD=180°-90°-60°=30°$，
即$∠ BAD=∠ ABE$，
∴$AF=BF$，$△ ABF$是等腰三角形。
3. 判定$△ ABE$：
$∠ BAE=75°$，$∠ ABE=30°$，
∴$∠ AEB=180°-75°-30°=75°$，
即$∠ BAE=∠ AEB$，
∴$AB=BE$，$△ ABE$是等腰三角形。
其余三角形$△ BDF$、$△ BCE$均没有相等的内角，不是等腰三角形。综上共有3个等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和、角平分线的定义
【点评】
本题核心是利用等角对等边判断等腰三角形，需要熟练掌握三角形内角和、角平分线、高的相关性质，通过计算角度逐一验证，避免漏判或误判。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线相交于点$F$，过点$F$作$DE // BC$，交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，那么下列结论：①$△ BDF$，$△ CEF$都是等腰三角形；②$DE = BD + CE$；③$△ ADE$的周长为$AB + AC$；④$BD = CE$。正确的是（
A.③④
B.①②
C.①②③
D.②③④
C
）A.③④
B.①②
C.①②③
D.②③④
答案
9.C
解析
【分析】
解题时先结合已知条件找角的关系：首先利用角平分线得到相等的角，再结合平行线的内错角相等，可推导出△BDF和△CEF中两个底角相等，利用等角对等边判定等腰三角形；再根据线段的和差关系推导DE的长度，以及△ADE的周长，最后判断BD和CE是否一定相等即可。
【解析】
1. 验证结论①：
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠DBF=∠CBF，
∵ DE//BC，
∴ ∠DFB=∠CBF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DBF=∠DFB，
∴ BD=DF，即△BDF是等腰三角形；
同理，CF平分∠ACB，∠ECF=∠BCF，DE//BC得∠EFC=∠BCF，
∴ ∠ECF=∠EFC，
∴ CE=EF，即△CEF是等腰三角形，故①正确。
2. 验证结论②：
∵ DE=DF+EF，又
∵ DF=BD，EF=CE，
∴ DE=BD+CE，故②正确。
3. 验证结论③：
△ADE的周长=AD+DE+AE，
将DE=BD+CE代入得：周长=AD+BD+CE+AE=AB+AC，故③正确。
4. 验证结论④：
题目未说明AB=AC，即△ABC不一定是等腰三角形，因此BD和CE没有必然相等的关系，故④错误。
综上，①②③正确。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线、平行线与等腰三角形的综合题，其中“角平分线+平行线”组合推导等腰三角形是几何中非常常用的模型，熟练掌握该模型可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件找角的关系：首先利用角平分线得到相等的角，再结合平行线的内错角相等，可推导出△BDF和△CEF中两个底角相等，利用等角对等边判定等腰三角形；再根据线段的和差关系推导DE的长度，以及△ADE的周长，最后判断BD和CE是否一定相等即可。
【解析】
1. 验证结论①：
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠DBF=∠CBF，
∵ DE//BC，
∴ ∠DFB=∠CBF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DBF=∠DFB，
∴ BD=DF，即△BDF是等腰三角形；
同理，CF平分∠ACB，∠ECF=∠BCF，DE//BC得∠EFC=∠BCF，
∴ ∠ECF=∠EFC，
∴ CE=EF，即△CEF是等腰三角形，故①正确。
2. 验证结论②：
∵ DE=DF+EF，又
∵ DF=BD，EF=CE，
∴ DE=BD+CE，故②正确。
3. 验证结论③：
△ADE的周长=AD+DE+AE，
将DE=BD+CE代入得：周长=AD+BD+CE+AE=AB+AC，故③正确。
4. 验证结论④：
题目未说明AB=AC，即△ABC不一定是等腰三角形，因此BD和CE没有必然相等的关系，故④错误。
综上，①②③正确。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线、平行线与等腰三角形的综合题，其中“角平分线+平行线”组合推导等腰三角形是几何中非常常用的模型，熟练掌握该模型可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10.如图，$△ ABC$的面积为$10\ \mathrm{cm}^2$，$AP$垂直于$∠ ABC$的平分线$BP$于点$P$，则$△ PBC$的面积是________.
答案
10. 5 cm²
解析
【分析】
遇到角平分线与该角一边上的垂线组合的条件时，我们可以通过延长垂线构造全等三角形：首先延长AP交BC于点D，利用BP是角平分线、BP⊥AP的条件证明△ABP和△DBP全等，得到AP=PD，再根据等底同高的三角形面积相等，可知△PBC的面积是△ABC面积的一半，代入数值即可求解。
【解析】
延长AP交BC于点D。
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP=∠DBP。
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB=∠DPB=90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABP=∠ DBP \\BP=BP \\∠ APB=∠ DPB\end{array} $
∴ △ABP≌△DBP（ASA），
∴ AP=DP。
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP}=S_{△ DCP}$。
∴ $S_{△ PBC}=S_{△ DBP}+S_{△ DCP}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
已知$S_{△ ABC}=10\ \mathrm{cm}^2$，代入得$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$5\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是合理构造辅助线，借助角平分线和垂直的条件得到线段中点，再利用等底同高的三角形面积关系转化求解，是三角形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线与该角一边上的垂线组合的条件时，我们可以通过延长垂线构造全等三角形：首先延长AP交BC于点D，利用BP是角平分线、BP⊥AP的条件证明△ABP和△DBP全等，得到AP=PD，再根据等底同高的三角形面积相等，可知△PBC的面积是△ABC面积的一半，代入数值即可求解。
【解析】
延长AP交BC于点D。
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP=∠DBP。
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB=∠DPB=90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABP=∠ DBP \\BP=BP \\∠ APB=∠ DPB\end{array} $
∴ △ABP≌△DBP（ASA），
∴ AP=DP。
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP}=S_{△ DCP}$。
∴ $S_{△ PBC}=S_{△ DBP}+S_{△ DCP}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
已知$S_{△ ABC}=10\ \mathrm{cm}^2$，代入得$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$5\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是合理构造辅助线，借助角平分线和垂直的条件得到线段中点，再利用等底同高的三角形面积关系转化求解，是三角形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D,E$分别在边$AB,AC$上,且$AD=AE$,连接$BE,CD$,交于点$F$.
(1)判断$∠ ABE$与$∠ ACD$的数量关系,并说明理由;
(2)求证:过点$A,F$的直线垂直平分线段$BC$.
(1)判断$∠ ABE$与$∠ ACD$的数量关系,并说明理由;
(2)求证:过点$A,F$的直线垂直平分线段$BC$.
答案
11.(1)解:∠ABE=∠ACD.理由如下：
在△ABE和△ACD中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠A=∠A, \\ AE=AD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴∠ABE=∠ACD.
(2)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
由(1)可知∠ABE=∠ACD,
∴∠FBC=∠FCB,
∴FB=FC.
∵AB=AC,
∴点A,F均在线段BC的垂直平分线上,
即过点A,F的直线垂直平分线段BC.
在△ABE和△ACD中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠A=∠A, \\ AE=AD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴∠ABE=∠ACD.
(2)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
由(1)可知∠ABE=∠ACD,
∴∠FBC=∠FCB,
∴FB=FC.
∵AB=AC,
∴点A,F均在线段BC的垂直平分线上,
即过点A,F的直线垂直平分线段BC.
解析
【分析】
(1) 要判断∠ABE与∠ACD的数量关系，观察两个角分别属于△ABE和△ACD，已知AB=AC、AD=AE，且两个三角形共角∠A，满足全等三角形SAS的判定条件，因此先证明两三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得到两角的关系。
(2) 要证明过A、F的直线垂直平分BC，根据线段垂直平分线的判定规则：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，只需分别证明点A、点F都到B、C两点距离相等即可。首先由AB=AC可得点A在BC的垂直平分线上；再结合(1)的角相等结论，推导得到∠FBC=∠FCB，进而得到FB=FC，说明点F也在BC的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，即可得证结论。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ABE=∠ACD}$，理由如下：
在△ABE和△ACD中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠A=∠A, \\ AE=AD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴∠ABE=∠ACD。
(2) 证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由(1)可知∠ABE=∠ACD，
∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
又
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即过点A、F的直线垂直平分线段BC。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ABE=∠ACD}$，理由见上述解析；
(2) 证明见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，逻辑链条清晰，侧重考查对基础定理的应用能力，解题的关键是熟练掌握全等三角形判定、等腰三角形边角互化、线段垂直平分线判定的相关规则，逐步推导即可完成求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断∠ABE与∠ACD的数量关系，观察两个角分别属于△ABE和△ACD，已知AB=AC、AD=AE，且两个三角形共角∠A，满足全等三角形SAS的判定条件，因此先证明两三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得到两角的关系。
(2) 要证明过A、F的直线垂直平分BC，根据线段垂直平分线的判定规则：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，只需分别证明点A、点F都到B、C两点距离相等即可。首先由AB=AC可得点A在BC的垂直平分线上；再结合(1)的角相等结论，推导得到∠FBC=∠FCB，进而得到FB=FC，说明点F也在BC的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，即可得证结论。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ABE=∠ACD}$，理由如下：
在△ABE和△ACD中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠A=∠A, \\ AE=AD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴∠ABE=∠ACD。
(2) 证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由(1)可知∠ABE=∠ACD，
∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
又
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即过点A、F的直线垂直平分线段BC。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ABE=∠ACD}$，理由见上述解析；
(2) 证明见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，逻辑链条清晰，侧重考查对基础定理的应用能力，解题的关键是熟练掌握全等三角形判定、等腰三角形边角互化、线段垂直平分线判定的相关规则，逐步推导即可完成求解。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,直线$DF$交$AB$于点$D$,交$AC$的延长线于点$F$,交$BC$于点$E$,若$BD=CF$,求证:$E$是$DF$的中点.
答案
12. 证明:如答图,过点D作DG//AC交BC于点G,
∴∠ACB=∠DGB.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠DGB,
∴BD=DG.
∵BD=CF,
∴DG=CF.
∵DG//AC,
∴∠F=∠GDE,∠DGE=∠FCE,
∴△CEF≌△GED,
∴EF=DE,即E是DF的中点.
解析
【分析】
要证明E是DF的中点，本质是要证DE=EF，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察原图没有直接全等的三角形，因此需要构造辅助线：过点D作DG//AC交BC于G，首先利用等腰△ABC的性质和平行线的性质可证BD=DG，结合已知BD=CF得到DG=CF，再根据平行线的性质得到△CEF和△GED的对应角相等，即可证明两三角形全等，得到DE=EF，完成证明。
【解析】
证明：如答图，过点D作DG//AC交BC于点G，
根据平行线的性质可得∠ACB=∠DGB。
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠DGB，即△DBG为等腰三角形，
∴BD=DG。
∵已知BD=CF，
∴DG=CF。
∵DG//AC，根据平行线的内错角相等，
∴∠F=∠GDE，∠DGE=∠FCE，
在△CEF和△GED中，三个对应条件均满足，
∴△CEF≌△GED（AAS），
∴根据全等三角形对应边相等可得EF=DE，即E是DF的中点。
【答案】
证明:如答图,过点D作DG//AC交BC于点G,
∴∠ACB=∠DGB.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠DGB,
∴BD=DG.
∵BD=CF,
∴DG=CF.
∵DG//AC,
∴∠F=∠GDE,∠DGE=∠FCE,
∴△CEF≌△GED,
∴EF=DE,即E是DF的中点.
【知识点】
等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型证明题，解题关键是通过作平行线构造全等三角形，将已知的相等线段转化为全等三角形的对应边，结合平行线、等腰三角形的性质得到全等所需的条件，是几何线段关系证明的常见考法。
【难度系数】
0.6
要证明E是DF的中点，本质是要证DE=EF，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察原图没有直接全等的三角形，因此需要构造辅助线：过点D作DG//AC交BC于G，首先利用等腰△ABC的性质和平行线的性质可证BD=DG，结合已知BD=CF得到DG=CF，再根据平行线的性质得到△CEF和△GED的对应角相等，即可证明两三角形全等，得到DE=EF，完成证明。
【解析】
证明：如答图，过点D作DG//AC交BC于点G，
根据平行线的性质可得∠ACB=∠DGB。
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠DGB，即△DBG为等腰三角形，
∴BD=DG。
∵已知BD=CF，
∴DG=CF。
∵DG//AC，根据平行线的内错角相等，
∴∠F=∠GDE，∠DGE=∠FCE，
在△CEF和△GED中，三个对应条件均满足，
∴△CEF≌△GED（AAS），
∴根据全等三角形对应边相等可得EF=DE，即E是DF的中点。
【答案】
证明:如答图,过点D作DG//AC交BC于点G,
∴∠ACB=∠DGB.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠DGB,
∴BD=DG.
∵BD=CF,
∴DG=CF.
∵DG//AC,
∴∠F=∠GDE,∠DGE=∠FCE,
∴△CEF≌△GED,
∴EF=DE,即E是DF的中点.
【知识点】
等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型证明题，解题关键是通过作平行线构造全等三角形，将已知的相等线段转化为全等三角形的对应边，结合平行线、等腰三角形的性质得到全等所需的条件，是几何线段关系证明的常见考法。
【难度系数】
0.6
