三、解答题
11. 把下列各式分解因式：
(1) $m^3n - 9mn$；
(2) $10b(x - y)^2 - 5a(y - x)^2$。

(1) $mn(m+3)(m-3)$
(2) $5(x-y)^2(2b-a)$

【分析】
因式分解的通用思路是“一提二套三查”：第一步先提取公因式，第二步看提取公因式后的式子是否符合乘法公式的特征继续分解，第三步检查分解是否彻底、是否正确。
针对第(1)题：先观察多项式两项的公因式，两项都含有mn，先提取公因式，再看剩余部分是平方差形式，用平方差公式继续分解即可。
针对第(2)题：先注意到$(y-x)^2=(x-y)^2$，两项的公因式为$5(x-y)^2$，提取公因式后检查剩余部分不能再分解，即完成分解。
【解析】
(1) 第一步：提取公因式$mn$
$m^3n - 9mn = mn(m^2 - 9)$
第二步：利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解$m^2-9$
$= mn(m+3)(m-3)$
(2) 第一步：利用偶次幂的性质变形，$(y-x)^2=(x-y)^2$，原式可写为：
$10b(x-y)^2 - 5a(x-y)^2$
第二步：提取公因式$5(x-y)^2$
$=5(x-y)^2(2b - a)$
【答案】
(1) $mn(m+3)(m-3)$
(2) $5(x-y)^2(2b-a)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解步骤
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时需遵循先提公因式再套用公式的顺序，注意互为相反数的偶次幂相等的变形规则，做完后要检查分解是否彻底，避免出现符号错误或漏项问题。
【难度系数】
0.8

12. 把下列各式分解因式：
(1) $-7x^2 + 28x - 28$；
(2) $4x^2 + 4xy + y^2 - 1$。

(1) $-7(x-2)^2$
(2) $(2x+y+1)(2x+y-1)$

【分析】
（1）题观察多项式各项有公因式-7，解题时先提取公因式，再判断剩余多项式是否符合完全平方公式的结构特征，用完全平方公式继续分解，直到不能分解为止；
（2）题观察多项式发现前三项恰好构成完全平方式，先将前三项分组用完全平方公式分解，此时整体式子符合平方差公式的结构特征，再用平方差公式完成分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$-7$，再利用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}-7x^2 + 28x - 28&=-7(x^2 - 4x + 4)\\&=-7(x-2)^2\end{aligned}$
(2) 先将前三项分组用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解：
$\begin{aligned}4x^2 + 4xy + y^2 - 1&=(4x^2 + 4xy + y^2) - 1\\&=(2x+y)^2 - 1^2\\&=(2x+y+1)(2x+y-1)\end{aligned}$
【答案】
(1) $-7(x-2)^2$
(2) $(2x+y+1)(2x+y-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的常规应用，解题时要遵循因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解，分解过程中要注意观察多项式的结构特征选择合适的公式，最后要验证分解结果是否彻底。
【难度系数】
0.8

13. 先化简，再求值：$(a+2b)(a-2b)+(a+2b)^2-4ab$，其中 $a=1$，$b=\dfrac{1}{10}$。

化简结果为$2a^2$，代入求值结果为2

【分析】
解题时先观察式子结构，发现式子中包含平方差公式和完全平方公式的结构特征，因此第一步先分别利用对应的整式乘法公式展开各项，再合并同类项完成化简，最后将已知的a、b的值代入化简后的式子计算即可，这种先化简再求值的方式比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：首先利用整式乘法公式展开各项：
1. 计算平方差项：$(a+2b)(a-2b)=a^2-(2b)^2=a^2-4b^2$
2. 计算完全平方项：$(a+2b)^2=a^2+2· a· 2b+(2b)^2=a^2+4ab+4b^2$
将展开后的结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=a^2-4b^2 + a^2+4ab+4b^2 -4ab\\&=(a^2+a^2)+(-4b^2+4b^2)+(4ab-4ab)\\&=2a^2\end{aligned}$
接下来代入$a=1$求值：
当$a=1$时，$2a^2=2×1^2=2$
【答案】
化简结果为$2a^2$，代入求值结果为2
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题侧重考察整式乘法公式的灵活运用，熟练掌握平方差、完全平方公式的展开形式是解题的核心，先化简后代入的解题思路能有效降低计算复杂度，提升正确率。
【难度系数】
0.8

14. 利用因式分解计算：$(1-\dfrac{1}{2^2})(1-\dfrac{1}{3^2})(1-\dfrac{1}{4^2})···(1-\dfrac{1}{10^2}).$

$\dfrac{11}{20}$

【分析】
观察算式中每个因式的结构，均为“1减去某数平方的倒数”，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的形式。解题时先利用平方差公式对每个因式进行分解，将原式转化为多个分数连乘的形式，再观察分数的特点，通过交叉约分简化计算，最终得到结果。
【解析】
解：根据平方差公式，对每个因式分解可得：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})\dots(1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{10})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\dots×\frac{9}{10}×\frac{11}{10}\\&=\frac{1}{2}×(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})×(\frac{4}{3}×\frac{3}{4})×\dots×(\frac{10}{9}×\frac{9}{10})×\frac{11}{10}\\&=\frac{1}{2}×1×1×\dots×1×\frac{11}{10}\\&=\frac{1}{2}×\frac{11}{10}\\&=\frac{11}{20}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{11}{20}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解应用
3. 分数约分计算
【点评】
本题考查因式分解在简便运算中的应用，解题的关键是准确识别每个因式的平方差结构，通过因式分解将原式转化为可约分的连乘形式，大幅降低计算量，避免了直接计算的繁琐。
【难度系数】
0.6

15. 观察下列各式：
$4×1×2+1=3^2$，$4×2×3+1=5^2$，$4×3×4+1=7^2$，$4×4×5+1=9^2$，….
（1）请将以上各式中的规律用含一个字母的等式表示出来，并说明理由；
（2）试计算：$4×2023×2024+1$（结果用幂的形式表示）.

(1) $4n(n+1)+1=(2n+1)^2(n$ 为正整数). 理由：左边$=4n^2+4n+1=(2n+1)^2=$右边，所以等式成立
(2) $4047^2$

【分析】
（1）先将给出的等式与正整数序号对应分析：第1个式子对应n=1，形式为$4×1×(1+1)+1=(2×1+1)^2$；第2个式子对应n=2，形式为$4×2×(2+1)+1=(2×2+1)^2$，以此类推可猜测通用规律。验证规律时只需将左边整式展开化简，对比右侧即可证明成立。
（2）第二问直接套用第一问得到的通用规律，找到对应n值代入，计算右侧底数即可得到结果。
【解析】
（1）规律：$4n(n+1)+1=(2n+1)^2$（$n$为正整数）。
理由：左边展开计算：
$4n(n+1)+1=4n^2+4n+1$，
根据完全平方公式，$4n^2+4n+1=(2n+1)^2$，与右边相等，因此等式成立。
（2）对比规律$4n(n+1)+1=(2n+1)^2$，可得$4×2023×2024+1$中$n=2023$，代入公式得：
原式$=(2×2023+1)^2=(4046+1)^2=4047^2$。
【答案】
(1) $4n(n+1)+1=(2n+1)^2$（$n$为正整数），理由：左边$=4n^2+4n+1=(2n+1)^2=$右边，等式成立；
(2) $4047^2$
【知识点】
数字规律探究，完全平方公式，整式化简
【点评】
本题重点考查观察归纳能力和整式运算的应用，找准等式各部分与序号的对应关系是解题突破口，掌握完全平方公式的结构特征可快速验证规律正确性，这类规律探究题是代数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7